奇型偏微分方程

§1.前言考虑一类含奇线的偏微分方程:(()~2υ)/(()ξ()η)-a/(ξ-η)()υ/()ξ+b/ξ-η()υ/()η-c/(ξ-η)~2υ=0,其中 a,b,c 均系常数。它称为 Euler-Poisson-Darboux 方程;或简写为 EPD 方程。因为最早是 Euler,以后是 Poisson 对它的特殊情形进行过研究,Darboux在它的名著“曲面论”一书中作了系统的结总。其实历史上研究过方程(1.1)的著名     

关于Bowen猜想

Bowen 曾提出一个猜想:方程=(m+1)~n (1)只有平凡解 n=1,m=2,这个猜想一直没有得到证明。Moser证明当 m≤10~(10)~6时,Bowen 猜想成立。柯召教授和孙琦、邹兆南先后研究了更一般的方程:     

二项式系数与Fibonacci数4m次幂的关系

若■=n!/(i!(n-i)!)(n,i∈N~*且n≥i)表示二项式系数,第l个Fibonacci数为F_l,其中,l是非负的整数;对任意正整数n和非负整数k,数列{■}_(i=0)~n和{F_(k+i)~p}_(i=0)~n的卷积为f(k,p,n)=■F_k~p+■F_(k+1)~p+…+■F_(k+n)~p.论文利用初等数论方法证明了p=4m(m∈N~*)时,等式f(k,4m,n)=1/25~m[L_(2m)~n·L_(4mk+2mn)+C_(4m)~1(-1)~(k+n+1)L_(2m-1)~nL_((4m-2)k+(2m-1)n)+C_(4m)~2L_(2m-2)~n L_((4m-4)+(2m-2)n)+C_(4m)~3(-1)~(k+n+1)L_(2m-3)~nL_((4m-6)k+(2m-3)n)+…+C_(4m)~(2m)·2~n]成立.     

具有公共原象的亚纯函数(Ⅱ)

讨论了亚纯函数的唯一性问题,证明了下述定理:设f(z)与g(z)是开平面内非常数亚纯函数,S_j={b+a_j,b+a_jω,…,b+a_jω~(n-1)}(j=1,2,3),这里n≥3,ω=cos(2π/n)+isin(2π/n),a_1~(2n)≠a_2~(2n),a_1~n≠a_3~n,a_2~n≠a_3~n.如果E_f(S_j)=E_g(S_j)(j=1,2,3),则f-b(?)c{g-b},其中c~n=1.     

一类二阶常微分方程组多点边值问题多个正解的存在性

利用不动点定理,并赋予f,g一定的增长条件,讨论了一类二阶常微分方程组u″(t)+f(t,v(t))=0,0≤t≤1;v″(t)+g(t,u(t))=0,0≤t≤1;u′(0)=∑i=1 m-2 biu′(ξi),u(1)=∑i=1 k aiu(ξi)-∑i=k+1 m-2 aiu(ξi),v′(0)=∑i=1 m-2 diu′(ηi),v(1)=∑i=1 l civ(ηi)-∑i=l+1 m-2 civ(ηi),多个正解的存在性,其中f,g∈C([0,1]×[0,∞),[0,∞)).     

不定方程x~2+4~n=y~(13)整数解的完全刻画

文章研究指数型Lebesgue-Nagell不定方程x~2+B=y~k的整数解是数论中的一类重要课题,其中B是非负整数,k是正整数。应用代数数论的方法完全刻画了不定方程x~2+4~n=y~(13)的整数解,既证明了不定方程x~2+4~n=y~(13)有整数解(当且仅当n≡0,6(mod 13)),且其整数解分别为(n,x,y)=(13m,0,4~m)或(13m+6,±2~({13m+6}),2~({2m+1})),其中n,m是非负整数.     

