没有两个圈有相同长度的一些图的边数

设G是具有n个顶点的图，ai（G）是G中长为i的圈的个数，ε（G）是G的边数，设fm(n)=max{ε（G）：ai(G)≤1对所有的i/m是整数，ai(G)=0对所有的i/m不是整数}本文证明了fm(n)≥n (3k-1)p-1对所有的t=mp,m是偶数，且n≥(15k^2-8k 1)pt/4 (5mk-m-12k 4)p/4 1。因此liminfn→∞fm(n)-n/n的平方根≥12/5m的平方根对于所有的偶数m成立。     

1-坚韧图中具有邻域并型的X-最长圈

设G是连通图,XV(G), G[X]是G的X生成子图.记α(X)=max{|S|:S是G[X]的顶点独立集}, ak(X)=MIN{k∑i=1d(vi):{v1,v2,...,vk}是G[X]的顶点独立集}, NCk(x)=min{|kUi=1N(vi)|:{v1,v2,...,vk}是G[X]的顶点独立集}(k≥2). 本文得到如下结果:对于n阶的1-坚韧图(n≥3), XV(G)且σ3(X)≥n+r≥n, r为正整数,则存在一个圈C满足|C(X)|≥min{|X|,|X|+NCr+5+ε(n+r)(X)-α(X)}, 其中ε(i)=3「1/3i」.-1/3i 此结果推广了H.J.Broersma等在文献[2]中的结果.     

2-连通图中X-最长圈下界估计

给一个图G,XV(G),G[X]为G的X生成子图,r为正整数。定义α(X)=max｛｜S｜｝S是G[X]的顶点独立集｝,αk(X)=min｛∑ki=1d(vi)｜｛v1,v2,…,vk｝是G[X]的顶点独立集},NCk(X)=min｛｜Uki=1N(vi)｜｛v1,…,vk是G[x]的独点独立集}(k≥2)．我们得到结论;对—任意的n阶2-连通图G(n≥3),xG,且α3(X)≥n+r≥n+2,则存在一个包含X的顶点数为min｛｜X｜,[X]+NC,+2+e(n+r)(X)-α(X)}的圈,ε(i)=3〔1-3i〕-1-3i.该结论推广了H.J.Broersma在文献[1]中的结果．     

泛圈图的一个充分条件

本文证明了:如果G是n(≥9)阶2连通无爪图,且G的每个导出子图Z_1,满足当u,v∈V(G)d_(z_1)(u,v)=2时有|N(u)UN(v)|≥n-3,则G是泛圈图或圈.其中Z_1≌(K_2UK_1)VK_1.     

关于支配圈和支配路的存在性

圈C称为图G的支配圈,若对G中任一点v,至少有圈C上的一个顶点与之邻接.类似定义图G的支配路.本文讨论了图中支配圈和支配路的存在性,得到下列结果:(1)设G是有n个顶点,ε条边的k-连通图(k≥1),若ε>((n-k)/2)~2-(3n-k)/2+4,则G中存在支配圈.(2)设G是有n个顶点的k-连通图(k≥2),若对图G中任何有k个顶点的独立点集{v_0,v_1,…v_(k-1)},满足N(v_i)∩N(v~i)=φ(0≤i≠i≤k-1),有~(k-1)∑_(i=0)d(v_i)>n-2(k+2)成立,则G中存在支配路.     

判别圈向量的一个有效算法

从圈空间?(G)中任取出一向量c,判别它是否圈矩阵之冗余行,可以用c与?(G)中其余各向量比较的办法来解决,所耗时间为O(2|E(G)|-V|G|),,本文通过关联矩阵的变换,给出一个有效算法,其时间复杂度为O(|V(G)|~2|E(G)|)。设B(G)是图G之关联矩阵,c=(q_1,q_2,…q_ε)是圈空间?(G)中任一向量;本文只考虑无向有限单图,计算在0-1二元域内进行。判别c是否圈向量算法如下:     

基于圈和三个孤立点的冠图的Q-谱确定性

设G是n阶图,H是m阶图,取n个H的拷贝,并将G的第i个点和第i个H中的每一点相连(i=1,2,…,n),所得到的(n+mn)阶图称为冠图,记为GH.对基于圈和3个孤立点的冠图的Q-谱确定性(无符号拉普拉斯谱确定性),即Cn3 K1的Q-谱确定性进行了研究,证明了当n≠32,64,128时,Cn3 K1由其Q-谱确定.     

关于r-(P_0,…,P_(t-1))—泛圈图

若G中长为r+tj+i的圈恰好有Pi(0≤i≤t-1)个,其中r+tj+t-1≤n,j是P_0,…,P_(t-1)重复的次数,则称G为r-(P_0,…,P_(t-1))-泛圈图.主要采用构造法,给出当t=8时r-(P_0,…,P_7)-泛圈图的一些结果 .即设n≥14,≥6若2-3+-3≤n2-2+-2且n-(r_((n,)-1))=s(mod8),s=0,1,…,7时,那么存在一个n阶r-(4,4,4,4,5,5,5,5)泛圈图,其中r=r_(0, λ)+s=﹛2~(λ-4)+3+s,当n≤3·2~(λ-4)+2时n-2~(λ-3)+1+s当n3·2~(λ-4)+2时同时,利用类似的方法证明了r-(1,1,3,3,4,4,5,5)—泛圈图、r-(4,4,4,4,5,5,5,5)—奇(偶)泛圈图以及r-(1,1,3,3,4,4,5,5)奇(偶)泛圈图.进一步,给出相应圈长分布的最小可能边数.     

