再论极限论总难学难教的真正原因：有自相矛盾的百年糊涂话

＂预先任意给定的正数ε＂能否在V=（0,1）内任意给定？若能,则V各元均能由ε代表;若不能,则何来不受任何限制的任意性？若预先在V内任意取定一数ε,必有ρ〈ε,则由于取值的任意性,ρ必可〈V的所有（任何）元ε。“预先在1,2,3中任意取定的数ε”中的ε可是1,可是2,可是3。同样“任意取定一数ε”中的ε可是取值范围内的任何数。连文盲也知“任意性”的确切含义。所以,说0〈距离变量p〈ε中的ε是在整个数学领域中任意取定的正数,就是说p〉0可〈任意（任何）正数——这显然违反数学常识——这是极限论百年来总难学难教的真正原因。违反常识的理论必至繁至难。     

几何常识凸显已知数全体仅为数宇宙的一颗星球——课本“以球为守”的重大错误应及时纠正

几百年解析几何一直认定书上x轴R包含一切正数。然而如正方形对角线的长揭示有无理数那样“a_b充分短才能使a≈b”揭示：各已知正数x均有无穷多≈x的用而不知的“更无理”数x＋△x〉x（△x〈一切已知正数），推翻了百年“R完备”定理；已知数全体远远不够用。因其仅为数宇宙中的一颗星球!由“一一配对”常识证明客观存在无穷数。几百年“△f≈df＋d^2f／2!”揭示R有太小正数x小至其对应数x^n≥2不∈R。     

真正科学常识否定5千年“常识”:没最大自然数——证实庞加莱百年前伟大科学预见推翻百年集论

无穷多对"夫妻"之间互相任意"换妻"后绝不会有"单身"出现———此起码逻辑学常识让"深藏"5千年的最大自然数和别的无穷大自然数n及其倒数1/n<ε一下子暴露出来,从而推翻百年自然数公理和消除极限论百年糊涂话使集论一下子现出庞加莱所认为的百年病魔原形。如化学曾被错误燃素说统治百年一样,数学也…。近似常识凸显相应无穷大也有相比下总≈0的另一面。揭示没有用而不知的起决定性作用的无穷大(小)数就没有微积分。     

推广的等价无穷小代换法

在［１］中关于等价无穷小阐述的基础上，给出一组定理，进而使该种方法得以推广。     

洞察距离ρ →0也有无限变大的另一面

极限论有史１００年来一直认定ρ０表示ρ能任意逼近０即ρ＞０能任意小———在不论负数的整个数学领域内任意小。然而作者在〔１〕指出这是片面的认识，是百年之误。“大道至简至易”完全可以从中学数学角度从常识上来揭示这一认识之误。但首先要明确：高等数学是研究变量的，求复杂变量的近似变量是关键的核心问题。变量间的距离ρ１０若果真能“越过任何正数”地变小，则必能小至可忽略不计的程度；否则不能断定ρ１必能小至可忽略的程度。反之，若ρ１０总不能小至可忽略的程度，则表明ρ１０根本不能“越过任何正数”地变小，…     

无穷小和与差逐项等价替换的探讨

无穷小整体等价替换对求未定式“0(0)”型极限很有帮助，但现行各高数教材中均告诫不可用无穷小代数和逐项等价替换来求极限，否则会导致错解.该文通过例题探讨在满足相应条件下，即对前者理论稍加推广，无穷小和与差逐项等价替换用以求极限同前者一样有效，并分析了导致“失效”与“错解”的潜在原因.     

无穷小概念教学的5个强化

在研究“无穷小教学问题”的基础上,提出了“无穷小”教学的5个“强化”：在概念产生过程强化概念;从几何的角度强化概念;在后续的学习中强化概念;在无穷小的比较中强化概念;在符号“o”和“O”的运算中强化概念.     

