关于不定积分的一个线性运算法则

本文对不定积分的一个线性运算法则的条件与证明进行了深入的讨论,纠正了数学分析教材中在这个问题上长期以来的混乱与矛盾,并给出了两边含有不定积分的等式的证明方法.     

如何构造辅助函数证明含有“中值点”的导数值的等式

通过实例介绍了在利用微分中值定理证明含有“中值点”的导数值的等式时,如何利用构造法引进辅助函数的方法。     

等式的一个性质的妙用

举例说明了等式的一个性质"在等式的两边分别乘以(或除以)一个相等的非零的数或整式,等式仍成立"在解题中的妙用.     

关于拉格朗日和柯西中值定理的一个证明和注记

对于微分中值定理的证明,高等数学教材或数学分析教材一般都是用设辅助函数的办法,《美国数学月刊》在近年里有一种构造性的证明被刊登,本文作者则采用旋转变换的这一简洁办法。同时文中给出了微分中值定理的一个更广义的结论。     

导数定积分几何意义实例教学的分析

本文以正方形面积与圆面积、球体积与圆柱体体积为实例,分析导数与微分、不定积分(或原函数)与定积分等概念的几何意义及其极限思想,得到微分代替改变量的充要条件.     

浅析中值定理中的构造辅助函数法

微分中值定理反映了导数与函数的关系,建立了导数的局部性与函数整体性的联系,利用微分中值定理可以证明有关的等式或者不等式,有着非常重要的价值。本文利用构造辅助函数法给出了拉格朗日中值定理和柯西中值定理的另一种证明方法。     

复合函数求导数法则的证明的改进

设y=f(u),u=φ(x),u在x_0可微分;u_0=φ(x_0),y在u_0可微分,则复合函数y=f(φ(x))在x_0可微分,而且(1) dy/dx|_(x=x_0)=f′(u_0)·φ′(x_0)。这个复合函数求导数法则的证明,在通常的数学分析教科书上,有如下两种: 〔证法一〕给x从x_0起取增量△x(≠0),则相应地函数u从u_0起得增量△u,y从f(φ(x_0))起得增量△y。因为f′(u_0)存在,所以当△u≠0时,令α=△y/△u-f′(u_0),就有limα=0,而且 △u→0     

微分中值定理的另类证明与应用

在通常的数学分析教材中,微分中值定理的证明是通过构造辅助函数,在罗尔中值定理的基础上证明的。受到Darboux定理的证明方法的启发,本文给出了构造另类辅助函数,应用罗尔中值定理证明微分中值定理的新方法,并介绍了微分中值定理在解决数学问题中的广泛应用。     

关于第二积分中值定理

在数学分析中第二积分中值定理的基本形式是: 定理1 设f(x)在〔a,b〕(a〈b)上单调下降(即使广义的也可以),并且非负,则对〔a,b〕上的任意可积函数g(x),有integral from n=a to b (f(x)g(x)dx)=f(a) integral from n=a to b (g(x)dx) (1)其中ξ∈〔a,b〕。其证明可参见〔1〕、〔2〕、〔3〕。定理1仅告诉我们其中的ξ∈〔a,b〕,那么能否恰当地选取ξ,使之属于开的区间(a,b)呢?我们说,不一定!且看下面的例题。考虑〔0,(3/2)π〕上函数 f(x)=1与g(x)=cosx,显然它们满足定理1的条件,于是按照定理1,(1)式应该成立。然而     

一道三角函数有理分式不定积分习题的解法与探讨

不定积分的计算方法与技巧是数学分析教学中的重要内容之一,针对教材中一道三角函数有理分式不定积分习题,给出多种解法,研究了该问题在一般情形下的积分,进行分类讨论,给出积分公式,并举例加以说明。     

不定积分概念与逆向思维

微分法与积分法是互逆的运算。建立在微分概念基础上的不定积分，不仅概念抽象较难理解，而且计算起来也十分不易。因此，在不定积分概念的学习中，应注意运用过向思维以突破难点，同时也培养过向思维的能力，使两者相得益彰，切实地把握不定积分的概念及内涵。微分公式：dy＝f＇（x）dx告诉我们对于一般函数y＝f（x）如何去求微分，即函数的微分为国数的导数与自变量微分的乘积。微分在某种意义上等价于导数。有时我们只关注求导即可。如，因为，易得dy＝x2dx。反过来，如果已知dy＝x2dx，那么x＝？是否是？还有没有其他的可能？对于这些问…     