与泛圈图有关的一些结果

设r,t,j是正整数,对于n阶哈密顿图G,若对每一个r+tj+i(r+tj+i≤n),G中长为r+i+j的圈恰好有di个,0≤i≤t-1,其中t是di的周期,j是t重复的次数,则称图G为r-(d0,…, dt-1)-泛圈图.本文讨论了r-(3,3,4,3,4,3,3,3)-泛圈图,r-(3,5,5,3)-奇(偶)泛圈图,以及g(0,0,6,…,6)的界.     

围长不小于r的2圈分布图的最大边数

阶为 n的图 G的圈长分布是序列 ( c1,c2 ,…cn) ,其中 ci 是 G中长为 i的圈的数目 ,图 G的圈长分布满足 c1=c2 =… =cr- 1=0且对 i=r,r 1 ,… ,n有 ci≤ 2 ,∑ni=rci>0 ,则称图 G是围长不小于 r的 2圈分布图 ,用 fr( n,2 )表示阶为 n的围长不小于 r的 2圈分布图的最大可能的边数 .证明了对每个整数 n≥ r 2 ,有fr( n,2 )≥ n 2 k -2 r 2 4n -2 4k2 8k 4r2 -1 2 r 5,其中 k=[( 5 6 0 n 6 0 ( r2 -3 r) 85) / 3 0 ],这里 [x]表示不超过 x的最大整数 .     

过特定顶点集的S-圈与S-路

证明了下面两个结论 :(1)设G是k-连通的n阶图 ,k≥ 2 ,S V(G) .若对G[S]的任意 (k 1) -独立集X ,有 k 1i=1k i- 1k si(X)>n- 1,则G中有含S的全部顶点的圈 ;(2 )设G是 (k 1) -连通的n阶图 ,k ≥ 2 ,S V(G) .若对G[S]的任意 (k 1) -独立集X ,有 k 1i=1k i - 1k si(X) >n ,则对任意的 {u ,v}≤V(G) ,G中有含S的全部顶点的 (u ,v) 路 .其中 ,G是有限无向简单图 .X为G的 (k 1) -独立集 ,Si(X) ={v∈V(G) N(v) ∩X =i} ,si(X)=si(x) ,i∈ { 0 ,1,2 ,… ,k 1} .     

围长为r的圈布图最大边数的新下界

降为n的图G的圈长分布为序列{C1,C2…,Cn},其中Ci是G中长为i的圈的数目,若图G的圈长分布满足C1＝C2＝…＝Cr-2＝0,Cr＝1,且对i＝r 1,…,n,有Ci≤1,则称图G是围长为r的圈分布图,用fr(n)表示阶为n的围长为r的圈分布图最大可能的边数,本文证明：对每个整数n≥R0（其中：r＝3时,R0=17,r≥4时,R＝3r-[r/2] 5,有fr(n)≥n-r ek t 4 η。     

长圈的邻域并条件的推广

本文证明了若G为一个k(k≥2)连通简单图,最小度为,δV(G)=n≥3,X 1,X 2,……,X k是顶点集合V的子集,X=X1∪X2∪…∪Xk,且对于Xi(i=1,2……k)中任意两个不相邻点u,v,都有N(u)∪N(v)≥n-δ,则X在G中可圈。并给出几个相关推论.     

关于图的符号圈(点)控制

引入了图的符号圈(点)控制概念,给出了所有n阶极大平面图G(n≥3)的符号圈(点)控制数γsc(G)的一个下界,即γsc(G)≥(8n - 16 - n△)/△,并且此下界是最好可能的,获得了满足γsc(G)=∣V( G)∣ -2的所有连通图的一个特点.此外,还确定了几类特珠图的符号圈(点)控制数.     

由圈长分布确定的偶图

阶为n的图G的圈长分布是序列(c1，c2，…，cn)，其中ci是图G中长为i的圈数，作者得到如下结果：设n≤r≤min{n 6，2n-3}，则Kn,r是由它的圈长分布确定的。     

一个5阶图与点、路、圈联图的交叉数

分别讨论了5阶图G16与nK1,Pn,Cn联图的交叉数,得到cr(G16+nK1)=Z(5,n)+n+n/2,n≥1;cr(G16+Pn)=Z(5,n)+n+n/2+1,n≥2;cr(G16+Cn)=Z(5,n)+n+n/2+3,n≥3,其中nK1是n个孤立点构成的图,Pn,Cn分别是含n个点的路和圈.     

外可平面图的几乎唯一泛圈性

设G是阶为n的简单Hamilton图,若存在m(3≤m相似文献   

单圈图谱的界

设G是有n个点的连通单圈图(即恰含一个圈的连通图)。λ_1(G)是G的最大特征值。G_n是n个点的圈。S_n~3是由星图K_(1,n-1)连接它的两个度为1的点而得到的图,则下列不等式成立λ_1(C_n)=2≤λ_1(G)≤λ_1(S_n~3)左边等号成立,当且仅当G≌D_n。右边等号成立,当且仅当G≌S_n~3。     

由圈长分布确定的偶图的几个定理

阶为n的图G的圈长分布是序列(c1，c2，…，cn)，其中ci是图G中长为i的圈数，得到如下结果：(1)设A包含于E(Kn，n)，则当Kn，n[A]≌K1，j或Kn，n[A]≌K2时，Kn，n－A是由它的圈长分布确定；(2)设A包含于E(Kn，n，|A|=4，n≥11，则Kn，n－A是由它的圈长分布确定的。     

广义奇圈的同构因子分解

广义圈是一个简单图G =(V ,E) ,其中点集V =V0 ∪…∪Vn - 1 ,|V0 | =… |Vn - 1 | ,边集Euν|u∈Vi,ν∈Vi 1 ,i=0 ,…n -1,i 1=mod(n) .证明了广义奇圈可以分解为t个同构因子的充要条件是t可以整除该广义奇圈的边数