试论刘徽建立数学理论体系的方法

《九章算术》的完成,标志着中国古代数学体系的形成,魏景元四年(263年),刘徽注《九章算术》,使《九章算术》数学体系的许多原理、法则,有了较严密的理论依据。其间,也阐述了刘徽本人在数学上的不少创造性发现。这是刘徽数学理论研究的一个方面。关于这个方面,近年来国内发表了一些水平较高的研究论文。刘徽数学理论研究的另外一个方面,体现在对《九章算术》数学体系作整体上的理论研究,亦即创立数学理论体系。创立数学理论体系是个十分艰巨的工作,刘徽能出色地完成这个艰巨的工作,应归功于他那先进的科学思想和方法。     

《测圆海镜》的构造性

数学的构造性有两个层次：内容的构造性与体系的构造性。《测圆海镜》的研究对象可用数学手段构造出来，因为所有问题都和圆城图式有关，未知量总是圆的直径，而已知量则是某些线段。显然，这些量是可以作出的。此外，解题步骤均形成完整结构，没有试猜的成分和经验性结果。所以《测圆海镜》的内容是构造性的。从书的体系来看，各卷的问题解法均可由卷一“识别杂记”中的定义、定理、公式推导出来，全书成一整体结构。由此可见，《测圆海镜》是一个构造性体系。     

《周易》与中国古代数学

《周易》的占筮过程是一个计算过程,因而《周易》的发展是以一定的数学知识为前提的。《周易》对中国古代数学又有重大的影响:使中国古人形成独特的“万物皆数”的数学观,《周易》的以价值判断为中心的思维取向,促使中国古代数学成为一种应用数学;《周易》“命筮取数”的方法,促使计算成为中国古代数学的核心,从而使它成为一种计算数学;《周易》的以卦象为工具的“唯象思维”的特点又促使中国古代数学成为一种离散数学。     

试论刘徽的数学理论体系

魏景元四年(263年)刘徽注《九章算术》,它与《九章算书》成书一样,是中国数学史上划时代的大事。从《九章算术》到刘徽注,标志着中国古代数学理论体系的形成。为了说明这个问题,首先要回顾一下《九章算术》的风格和特点。《九章算术》分方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九部分,包括近百年基本公式和解法,其中有许多世界意义的成就,全国概括了东汉初年以前中国数学的主要内容和成就,基本上奠定了中国古代数学的框架。     

《管子》与古代数学

《管子》与古代数学乐爱国一般认为，先秦的数学以《墨经》、《考工记》中的数学知识为代表。然而，先秦重要典籍《管子》中也有丰富的数学知识。虽然《管子》中没有专门论述数学的篇章，但其中包含有丰富的重视计数的思想，有大量涉及数及数量关系的论述，在先秦诸子典籍...     

佛经中的古代印度地震占卜体系——以《虎耳譬喻经》为例

佛教入华是中国文化史上的一桩大事,带来的不仅仅是佛教义理,还有整个印度文化。星占、医学这些掌握在印度婆罗门家族的专学,通过佛口向古代中国的人们宣说。《虎耳譬喻经》是最早入华的星占类佛经,包含了古代印度种类繁多的星宿占卜信息,反映了古代印度地震理论体系的成因、分类、按星宿日按时辰的地震占卜等。印度以凯拉什山中心宇宙模型影响下的雷、水、风、火四大引起地震的理论体系,与中国古代阴阳失序引起地震的理论体系完全不同,在印度古代占卜类文献如《广集》、《阿闼婆吠陀注》中也有类似记载。地震占卜记载体现了古代人们的灾害意识。     

