关于级数几个问题的研究

1 求幂级数的收敛域应注意的问题1.1 不要忽视缺项的幂级数例∑(x~(n~2))/2~n解一由“柯西—阿达玛”定理∴R=1/ρ=1 且 x=±1时,级数收敛,从而∑(x~(n~2))/2~n收敛域为[-1,1].     

有限域上由两个广义对角多项式所确定的簇中的有理点

设Fq为有限域,f_l=a_(l1)x(~d~(l)_(11))_(11)…x~(d~((l))_(1_(k1)))_(1_(k1))+a_(l2)x~(d~((l))_(21))_(21)…x~(d~((l))_(2k_2)_(2k_2))+…+a_(ln)x~(d~((l))_(n1))_(n1)…x~(d~((l))_(nk_n)_(nk_n)+c_l(l=1,2)为F_q上的一组广义对角多项式,用N_q(V)表示由f_l(l=1,2)确定的族中的F_q有理点的个数.作者利用Adolphson和Sperber的牛顿多面体理论与指数和工具,证明了ord_qN_q(V)≥max{「∑~n_(i=1)1/d_i」-2,0,其中d_i=max{d~(1)_(ij),d~(2)_(ij)|1≤j≤k_i},1≤i≤n.     

比式判别法的一个推广

运用比式判别法来推导幂级数的收敛半径常常比较方便,但当该级数有缺项(即相应的系数α_n为零)时,该方法失效。本文将比式判别法推广,以使当幂级数有缺项时,亦能准确导出幂级数的收敛半径。     

由Cauchy判别法和D'Alembert判别法所得到的结论及其应用

求幂级数的收敛半径,一般都用D′Alembert判别法,用Cauchy判别法亦可求幂级数的收敛半径,因此,本文由D′Alembert判别法和Cauehy判别法得到了有关的结论,从而可应用结论求形如lim(ψ(n))~(1|2)(?)或lim(ψ(x))~(1|2)(?)的极限。     

一类特殊幂级数收敛半径的简单求法

本文给出了等差缺项幂级数、等比缺项幂级数的概念,并给出了求它们的收敛半径的简单求法.     

多项式项级数的积分定理

在本文中给出两种方法来求:当n→∞时, J_n(ω)=integral from n=-1 to 1 ρ(x)((u_n(1)-u_n(x))/(1-x)~ω)dx的渐近表达式,这里u_n(x)为n次多项式,ρ(x)为适当选取的函数在开区间(-1,1)中连续并取正值,ω为适当的正实数。第一种方法利用多项式u_n(x)具有特殊形式的循环公式。第二种方法是:当u_n(x)具有洛巨里格表达式且ω的取值在适当的区间中时,可以求出(?)_n(ω)=integral from n=-1 to1 ρ(x)((u_n(x))/(1-x)~ω)dx,于是利用解析延拓法,当ω的取值在更大的区间中时,可以求出J_n(ω)。利用第二种方法证明了下述定理: 设α≥-1/2且α≥β>-1。令f(x)=sum from n=0 to ∞c_nP_n~((α,β))(x),这里P_n~((α,β))(x)表示雅谷比多项式,如果c_n终规为正,且sum from n=0 to ∞c_nP_n~((α,β))(1)=0, 则按照λ=1或1<λ<2,integral from n=0 to 1 ((f(x)/(1-x)~λ))dx存在的充要条件分别是Σc_nn~αlogn收敛或Σc_nn~(α 2(λ-1))收敛。利用本定理即可推出:作者在函数项级数的积分一文中所证明的关于勒襄特级数及切比晓夫级数的两定理。     

缺项幂级数收敛域的求法

求幂级数收敛域最关键的是求它的收敛半径.对于缺项(或不完全)的幂级数,由于不能直接使用教材中给出的求完全幂级数收敛半径的公式来求收敛半径,需要寻求新的方法.为了解决这一问题,介绍四种简单方法,先求出幂级数的收敛半径,然后考虑其收敛域.     

双目标规划问题的正交算法及其收敛性质

本文提出了双目标规划问题的正交算法。文中指出:若输入空间的可行域有界,输出空间的可行域为有界凸集,则利用本算法可以在有限步取得非劣解;或者产生一互异点列{x~(k1)),而{x~(k1))的任一收敛子列均收敛于双目标规划问题的最优解,{f(x~(k_1))}收敛于最优值。     

关于“广义的准一致收敛性”

ξ1 引言在数学分析教程中,我们已经知道:对于定义在闭区间上的连续函数串u_n(x)(n=1,2,…),如果它们使得级数sum from n=1 to ∞(u_n(x))在[a,b]上一致收敛于函数u(x),则U(x)也     

级数求和的若干方法

实值级数sum from n=1 to ∞的和,定义为lim n→∞ S_n=lim n→∞ （sum from k=1 to n（a_））,对于收敛级数的求和方法,常用的有裂项相消法,利用幂级数在收敛区间内的逐项可积,逐项可导等方法来简化计算。本文给出了数学归纳法、Abel定理、幂级数展开式、复数级数展开式等方法来解决收敛级数的求和问题。     