基于微分学的“两个重要极限”再研究

通过对“无穷大”与“无穷小”进行形象化描述来理解这组概念，从而为分析“两个重要极限”奠定基础。本文简要说明了在第一重要极限中源何不采用”不定式”极限运算法则，并对两个重要极限进行分析讨论（软件仿真），进而实现对该理论的系统性理解。     

一类微分多项式的幅角分布

本文的主要结果是:设f(z)为ρ级亚纯函数,0<ρ<∞,arg z=θ_0是f(z)的一条ρ级Borel方向。若存在ε_0>0及复数c≠0,使在角域|arg z—θ_0|<ε_0内f(z)以c为Borel例外值,则对任何复数a≠0,整数n≥5及正数ε(≤ε_0),有     

空间曲线的密切面族、从切面族和法面族

本文证明了空间曲线的密切面族在挠率为零的点处无穷小稳定，在挠率非零的点处绕切线无穷小旋转。而从切面族和法面族在任何点处不会出现无穷小稳定。     

无穷小的认识过程初探

微积分是高等数学的基本组成部分,它不仅在高等数学中占有重要地位,而且也是现代化建设和高科技发展不可缺少的有效工具。而无穷小是微积分理论的最基本概念之一,在微积分理论体系中,无穷小是一个必须要弄清楚的概念。然而,人们对无穷小的认识却经历了一个漫长的过程。直到十八世纪,仍然没有较完善的解释无穷小概念。无穷小是什么？无穷小究竟究竟能不能是零？我们怎样确切地描述它？这些问题引起了数学界乃至哲学界的争论长达一个半世纪。无穷小问题至关重要,若其不能解决,极限概念就无法建立,微积分理论就不会完善。到十九世纪二十年代,无穷小概念才有了比较合理的解释。为了更好地学习微积分理论,掌握现代化科学文化知识,我们有必要了解无穷小的历史。     

用等价无穷小求某些未定型的极限

探讨了利用等价无穷小替换求形如1∞，0^0型未定型极限的方法，从而简化了某些极限的计算。     

无穷小的局部有界性在直觉思维培养中的应用

极限理论的诞生使无穷小理论得以严密化。在数学学习与教学中,兼顾数学思想方法的直观性与严密性的学习模式有助于对数学概念、方法的掌握和理解。对无穷小的直观理解可以启迪学生思考,而无穷小理论的严密化可以验证这些思路,进而,学生可以对这类问题有一个完整的知识框架。通过研究无穷小的直观性与严密性在数学学习中的应用,可为这种学习模式提供一种思路。     

无限多个无穷小的和、积的讨论

给出了无限个无穷小的和、积的一种定义，并用例子指出无限个无穷小的和、积既可能是无穷小，也可能不是无穷小。     

在求函数极限过程中使用等价无穷小

在求极限过程中，用等价无穷小代替，起到了一种化繁为简的作用，在函数中也能使用等价无穷小。     

非基本未定式解析方法与技巧

讨论对数中的同阶无穷小或无穷大的替换,使未定式计算更加灵活;讨论无穷小的阶在未定式简算中的作用和计算中的一些错误倾向。     

无穷小量在求函数极限中的应用

灵活运用无穷小的性质,求某些看似较难的函数极限,尤其是“0/0”型的极限,其实能变得十分简单．     

论述利用等价无穷小代换求极限

利用等价无穷小代换是求极限过程中最常用的方法之一，同时也是高等数学的重知识点之一。其方法灵活技巧性不易被学生所掌握，本文对等价无穷小代换定理做简论述，这对学生掌握等价无穷小代换方法有着重要意义。     

修正微分定义统一数学分析

第二次数学危机爆发至今一直都存在不同的意见,无穷小分析这套微积分工具对问题的解决颇具启发性,但其理论基础备受质疑;而现今极限理论框架下的微积分失去了无穷小分析的简明直观性。该文修正了极限理论中微分和无穷小量的定义,根据“Bolzano连续性赋值”建立微商引理,统一了无穷小分析与极限理论;举例推证了部分微分学公式,揭示了无穷小分析和极限理论之间内在的蕴含关系,指出了L’Hospital法则、等价无穷小代换本质上就是求出函数在0/0处的值,和Euler的观点吻合。同时用纯粹数学描述Marx的数学手稿,证明其“微分为特定的0”的观点的正确性,表明可以从本质上彻底解决第二次数学危机。     

关于函数极限求法的教学探讨

无穷小具有很好的性质,灵活运用这些性质可以在求函数极限的运算中取得预想不到的效果,能达到洛必达法则所不能取代的作用。通过举例,对比了不同情况下无穷小的应用以及应用过程中应注意的一些性质条件,不仅使原本复杂的问题简单化,而且避免出现错误地应用无穷小。