一类微分型Gronwall不等式的应用及推广

常见的Gronwall不等式分为积分形式与微分形式。首先,对于常见的积分型Gronwall不等式,旨在给予一种新的证明方法,不同于以往不等式两端乘以指数函数的证明方法,而是应用最基本的积分公式加以证明,并用该不等式证明了一阶常微分方程解的唯一性;其次,旨在推广微分型Gronwall不等式,应用基本微分型不等式证明了波动方程解的唯一性及热传导方程的解能量估计;再者,应用变量代换、求导公式及基本的微分型Gronwall不等式,把一阶微分型的Gronwall不等式推广为两种情形:右端控制项由一次方升到α(α0)次方;把一阶微分型的Gronwall不等式推广到二阶微分型的Gronwall不等式,并得到与一阶相似的结论。     

缓变系数线性中立型系统的稳定性

文〔1〕研究了缓变系数动力系统的稳定性。文〔3〕、〔4〕利用〔1〕中方法讨论了中立型微分系统的稳定性,但是附加了初始函数φ(t)的二阶导数φ(t)存在且有界的条件。这样就缩小了初始数据空间,因为中立型系统的初值问题只要初始函数φ连续一阶可微(可参见〔2〕)。本文改进了〔3〕的结果,取消了φ(t)存在的限制,在其它条件与〔3〕、〔4〕相同的情况下,得到了稳定性结论。     

关于多重时间尺度奇摄动解的一个特殊解法

考虑二阶振动方程初值问题其中“＇”表示关于时间t的导数。在〔1〕中研究了P(ε)=2ε时的情形,用了二项展开式的方法得到渐近解;在〔2〕中研究了P(ε)为多项式且P(ε)=O(ε＇),(J≥1)的情形,得到误差为O(ε~(2J))的“最优”近似展开式。本文是考虑在更一般的情形下,借助多重时间尺度 t_i=ε~it,i=0,1,2,…,k (4) 又引入在〔1〕的基础上加以改进的一个特殊解法。利用这种方法,对某类方程可以方便地得到渐近解,并进行余项估计,从而得到任意次近似的一致有效的渐近展开式。利用这种方     

对分析化学中〔Co(NH_3)_6〕~(2+)和〔Co(NH_3)_6〕~(3+)配离子颜色的讨论

本文指出一些定性分析教材中关于〔Co(NH_3)_6〕~(2+)和〔CO(NH_3)_6〕~(3+)配离子的颜色存在矛盾之说,实验证实〔Co(NH_3)_6〕~(2+)络离子是红色,〔Co(NH_3)_6〕~(3+)为土黄色,而〔Co(NH_3)_5Cl〕~(2+)或〔Co(NH_3)_5H_2O〕~(3+)离子为红色。     

如何构造辅助函数证明含有“中值点”的导数值的等式

通过实例介绍了在利用微分中值定理证明含有“中值点”的导娄值的等式时，如何利用构造法引进辅助函数的方法。     

关于累次积分的一条定理

在多元函数积分学中,讨论重积分与累次积分的关系是十分重要的。它给出了计算重积分的一个简便的、行之有效的方法。在勒贝格积分理论中,有一条著名的富比尼定理,这个定理可以叙述为: (1)设f(x,y)是矩形I=〔a,b〕×〔c,d〕上的勒贝格可积函数,则在〔a,b〕上除去一个零测度集以外,f(x,y)作为y的函数是勒贝格可积的,而且函数(?)在〔a,b〕上勒贝格可积(在上述零测度集上,φ(x)可任意定义),同时以下等式成立:     

平面曲线的相对曲率公式的几种证明方法

在平面曲线的理论中,相对曲率k~r 是最重要的量。关于它的计算公式k_r=(x′y″-x″y′)/(x′~2 y′~2)~(3/2) (1)的证明,国内的教科书基本上都是借助于x 轴上的单位向量(?)到曲线的切向量(?)的有向角(?)(见参考书目〔1〕、〔2〕),但〔3〕、〔4〕指出(?)可能不连续,因而没有定义好,故这种推导不理想。国外有的教科书利用空间曲线曲率k 的计算公式,先求出丨k-r丨(?),再讨论其符号而得出,这也显得麻烦。本文给出直接利用平面曲线的基本公式,不依赖于角(?),证明相对曲率计算公式(1)的几种简单方法,以供参考。     

简化物理方程的一种方法

在理论物理研究中,常常会遇到一些物理方程,这种方程中含有一些物理量,处理这种方程时我们首先必须作些变量或常数的替换,使之成为形式较简单的数学方程(方程中尽可能不出现物理量)。而作这种简化必须遵循一些物理上的准则,如所作替换的常量必须无量纲等。现行教材和一些文献上的处理方法往往使读者不易接受。本文将列举几例,介绍处理这种问题的一种简洁方法。 〔例1〕将线性谐振子的Schrodinger方程     

亚纯函数值分布中Milloux和Hayman不等式的改进

研究了亚纯函数值分布理论中的几个重要不等式,把其中亚纯函数f(z)的导数推广为f(z)的微分单项式,改进了著名的Milloux.H不等式和Hayman.W.K不等式.