再论中国古代数学与儒学的关系——以六至七世纪学者对于礼数的不同注疏为例

本文通过分析贾公彦、孔颖达、甄鸾、李淳风等对于《仪礼·丧服》"去五分一以为带"的注疏、注释,揭示出诸家对于礼数的数理解释不尽相同。具体来说:一、贾、孔等遵循注疏儒家经典的做法,把数学知识作为儒经的一部分,他们对于礼数的理解是依据汉字结构,其算法实施不需要筹算;二、甄、李等则重新组织儒家经典以适应当时数学著作的体例,他们从数学的角度去理解礼数,其算法有一个筹算过程。从历史语境来看,这发生在甄鸾扩展数学应用范围,以及唐代政府注疏儒经和注释算经活动的背景下。本文认为我们需要拓展中国古代数学的内涵。在此基础上,数学与儒学的关系并非一成不变:据《周礼》所载,周代九数是周礼的一部分;之后,九数发展为以《九章筭术》为代表的相对独立于儒学的数学体系;另一方面,至唐代,学者们通过注疏儒经也发展出相对独立的数学体系。因此,诸家对于礼数的不同注解反映出:儒经数学是儒学天然的一部分,算经数学则是相对独立于儒学的知识体系,尽管甄鸾、李淳风等通过《五经筭术》试图重建数学与儒学的紧密联系。     

构造性数学及其哲学意义

本文在介绍了构造性数学的产生和发展的基础上，重点阐述了它的数学原则和数学基础，表明了可构造性的数学底蕴。最后通过对构造性数学产生的原因和其所要达到的目的的分析，论述了构造性数学的重大意义，同时评析了我国学术界对它的一些认识。     

<数术记遗>之古算十四法的程序意义解读

本文从程序化意义来研究和解读《数术记遗》所记载中国古代算法十四种，突显了中国传统数学以能行性的权械化为其主要特征．并指出：我国古代数学对十进位置计数程度的驾驭，已达到“熟则变，变则通”的纯熟地步。     

李约瑟难题的数学诠释：数学文化史研究的一个尝试

本文从数学文化史的角度出发，论述了中国古代数学所处的实用技艺的文化层次及其价值取向，以及它与古希腊为代表的西方数学的文化层次、价值取向的差异，进而指出了以西方数学及其数学与自然科学相结合的模式来评价中国古代数学或者评价中国古代科技的发展都将会把人们引入一种认识上的误区。     

中华古算,光耀千秋——评郭书春《九章算术》汇校本

中国科学院自然科学史研究所副研究员郭书春先生以“十年磨一镜”的精神,完成了35万字的大著《九章算术》汇校本,经著名数学家、数学史家吴文俊、严敦杰先生作序,历史学家李学勤作跋,书法家启功题签,最近由辽宁教育出版社出版,台湾九章出版社也有意刊行,这是数学史界值得庆祝的一件大事。《九章算术》是我国古代最重要的数学经典,也是堪与古希腊《几何原本》相媲美的世界数学名著。吴文俊教授认为:“《原本》开创了公理化演绎体系的纪元。其思想方法与方式,在数学的现代研究中占据着一种统治地位。”而“在我国,则《九章》以其独特的方式和方法,阐扬了以算为主以术为法的算法体系。”并且“由于近代计算机的出现,其所需数学的方式方法,正与《九章》传统的算法体系若合符节。《九章》所蕴含的思想影响,必将     

元代《几何原本》为何没有影响中国思想传统——回回天文学家的语言世界、群体目标和种族烙印

《几何原本》曾是元代钦天监所用书籍,为何它所代表的西方科学思想核心未能影响古代中国思想传统?本文提出三个尚未见系统涉及的假设。第一是语言的障碍,元代阿拉伯天文学家的母语是阿拉伯语,他们来中国后的入乡随俗,应当是随"操蒙语的蒙古人"之俗,而不是随"操汉语的汉人"之俗。第二是元代中西天文学展现出"差异",它没有像明末清初中西天文学凸显出"冲突",这是由于回回历法服务于伊斯兰信徒,以及回、汉天文台独立运行,客观上减弱了交流的动力。第三是李约瑟所说的古代科学带有种族烙印性质,具体而言,回汉天文学缺乏共同的数学语言,古代中国天文学和数学均具有坚强的传统,使得《几何原本》只有留待近代科学的兴起后才重新在中国被赋予意义。     

古代朝鲜学者的《授时历》研究

该文通过对几部朝鲜古代历法著作的研究,对古代朝鲜学者对《授时历》的消化吸收情况进行了探讨,结果发现：《授时历捷法立成》则是高丽天文学家姜保根据《授时历》独立推算的一套立成表,但在使用上比《授时历立成》本身的立成表更为方便。《七政算·内篇》在“应数”等基本常数方面虽然取自《授时历》,但在算法和体例方面则主要是以《大统历通轨》为参照的;该书中的四季半昼夜分和日出时刻表是李朝天文学家根据《授时历》“步九服所在漏刻术”推求的,该算法与球面天文学算式相符,为推算结果提供了精度保障。《交食推步法》中已经正确推出了《授时历》盈缩、迅疾立成表的一般计算公式,表明李朝早期的朝鲜天文学家已经掌握了招差术以及《授时历》立法原理,对这部历法已经真正达到了融会贯通的水平。     

