鞅的极小算子及加权不等式

设(Ω,F,μ)是一完备的概率空间,假定(Fn)n 0是F的完备子σ代数的一个增加族,满足F=∨n 0Fn,其中F0是平凡的(F0=(Φ,Ω)),f=(f1,f2,…)是Ω上的实值函数序列,且fn关于(Fn,μ)可测,n.我们定义f=(fn)n 0为一个(上,下)鞅[1],如果每个dn可积,且E(dn 1|Fn)(,)=0,n=0,1,…;其中E(·|Fn)表示关于测度μ的条件期望算子.若f=(fn)n 0是鞅或下鞅,则称mf=inf0 n<∞|fn|为f的极小算子[2].现在我们考虑单权意义下极小算子的加权不等式,以下的两个定理分别刻画了Ap权和Wp权的性质.定理1设p>1,则ω∈Ap,即E(ω|Fn)E(ω-p1-1|Fn)p-1 K a.e.n 0,当且仅…     

集合内测度的性质

通过比较一个集合的lebesgue内、外测度，得到了关于内测度与外测度平行的性质、定理并结合内测度的性质重新证明了文[7]，[8]文中的有关命题．     

广义测度空间上函数的平均值

<正> 对于广义测度,除了有类似于有界变差函数的 Jordan 分解外,还有类似于全连续函数的 Newton—Leibniz 公式。这就是著名的 Radon—Nikodym 的定理。本文利用 R—N 定理,证明了广义测度空间上可积函数平均值的若干有趣的性质。设(X、R、μ)是广义测度空间,μ((?))(?)。则所谓可测集 E 上的可积函数 f 的平均值,指的是μ(E)~(-1)(?)E~(fdμ)、记作 M_u(f),首先我们有定理一、[M_u(f)]~2≤M_u(f~2)仅当 f 是常值函数时、取等号。     

关于Fuzzy积分问题

本文采用E.P.Klement提出的fuzzy测度概念,证明若T是一连续三角范数,则任—T—fuzzy测度m 由一簇满足一定条件的(正)测度(μ_α:α∈[0,1]}完全确定。由此看来,似应把fuzzy 积分(?)fdm 看作一个函数α→(?)fdμ_α,而不是一个数.在此基础上本文又尝试提出了fuzzy 测度形式的Riesz 表示定理。     

一类模糊测度的扩张

本文引进了关于某经典测度m连续的模糊测度的概念,证明如下的扩张定理: 定理:设X是一个集合,F是X上的一个域,m是定义在σ(F)上的一个全有限的测度。那么任意一个定义在F上且关于m连续的模糊测度可以唯一地扩张到σ(F)上。     

关于测度延拓和限制的一个定理

本文讨论测度延拓和限制彼此可交换的条件。文中所用的记号和术语与[1]相同。特别,“测度延拓”指的是按外测度方法进行延拓。设X是一个集,R是X某些子集所成的环,μ是R上的一个测度。又设E(?)X,μ_E是μ在环R_E={F|F∈R,F(?)E}上的限制,μ_E~*和μ~*分别是μ_E和μ所引出的外测度,(R_E)~*和R~*分别是μ_E~*和μ~*可测集的全体。     

建立完备测度空间的4种方法及其等价性

对给定测度空间（Ω，F，μ），给出了4种建立完备测度空间的方法：设μ^*是由μ引出的外测度，令F^*为μ^*可测集全体，得到（Ω，F^*，μ^*）；N是μ－零测集全体，令－↑F＝｛A∪N：A∈F，N∈N｝，定义－↑μ（A∪N）=μ（A），得到（Ω，－↑F，-↑μ）；令F^△＝｛A△N：A∈F，N∈N｝，定义μ^△（A△N）＝μ（A），得到（Ω，F^△，μ^△）；令＝↑F=｛A：存在A1、A2∈F，使A1∪→A∪→A2且μ（A1）＝μ（A2）｝，定义＝↑μ（A）＝μ（A1），得到（Ω，＝↑F，＝↑μ）。并证明了它们之间的等价性，结论是测度空间的完备化是由给定的测度空间唯一确定的。     

鞅空间上的几何极大算子

设(Ω,(F),μ)是一完备的概率空间,假定((F)n)n≥0是(F)的完备子σ代数的一个增加族,满足(F)=∨n≥0(F)n,其中F0是平凡的((F)0=(φ,Ω)),f=(f1,f2,…)是Ω上的实值函数序列,且fn关于((F)n,μ)可测,(A)n.定义f=(fn)n≥0为一个鞅[1],如果每个dn可积,且E(dn 1|(F)n)=0,n=0,1,…;其中E(·|(F)n)表示关于测度μ的条件期望算子.     

Nashed和Chen结果的一个推广

设E和F是Banach空间,B(E,F)表示从空间E到F的有界线性算子全体.当A∈B(E,F)具有有界的广义逆A+∈B(F,E)时,Nashed和Chen证明了一个很有用的定理:对任意满足‖T-A‖<‖A+‖-1的T,若使C-1(A,A+,T)TN(A)(∈)R(A),则B=A+C-1(A,A+,T)是T的一个广义逆,且N(B)=N(A+)和R(B)=R(A+),其中C(A,A+,T)=IF+(T-A)A+.在这篇文章中,我们将上述结果推广到A不必具有有界广义逆的情形.并且我们证明这里的定理包含Nashed和Chen的定理.所以我们的结果推广了上述已知的定理.     

