关于矩阵迹不等式的研究

本文首先阐述了预备知识和定义与引理,接着讨论了Hermite矩阵迹的若干性质和两个定理,最后分析了矩阵迹的应用.因此本文具有深刻的理论意义和广泛的实际应用.     

关于矩阵迹的不等式

对矩阵迹不等式：ｔｒＭ＾２＾ｎ（Ｍ＾Ｔ）＾２ｎ≤ｔｒ（ＭＭ＾Ｔ）＾２ｎ，提出了更一般的问题，以任意自然数ｎ，不等式ｔｒＭ＾ｎ（Ｍ＾Ｔ）＾ｎ≤ｔｒ（ＭＭ＾Ｔ）＾ｎ成立，并给出了证明。     

关于矩阵迹的不等式

对矩阵迹不等式：提出了更一般的问题，对任意自然数ｎ，不等式成立，井给出了证明．     

几个矩阵迹不等式

给出了矩阵迹的Ｈｏｌｄｅｒ不等式，Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ不等式，算术几何平均值不等式和调和几何平均不等式。     

关于矩阵迹的几个不等式

该对满足一定条件的矩阵给出了关于矩阵迹的如不等式：mtr(A1A2…M)≤tr(A^M1) Tr(A^m2) …＋tr(A^mm）tr(A^a11A^a22…A^amm)≤trA1)^a1(trA2)^a2…（trAm)^am其中aj>0(j=1,2，…，m),m/∑／j=1aj≥1。     

二阶矩阵的Bellman迹不等式

Ａ、Ｂ是二阶非负定矩阵时，证明了：ｔｒ（ＡＢ）＾ｎ≤ｔｒ（Ａ＾ｎＢ＾ｎ）（ｎ为自然数），此结果说明Ｒ．Ｂｅｌｌｍａｎ猜想对二阶矩阵成立。     

关于斜Hermite矩阵乘积迹的不等式

在Ａ、Ｂ为斜Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵的条件下，证明了不等式ｔｒ（ＡＢ）＾２ｎ≤ｔｒ（Ａ＾２ｎＢ＾２ｎ）其中ｎ为非负整数。     

矩阵乘积之迹的不等式

研究若干复矩阵乘积之迹的不等式,并利用得到的不等式推出两个Hermite半正定矩阵乘积的任意次幂之迹的不等式,利用矩阵的分解给出一个Hermite半正定矩阵任意次幂之迹的不等式,推广了相关结果.     

关于复矩阵迹的算术--几何平均不等式

证明了比R.Bellman提出的"类似于算术-几何平均不等式的矩阵迹不等式"在形式上更接近算术-几何平均不等式的矩阵迹不等式|tr(m∏k=1Ak)|1/m≤1/mm∑k=1trAk且证明了更一般的结论及相关重要结果tr(m/k=1atkk)1/tm≤Tmm=1tk*tr(akak*）1/2和ti=1tr(mk=1a(I)k)mk=1{ti=1{tr(aika(t)k*)a/2k]a/2k}1/Bi,其中Tm=mk=1tk,tk,ak,Bi是正整数,mk=1a-1k≥1,ti=1B-1i≥1.     

关于Hermite矩阵迹的不等式的几点注记

本文指出了文献[1]中有关正定Hermite矩阵迹的不等式的讨论中存在的一些值得商榷的问题,应用已有的半正定Hermite矩阵迹的性质,对其进行了证明,并做了进一步研究。     

关于矩阵迹的一个不等式

设A．B为n阶Henmite阵，X为任-nxk复矩阵，λ1(A)≥λ2(A)≥…≥λn(A)依次表示A的特征值，得到了关于矩阵迹的如下不等式：并利用所得结果给出关于矩阵迹的一些Kantomvich型不等式。     

Fan-Todd不等式在矩阵论中的推广

利用矩阵迹的Cauchy-Schwarz不等式及性质,将著名的Fan-Todd不等式和与之相关的实数不等式推广到矩阵论中,得到矩阵迹的相应不等式,一些结论还推广到算子理论中。     

关于正定Hermite矩阵迹的不等式

研究了正定Hermite矩阵迹不等式的问题,在2个已知实数不等式的基础上,利用Neumann不等式,得到了2个正定Hermite矩阵迹的不等式.     

矩阵的广义迹

给出了一个方阵的广义迹的概念，它是矩阵迹的概念的一个自然推广，讨论了矩阵的广义迹的一些性质及其递归计算法，其中的一个主要结果如下：矩阵的k阶广义迹等于矩阵的全体特征根的k次初等对称多项式。     

一个矩阵迹不等式的推广

证明了Fozi M.Dannan[J.Inequal.Pure and Appl.Math,2(3)Art.34.2001]得到的正定Hermitian矩阵迹不等式对一般的Hermitian矩阵也是成立的,同时给出了其等式成立的充分必要条件。     

关于Hermite矩阵迹的一个不等式

设A、B是两个n阶Hermite矩阵 ,证明了(AB)2的迹小于等于A2B2的迹 ,并且给出了该不等式成立的充要条件     

矩阵不等式的几条性质

文章给出了A，B都是实对称正定矩阵时矩阵不等式的两条性质，进一步，我们考虑另外一个条件，得到了当A，B为某种特殊形式的非对称矩阵时的矩阵不等式性质并给出详细的证明。     

关于用矩阵的迹表示的特征值的界

给出了一些用矩阵的迹表示的特征值的上、下界。所得结果推广了已有的结论。     

关于矩阵不等式F0+k∑j=1XjFj＞0

运用矩阵求迹运算“tr”得到一类线性矩阵不等式F0＋∑j=1^kXjFj〉0解的充分条件．这些充分条件皆为应用中容易检验的代数不等式,并此给出了相应的代数解。同时给出了线性矩阵不等式的几个主要定理。