培养抽象概括能力,提高知识综合运用

抽象概括是数学得以产生的基本前提。离开了抽象概括,就不会产生数学的概念,更不会有抽象的数学思维。抽象与概括是形成概念的思维过程与科学方法。抽象是指在思维过程中,舍弃事物的非本质属性,抽取其本质属性,从而形成其科学概念。概括是指在思维中把抽取出的个别事物的本质属性综合起来,并推广到同类事物上使之普遍化。     

测量、维数、几何测度关系和地理空间分析

分形维数概念是欧氏几何中的维数概念的一种发展或者推广,而维数概念本身则来自生活和生产中的测量.当人们想要量算一个事物的长度、面积或者体积等测度的时候,就不可避免地涉及维数.然而,经过数学家的抽象之后,维数似乎变得有些高深莫测.这篇文章力图从日常生活中的测度出发,逐步揭开维数表面的抽象面纱,将其还原为一个通俗的概念.维数可以由特征尺度与测度的幂律关系定义,此时测度确定,幂指数为欧氏维数;如果一个现象的特征长度不存在,则测度依赖于尺度,幂律关系不变,但幂指数给出分形维数.分形几何与欧氏几何在测量方面具有"对偶"关系.其一,测量目标不同.欧氏几何体的维数不测可知,需要的是相应的测度;分形几何体的测度在理论上不测可知,需要的是相应的维数.其二,表达形式不同.欧氏几何体应该采用正幂律描述,建立尺度与测度关系;而分形几何体最好采用负幂律描述,建立尺度与测量次数的关系.其三,测量重点不同.欧氏几何重在测量结果,其基础是尺度;分形几何重在测量过程,其基础是标度.     

非标准实数系*R的结构简介

非标准分析,是本世纪六十年代才创立起来的数学分支。众所周知,运用极限方法(即通常所律ε—δ方法)在实数体R上建立起来的数学分析,我们称为标准分析。而在非标准分析里引进了一种新的实数系~·R,它是原有实数系R的一个特殊的扩充。利用无穷小量方法建立在~·R上的数学分析,我们称为非标准分析。非标准分析的特点之一,是运用新实数系~·R,去研究客观现实世界中的数量关系和空间形式。~·R包含了通常的实数系(R中的数称为标准实数),同时它还包含非标准实数,其中无穷小量和无穷大量两种非标准实数特别重要。它们和标准实数比较呈现出质的差异性。~·R中的数同R中的标准实数一样,对它们能施行加,减,乘,除等运算,并且像标准实数一样,按照数的大小顺序排列在数轴上,从而形成一条“非标准的实直线”,如下图所示:     

物理概念教学方法初探

本文通过阐述运用观察实验法、抽象概括法、解题训练法与比较分类法,使学生从感受感性材料出发逐步发展到形成、巩固、深化概念,从而有效地掌握物理知识。     

关于复数教学的几点思考

随着实数向复数的扩张,数的概念、几何意义及运算都变得更加抽象.如何加强感性认识,关键在于如何实现从实数到复数的认识迁移和提升.通过复数概念及运算中几个知识点分析了复数与实数的联系与区别,加深对复数概念的理解,促进复数的运算和解题能力的提高.     

如何培养学生的数学思维能力

数学思维是对数学对象的本质属性和内部规律的间接反映,并按照一般思维规律认识数学内容的理性活动。数学思维能力主要包括四个方面的内容:1)会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括;2)会用归纳、演绎和类比进行推理;3)会合乎逻辑地准确地阐述自己的思想和观点;4)能运用数学概念、思想和方法,辨明数学关系,形成良好的思维品质。     

抽象思维和形象思维

抽象思维和形象思维,都是人脑的高级心理过程,大脑的左半球管抽象思维,大脑的右半球管形象思维.抽象思维和形象思维,都是通过人脑的分析、综合和抽象、概括过程而实现的:抽象思维的进行,要有形象思维的支持,抽象思维的结果是概念,以概念反映客观现实,形象思维的产生,要受抽象思维的制约,形象思维的结果是形象,以形象反映客观现实.儿童思维的发展,应该使抽象思维和形象思维同样地得到良好的发展.     

基于补偿的浮点八边形抽象域

为了解决抽象解释理论对浮点程序分析中的主要困难存在于构造复杂抽象域时采用实数而受限于高代价的计算量问题,针对八边形抽象域上实数运算提出了基于IEEE754的带补偿量的机器浮点表示及其运算算法,减少了浮点运算的复杂性;同时,将传统八边形抽象域扩展为可靠的浮点八边形抽象域,能够在分析的效率和精度之间取得合理的权衡.实验结果表明:用带补偿的浮点替代实数能够极大地提高八边形抽象域的效率,并且保证了分析的可靠性.     

