非线性分析和半线性椭圆型问题

科学工程中的许多问题是通过非线性偏微分方程来描述的,然而这些微分方程是很难求解的,利用拓扑和变分思想形成的非线性分析方法却能够解决这些问题。本书就是由拓扑方法和变分方法组成的求解半线性椭圆型问题的非线性分析方法。书中论述了分岔理论、界点理论和椭圆型偏微分方程等基本问题,给出了偏微分方程研究领域的最新研究成果。     

一类拟线性椭圆型方程非平凡解的存在性

研究一类带边值问题的拟线性椭圆偏微分方程解的存在性,是微分方程理论研究的核心,也是这一领域的研究热点.利用变分方法、临界点理论等工具研究这类拟线性椭圆偏微分方程解的存在性具有深刻的物理和力学背景.本文主要应用山路引理以及变分原理,证明了一类带Dirichlet边界条件的拟线性椭圆型偏微分方程非平凡弱解的存在性.     

一类测度链上哈密顿系统的周期解

研究测度链上非自治二阶哈密顿系统周期解的存在性问题.在非线性项线性增长时,将这类系统的周期解转化为定义在一个适当空间上泛函的临界点,然后利用临界点理论建立此类系统周期解的存在性结果.     

一类六阶含参微分方程Neumann边值问题解的存在性

文章主要使用临界点理论和Morse理论研究了一类六阶含参微分方程Nuemann边值问题解的存在性和多解性结果.     

一类Sturm—Liouville型共振差分方程解的存在性

本文利用非线性泛函分析中的变分方法,结合临界点理论,特别是临界群与Morse理论,研究了一类非线性Sturm—Liouville型共振差分方程两点边值问题解的存在性。     

弹性Timoshenko梁的动力学大挠度问题及应用

对于几何非线性物理线性的Timoshenko梁,引入截面参量,应用Hamilton原理导出了非线性动力学偏微分方程组及广义边界条件。无量纲化后在其平凡解附近展成线性偏微分方程,并以简支梁为例与Bernoulli-Euler的初等假设理论进行了比较,讨论了长细比对梁的动力学特性的影响。应用软土隧道的数值计算,分析了结构动态实验参数与两种理论值的关系。     

非自治常微分方程组周期解的存在性

研究非自治常微分方程组周期解的存在性.当具有线性增长非线性项时,利用临界点理论中的极小作用原理得到了周期解存在性的充分条件,所得结果推广了已有结果.     

Derrida-Lebowitz-Speer-Spohn方程的显示精确解

研究在充分低的噪声水平下二维Toom模型中刻画沿着固定界面波动统计性质的一个新奇的三阶非线性偏微分方程,Derrida-Lebowitz-Speer-Spohn方程.首先,获得这个非线性偏微分方程的一个非线性变换,这个非线性变换可以将该方程约化为对应的线性偏微分方程.接着,利用分离变量方法获得了该约化线性偏微分方程的许多显式精确解.最后,借助于这个非线性变换得到原来非线性偏微分方程的丰富的显式精确解.     

螺旋槽干气密封稳态微尺度流动场的动压计算

从N-S方程出发,推导了螺旋槽内稳态微尺度流动场的非线性雷诺方程.应用PH线性化方法,将非线性偏微分方程转化为线性偏微分方程,引入复函数将复常数偏微分方程变为两个线性实常数微分方程组,并采用小参数迭代法进行求解,近似求得了螺旋槽内气体动压分布的解析解.与相应的实验数据对比,计算结果和实验结果基本符合,为有类似几何参数的干气密封的优化设计提供了参考.     

Neumann边值问题非平凡解的存在性

微分方程Neumann边值问题是微分方程边值问题中比较典型的一类问题.对此问题,很多文献用拓扑度理论和不动点指数理论,Morse理论或用临界点理论为工具已经获得许多有关解的存在性及多解性的结果.文章使用对偶喷泉定理建立了一类Neumann边值问题解的存在性与多解性.     

解拟线性抛物型初边值问题差分方程的数值延拓法

拟线性抛物型偏微分方程初边值问题的差分方程一般是一个非线性方程组.本文根据非线性方程组解存在与唯一性的理论,采用数值延拓法,建立了一类拟线性抛物型偏微分方程边值问题的差分方程数值解的迭代算法,给出该算法全局收敛的充分条件,并且用具体的算例说明所给算法的可行性.     