两个判别法的等价性

在文[1]中,介绍了判别正项级数敛散性的一种方法,其方法如下:设sum from n=1 to ∞ a_n为正项级数,如果(?)(a_(n 1~))/a_n)<(1/e),则级数收敛;如果(a_(n 1~(?)))/a_n>(1/e),则级数发散。本文要指出:此判别法与拉阿伯(Raabe)判别法是等价的,仅在于表现形式不同。为讨论问题方便,先列出拉阿伯判别法:设sum from n=1 to ∞ a_n为正项级数,如果(?)(a_(?)/a_(n 1~))>1,则级数收敛;如果(a_n/a_(n 1)-1<1,则级数发散。     

扰动压缩条件的点列收敛性问题

本文研究完备度量空间X中满足ρ（Xnrxw＋1）≤LP（xn＋1,Xn）＋sn的点列{xn}收敛性问题,其中L∈（0,1）为常数,εn非负是无穷小量称为扰动,文中的主要结论是：点列{Xn}的收敛性由扰动εn决定,即当幂级数岛∑n=1^∞ εnxn的收敛半径R〉I/L时,点列{xn}收敛,特别地,当R〉1时,点列收敛;而时,{xn}敛散性不能确定。     

缺项幂级数收敛域的求法

本文从一道求幂级数收敛域的习题讲起,讨论了在缺项条件下,幂级数收敛域的求法。     

几类二次不定方程的解的递归表示

记数列u_o=0,u_1=1,u_n=a_nu_(n-1) bu_(n-2)(n≥2)的项为u_n=u_n(a,b)。设a为正整数,a~2±1及b~2±4为非完全平方的正整数,c=±1或±4,本文证明了二次不定方程x~2-(a~2 1)y~2=c,x~2-(a~2 4)y~2=c,x~2-(a~2-1)y~2=c,x~2-(a~2-4)y~2=c的一切非负整数解可分别由u_n(2a,1),u_n(2a、-1),u_n(a,1),u_n(a,-1)表示,且求得了相应的表达式。     

几种特殊的幂级数的收敛半径

阿贝尔(Abel)定理为幂级数收敛半径的存在确立了理论依据,“比值法”等为确定幂级数收敛半径提供了具体的方法,本文依据这个理论证明了几种特殊幂级数收敛半径的确定结果。     

一种降低条件数的迭代格式

设要解线性方程组Ay=f这里A=(a_(ij))为n阶正定方阵,且a_(ij)≤0,i≠j。不妨假定A=I—L—L~τ,其中L是严格的下三角形矩阵,L~τ是L的转置矩阵(因为其它情形可以经过简单的代换化成这种形式,即D~(-1/2)AD~(-1/2),其中D是由A的对角线元素所构成的矩阵)。由A正定则有ρ(L+L~τ)=ρ<1,又因ρ=0时,A=I没有讨论价值,故以下认为ρ>0。本文的要旨是寻找一个矩阵C,使CAC的条件数变小,但在进行迭代求解时,运算量并不比通常的增多,这样就能使收敛加快,因为许多迭代格式的收敛率都是仅与条件数有关的。文     

按平均单调数列的收敛问题

数列{a_n}满足条件:a_n≤a_(n+1)(或a_n≥a_(n+1))称为按遞增单调(或按遞減单调)数列,推广之,卽有: 数列{a_n)满足条件: 就称为按算术平均单调数列。关于这种数列的收斂问题,已由波兰F. Leja研究过,至于其原文我没有看过,本文就几个主要定理证明之,所用的方法就是利用反证法来证明上、下极限相等。     

关于Roth分布不等式的一个推广

本文推广了Roth的关于分布不均匀性的一个不等式到很一般的情况。设Ω为R~m中一区域,f∈C~m(Ω)。P_1…P_N为Ω内N个点。记S(x~1,…,x~m)为在(—∞,,x~1)×…×(—∞,x~m)内的点数。记Δ(t)={x∈Ω||(?)~mf(x/(?)x~1…(?)x~m|≥t)。ρ(x,(?)Δ(t))为x到Δ(t)的边界距离,则integral from n=Ω[S(x)-f(x)]~2dv≥c(m)(logN)~(m-1)N~(-2) integral from n=0 to ∞(t integral from n=Δ(t) (ρ(x,(?)Δ(t))~mdv)dt.     

罗伯特·詹逖生在幂级数部分列零点理论上的工作研究

利用历史分析和文献考证的方法,探讨罗伯特·詹逖生(Jentzsch R,1890-1918)在幂级数部分列零点理论方面的工作,揭示其思想方法和重要影响.詹逖生在1914年的博士论文中提出了关于幂级数部分列零点的两个重要定理,一个是幂级数收敛圆上的每个点为其部分列零点的聚点;另一个是部分列零点数目的定量描述.在1917年的论文中,他通过具体例子说明了级数超收敛的思想.詹逖生在此方面的工作奠定了幂级数部分列零点理论研究的基础,对斯泽古(Szego G,1895-1985)、Dvoretzky A、奥斯特洛斯基(Ostrowski A,1893-1986)等人有重要影响.     

反向差分在级数求和中的应用

数列a_0,a_1,a_2……a_n,… (1)的反向差分定义为Va.’ao,n》1时,Vso’s,—a,—1, (2) 其γ阶反向差分定义 (3) 反向差分在求无穷或有穷级数的和时,有一些简捷方便的结果,本文拟加以探讨,如无特殊声明,本文中的幂级数均指形式幂级数。