一类差分方程周期解的存在性

利用三角级数和压缩映射原理,研究了差分方程X(n+1)=∑+∞j=-∞A(j)X(n-j)+f(n)和x(n+1)=∑+∞j=-∞A(j)X(n-j)+G(n,x(n+·)),得到了前者存在周期解的充分必要条件及后者存在唯一周期解的充分条件.     

关于方程x~n+x~(n-1)+…+x+1=y~k

方程(1)x~n+x~(n-1)+…+x+1=y~k.Greone证明了方程(1)在n=3,k=2时,除开x=7,y=±20外,无其他|x|>1的整数解。E.Landau证明了n≡2(mod3),(n+1)/3的所有奇素因子皆6h-1型时,     

二维Abel积分方程的解

此处求二维Abel积分方程[1]的一特殊形式的方程的解。其中r~=x~2 y~2,ρ~2=(ξ-x)~2 (η-y)~2,f(x,y)为已知函数,υ(ξ-η)为未知函数。     

关于序数共尾的非对称性

下面,关于序数共尾的定义和性质(A),(B)都是〔1〕里给出的。 定义 设α是一个非零极限序数,λ也是序数,如果存在保序映射φ:W_α→W_λ,使(1) λ=sup〈φ(ξ)|ξ相似文献   

柯西不等式的概率论证法

构造一个恰当的概率模型 ,再利用概率论中柯西——许瓦兹 (Gauchy---Sehwarz)不等式可十分简洁地推得中等数学中的柯西不等式。下面便是我们所要的这个概率模型。设二维离散型随机向量 (ξ,η)只取 n组实数值 (ai,bi) ,(i=1,2 ,…… n)且取每组值所对应的概率都相等即都等于 1/n,于是 (ξ,η)的联合分布律和边际分布律如下表ξη b1 b2 …… bj…… bna1 1/n 0 0 1/na2 0 1/n 0 1/n··ai···an 0 0 1/n 1/n1/n 1/n 1/n　　由 Cauchy-Sehwarz不等式 [E(ξ.η) ] 2≤Eξ2 .Eη2得 :　　　　 (Σni=1 Σnj=1 aibj.1/n) 2≤ (Σni=1 a2i1/…     

Darboux变换求一个新的孤子方程的精确解

以平凡解u=0,v=1作为种子解,代入矩阵谱问题Φx=UΦ,U=(-λ+u v～(1/2) v λ-u),Φt=VΦ,V=(V1 V2 V3 -V1),其中V1=-λ2+u2+1/6ux+1/6(lnv)xx+1/8(lnv)x2,V2=vλ+uv-1/2vx,V3=(vλ)～(1/2)+uv～(1/2)+vx/(4v～(1/2)).求出基本解.选取两个基本解φ(λj)=(coshξjβjsinhξj+λj coshξj),ф(λj)=(sinhξjβjcoshξj+λj sinhξj),其中ξj=βj(x+λj t),βj=(λj2+1)～(1/2),(1≤j≤N-1).再利用克莱姆法则和达布变换求出方程的非平凡解,最后又具体给出N=1和N=2两种情形.     

关于不定方程x2+4n=y11的整数解

应用代数数论以及同余法等初等方法讨论不定方程x~2+4~n=y~(11)的整数解情况,证明了不定方程x~2+4~n=y~(11)在x为奇数,n≥1时无整数解;不定方程x~2+4~n=y~(11)在n∈{1,8,9,10}时均无整数解;不定方程x~2+4~n=y~(11)有整数解的充要条件是n≡0(mod 11)或n≡5(mod 11),且当n≡0(mod 11)时,其整数解为(x,y)=(0,4~m);当n≡5(mod 11)时,其整数解为(x,y)=(±2~(11m+5),22m+1),这里的m为非负整数,验证了k=11时猜想1成立。     