超实数域R及其性质

(一) 从自然数的产生到超实数理论的建立,人们对数的认识经过了一个漫长的发展阶段。在这期间,数的概念经过了四次重要的扩张:即从自然数到有理数;从有理数到实数;从实数到复数;从实数到超实数。数的概念的每一次扩张都是社会实践的需要,也是数的概念的内在矛盾发展的结果。数的概念的每一次扩张,都标志着人类对客观世界的认识发展到了一个新的阶段。     

论体育技术和动作

在客观世界中有着许许多多千差万别的事物。人们在认识客观世界的过程中,逐渐认识到不同的事物具有不同的属性。在体育世界中,将具有不同属性的动作进行分类,形成了各种体育项目。通过对其技术的分析、比较、综合、概括之后,借助于语言的抽象作用,逐渐形成了各种动作学习、动作控制、动作发展的方法体系。因此,明确动作、技术的概念及两者的关系是学习、掌握、展现某一体育项目的重要因素。     

多媒体技术与传统教学手段在物理教学中的整合

物理学是一门以实验为基础的自然科学,研究方法一般是在观察和实验的基础上,对物理现象进行分析、抽象和概括,进而形成物理理论,然后再回到实践中去经受检验.而多媒体可以化静为动,化虚为实,化抽象为直观,拓宽教学的时间和空间.对多媒体技术和传统的教学手段进行整合,充分发挥多媒体技术和传统教学手段的优势,达到最佳的教学效果.     

多媒体技术与传统教学手段在物理教学中的整合

物理学是一门以实验为基础的自然科学,研究方法一般是在观察和实验的基础上,对物理现象进行分析、抽象和概括,进而形成物理理论,然后再回到实践中去经受检验。而多媒体可以化静为动,化虚为实,化抽象为直观,拓宽教学的时间和空间。对多媒体技术和传统的教学手段进行整合,充分发挥多媒体技术和传统教学手段的优势,达到最佳的教学效果。     

符号的本质(下)

符号的能指 -所指关系的概念是对物质世界的抽象概括 ,其任意性的本质决定了它们在语言符号内部既是相对稳定的 ,又是在不断变化的 ,这些特性促成了历时语言学和共时语言学的产生。它们不仅构成了现代语言学的基础 ,同时 ,符号能指 -所指关系的错位又形成了现代文本的审美价值。     

代数几何引论

代数几何历来是纯粹数学的重要分支，近数十年来它在许多应用领域（如物理、计算机科学、统计、工程及计算生物学等）中也日益起着重要作用。目前多数关于代数几何的论著都以“抽象”的方式进行论述（例如基于层论、上同调、导函子、范畴及抽象交换代数），使不少人（包括非数学专业的科研人员）望而却步。本书作者2001～2006年间在美国Rice大学及中国香港中文大学对大学高年级学生及研究生（包括非数学专业）讲授代数几何，考虑到不同领域的需要，改变了传统的“抽象”方式，以大学线性代数及基础抽象代数几何的基本结果为主，收效甚好。本书就是在此基础上形成的大学代数几何引论教材。     

实数连续性的同值形式

实数连续性是实数系区别于有理数系的最本质的属性。有理数系不具有连续性,因而不能用有理数去度量诸如不可公度线段之比这样一些量,也不能用有理数去描述连续变量的变化状态;而实数系因为具有连续性,则能成功地解决上述问题。“数学分析”是研究连续变     

自然科学学科发展战略研究报告之七：数学

数学发展的特点和趋势数学是研究现实世界中的空间形式和数量关系的一门科学。随着科学技术的发展,“形”与“数”这两个概念已不限于原来比较直观和狭隘的理解,而有了更普遍、更深刻的含义。可以说数学是关于模式和秩序的科学。数学不断从客观世界中,从数学以外的各个领域抽取事物间相互依存的形式和量的关系加以概括,抽象成为各种数学问题,运用已有的知识积累,找出其中的规律性。同时,数学作为一门科学,在长期发展的过程中形成了     

关于自然数的理论

数的概念是数学的基本概念之一。从数学发展史来看，数的概念是由于人类生产、生活的实际需要和为了解决数学本身所提出的问题而逐步形成并加以扩展的。首先产生自然数，然后逐渐产生零、正分数、负数、整数。有理数、实数、复数等概念。从科学的数系建立过程看，也是首先从自然数集出发扩展出整数集，然后依次扩展成有理数集、实数集。复数集。因此，无论是从数学史还是从科学数系的角度看，自然数集都是考虑问题的出发点。可以毫不夸张地说，自然数是整个中学数学的基础。本文打算从科学数系的角度，对自然数理论进行较详细的阐述。自然数…     

利用数轴巧解题

由于数轴建立了实数与数轴上的点一一对应关系,为“数”与“形”的沟通提供了工具,使抽象的数量关系有了形象直观的几何意义。在一些代数运算中,利用数形结合思想,可以使抽象变直观,繁琐变简单。     

实数连续性的同值形式

实数连续性是实数系区别于有理数系的最本质的属性。有理数系不具有连续性,因而不能用有理数去度量诸如不可公度线段之比这样一些量,也不能用有理数去描述连续变量的变化状态;而实数系因为具有连续性,则能成功地解决上述问题。“数学分析”是研究连续变量变化规律的科学,因此实数连续性对于“数学分析”的严格逻辑结构起着奠基的作用。什么是实数的连续性?这在不同的实数理论中有着不同的表述。正如大家所知道的,有     

非标准分析与定积分

首先把经典数学里的实数域扩充到超实数域,即在原来定义实数的基础上增加了无穷大量和无穷小量,然后分别从代数意义和几何意义上研究定积分的非标准等价定义.