球面在任意测度下的可瓦解性

假定S~n是一个n维球面(n≥2),在S~n上有一个正Radon测度μ,μ(S~n)=1。又若K是S~n上的μ可测(简称可测)点集,μ(K)>1/2,那未说K为S~n上的一个太大点集。如F是S~n上的可测点集,S~n-F没有一个成份太大,那末说F瓦解球面S~n。 本文将证明关于S~n(n≥2)瓦解问题的一个定理,所用术语的定义和基本知识均可参考。     

算子有界性及BMO 函数对Carleson测度的刻画

研究了一个算子的有界性及Carleson测度,得到了Tμ,α,s:Lp(dμ)→Lp(dμ)是有界算子的定理,并利用α(α＞0)阶Carleson测度的定义以及算子理论的有关定义、定理,刻画了α阶Carleson测度与BMO 空间及BA空间的函数之间的关系,得到了用BMO 函数的不等式刻画Carleson测度的定理.     

有界点集为L可测的一个充要条件

我们知道,对“较难的测度问题”,即使在一维空间R_1内也是没有解法的。因此,当我们以某一种方式建立集合的测度时,必须讨论哪些集合是可测的。在L测度产生和发展的过程中,为揭示L可测集的结构,以及L可测集与Borel集类的联系,人们给出了一些L可测集的充要条件。为本文引用的方便,我们列举下面的两个条件: 定理(Vallee—Poussin)有界集E为L可测的充要条件是: 任给ε>0,日闭集FE,使m~*(E\F)<ε.……(Ⅰ)     

算子有界性及BMO_函数对Carleson测度的刻画

研究了一个算子的有界性及Carleson测度,得到了Τμ,α,s:Lp(dμ)→Lp(dμ)是有界算子的定理,并利用α(α>0)阶Carleson测度的定义以及算子理论的有关定义、定理,刻画了α阶Carleson测度与BMO 空间及BA空间的函数之间的关系,得到了用BMO 函数的不等式刻画Carleson测度的定理.     

完备测度空间上可测函数的积分

一般测度空间(Ω,F,μ)已经有了其上可测函数的积分.在此基础上,把测度空间(Ω,F,μ)完备化而成为它的完备测度空间(Ω,F,μ),找到二者的关系.然后,给出完备测度空间上的可测函数积分的一种定义.且它与测度空间(Ω,F,μ)上的可测函数的积分是一致的.     

L_p(μ,X)的一些性质

本文给出如下定理:(1)如果(Ω,Σ,μ)是σ~-有限的正测度空间,则L_∞(μ,X)是WCG空间当且仅当L_∞(μ)和X是WCG空间。(2)如果(Ω,Σ,μ)是有限正测度空间,μ不是纯原子测度且X是WCG空间,则L_1(μ,X)不同构于一个对偶空间。(3)如果(Ω,Σ,μ)是σ~-有限正测度空间,μ是纯原子测度且X同构于一个对偶空间,则L_1(μ, X)同构于一个对偶空间。     

关于矢量测度绝对连续性的一个注记

本文在μ是σ—域∑上的有限可加测度的条件下,证明了∑上可数可加矢量测度 F 之μ—连续性与 F 在μ—零集上为零的条件等价,因而改进了有关矢量测度绝对连续性的熟知的 Pettis 定理,同时,修正了所谓“F《μ不同于 F 在μ—零集为零,除非 F 和μ两者均在σ—域∑上是可数可加的”不当说法。     

积分控制收敛定理的推广

本文目的是推广积分控制收敛定理(见〔1〕177,页),所用符号均取自〔1〕。定理设E 是完全测度空间(X,R,μ)上的μ—可测集,且是σ—有限的。设{h_n},{f_n)},{g_n},h,g 均是E 上实值η—可积函数,且满足下列条件:     

关于Poisson过程一个定理的简单证明

定理设P_μ,P_λ分别是有强度测度μ及λ的Poisson 分布,则:P_μ⊥Pλ当且仅当K_d(μ,λ)=+∞;P_μ(?)P_λ当且仅当μ(?)λ而且kd(μ,λ)<∞.上述定理是Poisson 过程一个重要结果.关于定理中所出现的一切记号和用到的事实,我们在下面分别予以说明,然后给出简短证明.     

凸测度的零壹律

Hoffmann Jorgensen证明了如下的 定理H 设E为拓扑线性Hausedorf空间,μ为E上的Radon概率凸测度,若G是E的一个可加子群,那么μ.G=0或1。 本文要证明如下的 定理 设E为实线性空间,E~n是它的代数共轭,即E的线性泛函全体.再设?是E~n的一个非空子集,?=σ?是使?中每个函数为可测的最小σ体,若μ是?上的概率凸测     

改进的齐次网格随机场的逼近定理

引入了测度v的熵h(v)和热力学形式体系中的一些概念,改进了齐次网格随机场理论中几个著名的逼近定理,得到了两个新的定理.这两个新的定理非常接近著名的网格随机场理论中的逼近定理,其逼近结果可以应用到信息论与维数理论中.证明了Zd,d≥1中有限格局空间X上的每一个转移不变Borel概率测度μ可由Markov测度μn来弱逼近,其中μn满足supp(μn)=X且熵h(μn)→h(μ).其证明是基于热力学形式体系中的一些事实.