常系数二阶两个自变数两个未知函数的线性双曲方程组(Ⅰ)——特征方程具有四个不同实根的情形

§.1 前言命A、B、C 代表三个二行二列的实数方阵,矩阵形式的偏微分方程组A(?)~2/(?)x~2(u/v)+2 B(?)~2/(?)x(?)y(u/v)+C(?)~2/(?)y~2(u/v)=0(1,1)实际上是两个自变数x,y,两个未知函数u,v 的两个方程所成的方程组.行列式Q(ξ,η)=|Aξ~2+2 Bξη+Cη~2|定义为微分方程组(1,1)的特征四次型,如果特征方程的根全是实根,而且不是实四重根,则(1,1)是双曲型的。本文研究Q(ξ,η)=0有四个不同实根的双曲方程组。本文是作者在华罗庚教授的直接指导下写成的,可以说是文章的继续,从问题的提出以至解决的方法都是华教授提出的,在整个研究过程中,华教授自始至终都经常给我们耐心的指导和无微不至的关怀,在这里我们对华教授给我们的热情培养表示衷心的感谢。     

迭代微分方程x"(t)=sum(ai(t)fi(x~()(t))) from i=1 to n解的存在性

首先通过构造一个连续函数集合上的连续自映射的方法 ,利用 Schauder不动点定理 ,证明了一类二阶自迭代泛函微分方程 x" ( t) = ni=1 ai( t) fi( x( t) )满足初始条件 x(ξ) =η,x′(ξ) =0 ,ξ,η∈ R的周期解的存在性 .其次将该解 x( t)延拓至 ( -∞ ,∞ ) ,从而证明了所给方程在所给条件下具有满足初始条件 x( ξ) =η,x′(ξ) =0 ,ξ,η∈ R的周期解 x( t) ,t∈ ( -∞ ,∞ )     

关于方程x~n (x 1)~n … (x h)~n=(x h 1)~n

1900年,E.B.Escott证明了方程(1)x~n (x 1)~n … (x h)~n=(x h 1)~n在2≤n≤5时,只有正整数解(A)n=2,h=1,x=3;n=3,h=2,x=3.在此前后,F.Hromadko和L.Aupry也证明了②方程在(1)在n=3的情形。本文得出了解方程(1)的一般方法,并且证明了方程(1)在:     

一类二阶齐次线性差分方程的通解及其应用

对一般形式的二阶齐次线性差分方程y(n+2)+p(n)y(n+1)+q(n)y(n)=0和y(n+2)+p(n)y(n+1)+y(n)=0,已用于求解结构力学、动态经济学问题以及数学建模等.但人们通常只知道这类方程解的结构,难以直接求出其显式解.作者在假设已经获得一个特解的前提下,找出了这类差分方程的通解公式;此外,获得了一类特殊形式差分方程的更为直接的解和一些推论,从而为求解结构力学等问题提供了便利.     

四阶四点奇异边值问题的可解性

利用Leray-Sachuder原理研究了一类四阶四点边值问题:{u(4)(t)+f(t,u(t),u″(t)=0,t∈(0,1);u(0) = 0,u(1) = au(η),u″(0) = 0,u(1) = bu(ξ).其中,η,ξ∈[0,1],a,b≥0且满足0≤aη≤1,0≤bξ≤1,得到其解的存在性,放宽利用上下解时对函数f(t,u,v)单调性的限制,并且在t=0或t=1有奇异性.     

一类变时滞的中立型微分方程的稳定性

利用Lyapunov函数及不等式,研究了一类变时滞线性中立型微分方程[xi(t)-n∑j=1aijxj(t-τj)]’=bixi(t)+n∑j=1cijxj(t-δj(t))+n∑j=1dijxj(t-ξj)的稳定性,并得到该方程的零解渐近稳定的充分条件.     

关于丢番图方程x~3±27=py~2

利用初等方法得出了:p=3(3k+1)(3k+2)+1(k≡1,2(mod4))为奇素数时,丢番图方程x3+27=py2无正整数解;p=3k(k+1)+1≡1(mod8)(n≡k(mod 13))为奇素数时,丢番图方程x3-27=py2无正整数解.