惠更斯与概率论的奠基

惠更斯是概率论学科的奠基者之一。其《论赌博中的计算》是第一部概率论著作，该书首次提出数学期望的概念，创立了“惠更斯分析法”，第一次把概率论建立在公理、命题和问题上而构成一个较完整的理论体系。     

中世纪印度数学家婆什迦罗及其《莉拉沃蒂》

《莉拉沃蒂》（Lilavati）著于十二世纪，是古代印度最有影响的数学著作。本文基于对原著的翻译，系统介绍《莉拉沃蒂》作者以及该书的各种版本流传情况，并通过该书中的具体算例，介绍《莉拉沃蒂》的内容及特色，以呈现印度传统数学的风貌。     

刘徽的数学理论

一、中国古代数学是有理论的从“五四”运动前后开始,几十年来,由于李俨、钱宝琮、严敦杰等先生对中国古代数学做了大量的整理研究工作,在国际学术界,那种认为中国古代数学没有成就以及中国的数学著作都是在外来影响与启发下完成的等错误看法,已不断得到纠正。一些公正的学者用大量的事实指出上述看法是站不住脚的。著名的科学史家李约瑟教授在他的巨著《中国科学技术史》第三卷(1959)中认为,中国古代数学不仅有许多项目比同时代的其他国家遥遥领     

数学发现和论证的两种原型:古希腊与古中国

萨博论点认为希腊数学证明源于埃利亚学派,但没有涉及与之相关的社会文化原因。把视野扩大到社会文化背景,可以发现,古希腊重甲步兵的出现以及其社会地位的提高,创造了以对抗或竞赛为象征的民族精神,从而既摆脱了怀疑主义哲学的束缚,又使得批判思维统治社会成为可能,这才是埃利亚学派及其数学产生的社会原因。另一方面,结合中国传统社会的考察,分析《九章算术》源于日常实践的问题以及复杂的理论回答,可以发现,中国古代需要大量人力完成的农业技术发展和日常生活中的实用技术发展,都得益于其算法的实用性,中国传统数学由此而成为东方数学的最高形式。两种数学实践的原型代表着两种重要的数学价值观,即确定性与实用性。     

近代数学为什么没有在中国产生?

数学已成为一个庞大、严谨、优美的理论体系。它也渗透进每一门精密科学的理论,是各门学科的共同语言,也是科学探索的有力工具。数学在科学技术中的地位及其对于科学技术历史进展的深刻影响是毋庸置疑的。中华民族的文明中包括许多杰出的数学成就,我国古代的数学研究达到了相当高的水平,居世界领先地位。可是为什么近代数学却未能在中国出现呢? 针对这个问题我们选编了以下这组文章。梁宗巨的文章论述了中国近代数学落后的历史原因。郭金彬概括了中国数学理论的某些特点。梅荣照、王渝生根据李善兰尖锥术的历史资料对于中国数学按其本身规律发展能否产生近代数学理论作了有意义的分析。乐秀成则分析了中国和西方数学理论不同的发展模式。     

古人的行旅生活

在以农业为主体经济形式的古代中国，形成了长期安居本土，不轻易迁徙的文化传统。因而《汉书》中就有所谓“安土重迁，黎民之性”的说法。《列子》中也写道：“有人去乡土、离六亲、废家业、游于四方而不归者，何人哉？世必谓之为狂荡之人矣。”古代的经世治国者普遍认为，人民定居在土地上，各司其职，是理想的社会状况。而四处流动迁徙的人则被看做无益于社会正常发展的闲散人口。但同时也应当看到，     

刘焯《皇权历》插值法的构建原理

中国古代历法中的插值法肇始于刘焯《皇极历》（公元６０４年）。它的发明使中国古代历法的算法系统进入新的历史阶段，从而成为中国古代天文学史、数学史上具有划时代意义的伟大成就。文中提出刘焯太阳运动理论核心的三个假设，破解了刘焯二次等间距内插法的造术原理。