一类次线性Hamilton系统的周期解

Hamilton系统是一类比较重要的微分方程模型.利用临界点理论中的鞍点定理研究非自治Hamilton系统周期解的存在性.在具有次线性增长非线性项时,给出了相关周期解存在的充分条件,推广了Ahmad-Lazer-Paul型强制性条件.     

非线性弹性Timoshenko梁的动力学问题及应用

提出了几何非线物理线性的Timoshenko梁的构造函数,应用Hamilton原理于导出了非线性动力学偏微分-积分方程组.无量纲化后在其平凡解附近展成线性偏微分方程,并以悬臂梁为例与Bernoulli-Euler的初等假设理论进行了比较,讨论了长细比对梁的动力学特性的影响,分析了结构实验动态参数与两种理论值的关系.     

基于Conley指标理论求解反应扩散方程的冲击波解

利用Conley指标理论研究一类非线性反应扩散方程的冲击波解的情况.以扩散系数作为反应扩散方程的参数,通过Conley指标和Morse分解分析行波解所满足的常微分方程的异宿轨道的存在性,并根据偏微分方程的孤立波与冲击波分别对应于常微分方程的同宿轨道与异宿轨道的思想,进而证明了反应扩散方程鞍-焦型、鞍-结型冲击波解的存在性.特别地,应用联络矩阵和传递矩阵可证明鞍-鞍型冲击波解的存在性和唯一性.使用Conley软件包和Maple软件编程计算了联络矩阵和传递矩阵.     

一类Burgers方程的精确解

微分方程包含线性和非线性微分方程。微分方程研究的主体是非线性微分方程,特别是非线性偏微分方程。很多意义重大的自然科学和工程技术问题都可归结为非线性偏微分方程的研究。另外,随着研究的深入,有些原来可用线性偏微分方程近似处理的问题,也必须考虑非线性的影响。从传统的观点来看,求偏微分方程的精确解是十分困难的。经过几十年的研究和探索,人们已经找到了一些构造精确解的方法。借助于Cole-Hope变换,积分变换法和拟解的方法,获得Burgers方程,(2+1)维Burgers方程,(2+1)维高阶Burgers方程的新的精确解。这种方法可以解决一系列的偏微分方程。     

一类非线性偏微分方程的n-孤子解

微分方程包含线性和非线性微分方程。微分方程研究的主体是非线性微分方程,特别是非线性偏微分方程。很多意义重大的自然科学和工程技术问题都可归结为非线性偏微分方程的研究。另外,随着研究的深入,有些原来可用线性偏微分方程近似处理的问题,也必须考虑非线性的影响。从传统的观点来看,求偏微分方程的解是十分困难的。经过几十年的研究和探索,人们已经找到了一些构造解的方法。借助Cole-Hope变换,A=0且B=0为Af+B=0的解,获得了(2+1)维Burgers方程和Kdv方程的n-孤子解。这种方法可以求解一系列的偏微分方程。     

二阶渐近线性差分方程组周期解的多重性

利用临界点理论和Morse理论,研究一类二阶渐近线性差分方程组非平凡周期解的存在性和多重性,通过计算相应泛函在零点及无穷远点的临界群,结合Morse不等式,证明了当非线性项满足一定条件时,该差分方程组至少存在一个或两个非平凡周期解。     

一类非凸自治Hamilton系统的周期解

文章考虑一类非凸自治Hamilton系统的周期解,巧妙地利用反差分算子与Morse理论,通过比较二阶离散Hamilton系统周期边值问题变分泛函的极小临界点和平凡临界点的Morse指标,得到一个关于二阶非凸自治Hamilton系统非常值周期解的存在性定理.这是运用Morse理论讨论非凸自治Hamilton系统的非常数周期解的存在性的成功尝试.     

二阶Sturm-Liouville边值问题解的存在性

研究了二阶Sturm-Liouville边值问题解的多解性,通过临界点理论和Morse理论,给出解的存在性和多解性结果.     

临界点理论及其应用

临界点理论是由分析与拓扑结合而成的，它将欧拉方程的求解等转换为求解泛函的临界点，用拓扑方法判定临界点的存在性并估计临界点的个数，在微分方程求解等领域中得到广泛的应用。它是强有力的理论工具，近些年得到了很大的发展，这本专著较为详尽地介绍了临界点理论的最新研究成果及其应用。