数论函数方程φ(φ(n))=2~(ω(n))3~(ω(n))的奇数解

讨论了方程φ(φ(n))=2~(ω(n))3~(ω(n))的可解问题,利用初等方法给出了当n为奇数时该方程的奇数解,确定了该方程共有5个奇数解,其中ω(n)为正整数n的不同质因数的个数.     

一个包含Euler函数φ(n)的方程的解

针对Euler函数φ(n)与函数ω(n)混合的形如φ(n)=2~(ω(n))q_1~(ω(n)q2ω(n))…q_k~(ω(n))的方程的可解性,其中q_1,q_2,…,q_k为互异的奇素数,提出了方程φ(n)=2~(ω(n)5ω(n))的可解问题,利用Euler函数φ(n)与函数ω(n)的有关性质以及初等方法,得到了该方程的全部13组整数解n=1,11,202,250,2 222,2 510,2 750,3 012,3 750,27 610,37 650,41 250,414 150.     

广义Euler函数方程φ6(n)=2ω(n)的解

设n是一正整数,讨论了广义Euler函数方程φ_6(n)=2~(ω(n))的可解性,基于初等方法获得了其所有的16个解.     

方程φ(n)=2~(ω(n))P~(Ω(n))的可解性

Euler函数φ(n)是数论中的一个十分重要的函数,其中n为一正整数.有关Euler函数φ(n)的性质以及与Euler函数φ(n)有关不定方程可解性问题得到不少数论爱好者的关注与研究,得到很多极富意义的结果.讨论包含Euler函数φ(n)的方程φ(n)=2^(ω(n))P(ω(n))P^(Ω(n))的可解性,其中P为一个奇素数.基于Euler函数φ(n)的计算公式,采用分段讨论的方式,解决了方程φ(n)=2(Ω(n))的可解性,其中P为一个奇素数.基于Euler函数φ(n)的计算公式,采用分段讨论的方式,解决了方程φ(n)=2^(ω(n))P(ω(n))P^(Ω(n))的可解性,给出了其具体正整数解n=1以及其余正整数解的形式.根据本文所给出的结论,可相应的给出某些方程的正整数解.     

方程φe(n)=2 tω(n)的可解性

利用广义欧拉函数的性质和初等的方法与技巧,研究e∈{2,3,4,6}时,方程φ_e(n)=2~(tω(n))的可解性,给出其部分正整数解.     

一个包含Euler函数的方程

目的研究方程φ(φ(n))=2ω(n)的可解性。方法利用初等方法以及Euler函数的性质。结果给出了方程φ(φ(n))=2ω(n)的所有正整数解。结论确定该方程共有20个正整数解。     

关于Euler函数φ(n)的一个四元变系数混合方程的解

讨论了有关Euler函数φ(n)的四元变系数混合方程φ(xyzω)= 3φ(x)φ(y)+5φ(z)φ(ω)的正整数解,利用Euler函数φ(n)的计算公式以及初等方法,得到该方程有372组正整数解,并给出其满足x≤y,z≤ω的93组正整数解.     

包含广义Euler函数φ_2(m)的一方程的正整数解

为研究广义Euler函数φ_2(m)的性质,讨论了方程φ_2(m)=2~(ω(m))3~(Ω(m))的可解性,利用函数φ_2(m)的性质以及分类分段的讨论方式,给出该方程的正整数解,其中m是一正整数,函数φ_2(m)为广义Euler函数,ω(m)为正整数m的互异质因数的个数函数,Ω(m)为正整数m的质因数的个数函数。     

有关方程φ(ab)=k(φ(a)+φ(b))的正整数解

设φ(m)为Euler函数.本文探讨了方程φ(ab)=8(φ(a)+φ(b))的正整数解,利用初等方法给出了该方程的所有正整数解.根据方程φ(ab)=8(φ(a)+φ(b))正整数解的结论和已被讨论的相类似方程的正整数解的结论,证明了以下2个结论:对于任意正整数k,(a,b)=(2k,2k)是方程φ(ab)=k(φ(a)+φ(b))的1个整数解;对任意的正整数k,(a,b)=(~(2k+1),2~k×3)和(2~k×3,2~(k+1))是方程φ(ab)=2~k(φ(a)+φ(b))的2个正整数解.     

关于Diophantine方程x~(φ(n))-1=ny~2

对于正整数n,设φ(n)和ω(n)分别是n的Eluer函数和n的不同素因数的个数.利用高次Diophantine方程的性质,证明了当ω(n)≥3时,方程xφ(n)-1=ny2无正整数解(x,y).     

关于欧拉方程φ(mn)=2×3(φ(m)+φ(n))的正整数解

基于φ(n)为Euler函数,探讨了不定方程φ(mn)=2×3(φ(m)+φ(n))的正整数解的问题,并利用初等解法给出了该方程满足m≤n的所有正整数解。     

一类Euler函数方程的解的上界

设φ(n)为正整数n的Euler函数,讨论了Euler函数方程φ(x1…xn-1xn)=m(φ(x1)+…+φ(xn-1)+φ(xn))的求解问题,给出了该方程的所有正整数解的较为精确的上界.作为应用,对于一些给定的正整数m和n,求出了此时方程的全部正整数解.     

数论函数方程φ_2(n)=S(n~(10))的解

利用数论函数φ(n),φ_2(n),S(n)的基本性质并结合了初等数论方法研究了方程φ_2(n)=S(n~(10))的可解性,证明并给出该方程仅有正整数解n=320,441,882,1681,3362。     

数论函数方程φ_2(n)=S(n~(12))的解

利用数论函数φ(n),φ_2(n),S(n)的基本性质并结合初等数论方法,研究了方程φ_2(n)=S(n~(12))的可解性,证明并给出该方程仅有正整数解n=480。     

一个关于Smarandache LCM对偶函数的方程

利用初等数论和分类讨论的方法研究函数方程∏ multiply(d|n) SL*(d)+l=2~(ω(n))的可解性,并得到了它的所有正整数解的具体形式。     

Euler函数与广义Euler函数混合的几个方程的解

讨论了几个有关Euler函数φ(n)与广义Euler函数φ_2(n)的二元定系数方程φ(xy)=k(φ_2(x)+φ_2(y))与二元变系数方程φ(xy)=k_1φ_2(x)+k_2φ_2(y)解的问题,结合Euler函数φ(n)与广义Euler函数φ_2(n)的性质,利用初等方法给出了所讨论的几个方程的解的情况.     

关于方程Z(n)=φe(SL(n))的正整数解

基于广义欧拉函数φ_e(n)的计算公式,利用初等方法和技巧给出e∈{p~t,pq}时,方程Z(n)=φ_e(SL(n))没有正整数解的几个充分条件,其中p、q是不同的素数,t为正整数.最后对任意的正整数e,完全确定方程Z(n)=φ_e(SL(n))的全部正整数解.     

关于Euler函数一个方程的正整数解

研究了方程φ(abc)=6(φ(a)+φ(b)+φ(c))的可解性问题,利用初等方法给出了该方程所有的204组正整数解,其中φ(n)为Euler函数.     

一类包含Euler函数方程的正整数解

设φ(n)是Euler函数,研究了方程φ(xyz)=10(φ(x)+φ(y)+φ(z))的可解性,利用初等方法给出了该方程的398组正整数解。     

一个包含Euler函数方程的正整数解

主要利用初等方法研究了方程φ(xyz)＝3(φ(x)＋φ(y)＋φ(z))的可解性问题,给出了该方程的所有的正整数解,其中φ(n)为Euler函数.