关于算子方程A=A~*C

H是复Hilbert空间,B(H)是H上有界线性算子全体,C是复数域。对任何A,A~(-1)∈B(H),文献[1]中称算子C=A~(*-1)A为A的极·积算子,文献[1]对C作了较多研究,文献[2]中以极·积算子为工具,给出H上算子方程λA~2+μA~(*2)=αA~*A+βAA~*(λ,μ,α,β∈C)可解性的研究,并写出了它的全部解。文献[2]中主要用到当C为正常算子时,方程C=A~(*-1)A可解的充要条件以及它的全部解的表达式(见文献[1]定理5)。这就很自然地促使人们研究     

关于方程ax~m-by~n=2

设N为充分大的偶数,x为充分大的正数,h((?)0)为指定的偶数,p,p1,…为素数。令     

关于方程ax~m-by~n=2

设2≠a>0,b>0,x>1,y>1均是整数，我们首先研究方程ax~m-by~n=2,m>1,n>1的解（m,n）的个数N（m,n）.     

关于算子方程f(A)=A

设E是复Banach空间;(?)(E)表示E上线性有界算子全体;(?)_E(A)表示定义在复平面的开单位圆△={z:|z|<1}上,取值于(?)(E)中的解析函数全体。当f∈(?)E(△)时,f必可展开为幂级数其中1,2,…。如果且,则规定我们得到下述四个定理。     

关于单调算子方程构造可解性问题的解答

在1974年5月美国数学会举办的“希尔伯特问题的数学结果”专题讨论会上,F.E.Browder曾提出下述构造可解性问题(即问题ⅩⅩⅡ(G))。设X是自反巴拿赫空间,A是从X到X~*的连续、有界、单调、强制映象,X~(-1)单值且有已知连续模,问:是否能对方程Ax=0解的存在性给出一个构造性证明?对所     

关于Diophantus方程Ax~2 B=y~n

设Ｎ,Ｑ分别是全体正整数、有理数的集合,Ａ,Ｂ∈Ｎ.方程Ａｘ2 Ｂ=ｙｎ,2ｎ>1,2ｙ,ｘ,ｙ,ｎ∈Ｎ(1)是一类基本而又重要的高次或指数型Ｄｉｏｐｈａｎｔｕｓ方程.当Ａ=1,Ｂ=2时Ｌｊｕｎｇｇｒｅｎ[1]证明了方程(1)仅有解ｘ=5,ｙ=3,ｎ=3.当Ａ=1,Ｂ=4时,本文作者之一给出了方程(1)的解答.本文将用虚二次域的基本性质与推广的Ｐｅｌｌ方程的结果研究方程(1)的一些新的情形.设ｈ(-Ｄ)表虚二次域Ｑ(-Ｄ)的类数,本文证明了定理1　设Ａ无平方因子,2Ａ,(ｎ,ｈ(-2Ａ))=1,则Ｄｉｏｐｈａｎｔｕｓ方程Ａｘ2 2=ｙｎ,ｘ,ｙ,ｎ∈Ｎ,2ｎ>1(2)仅有解Ａ=1,ｘ=5…     

代数算子方程的指数公式

在文献[1]中,我们讨论了代数算子方程的正则可解性问题。本文将研究它们的指数。如所周知,对于某些奇异积分方程,人们已很好地建立了它们的指数公式,但对一般的抽象算子方程,这一问题还远未解决。本文的目的在于给出代数算子方程的一个一般指数公式,它概括了奇异积分方程的已知结果,从而使我们较好地解决了代数算子方程理论中的另一个基本问题——指数计算问题。文中所用符号如未说明,均取自文献[1]。     

一类算子方程的可解性

一、一般性结果 设X是一个可分的、自反的Banach空间,X~*为其对偶空间。<,>表示X与X~*之间的对偶。“”、“→”分别表示相应空间的弱收敛及强收敛。考虑算子,其中D为X中的有界开子集,表示其闭包。     

关于Diophantus方程Cx~2+2~mD=y~p

设C>0,D>0且D无>1的平方因子。本文在虚二次域中考虑Diophantus方程(C,2D)=1,ρ奇素数(1)的解.设h(—CD)是的理想类数,我们有 定理1 设CD(?)3(mod8),(?)     

关于丢番图方程a~x+b~y=c~z

对于丢番图方程a~x b~y=c~z,a,b,c是不同的素数(1)Nagell曾经给出max(a,6,c)<11时的全部非负整数解(x,y,z)(Ark.Mat.,3(1958),569),Makowski给出了(a,b,c)=(2,11,5)时的全部非负整数解(Nordisk mat.Tidskr.,7(1959),     

关于丢番图方程a~x+b~y=c~z

对于丢番图方程2~x+p~y=q~z,p、q为给定的奇素数,(1)已有许多研究。最近Alex和Foster在文[2]中猜测对于(1)可以通过取有限模的方法求出全部非负整数解。事实上,孙琦、周小明在文[3]中已证实当max{p,q}=19时上述猜测成立。本文对p、q作定性分析,在一定条件下求出了(1)的全部非负整数解,所用的方法     

代数算子方程的正则可解性

在控制论、弹性力学、中子扩散和大气辐射理论中,我们经常遇到下述代数算子方程■其中S,A_i和T分别表Banach空间E上的n次代数算子,有界线性算子和全连续算子。熟知,Cauchy奇异积分方程和Wiener-Hopf方程是(1)的两个重要特殊情况。由于在这些方程的理论中,最基本的结果就在于建立了所谓Noether定理和指数公式,因此人们自然期望在一     

关于算子的张量积

近年来许多作者讨论了广义导算子δ_(AB)(·)=A(·)-(·)B和初等算子τ_(AB)(·)=A-(·)B,当限制于Hilbert-Schmidt类C_2(H)上时,为正规算子,亚正规算子,次正规算子,k-拟亚正规算子,拟正规算子,θ-类算子等等的充分必要条件,并得到许多有趣的结果。这里H为一可分的复Hilbert空间,A,B∈B(H)。注意到Hilbert-Schmidt类C_2(H2→H_1)     

关于算子张量积和初等算子的谱

让X、Y为复Banach空间。张量积X_αY是XY关于拟一致合理范数α的完备化。Brown和Percy证明了σ(A(?)B)=σ(A)·σ(B)。Schecter和Dash把这个工作推广到多个有界算子的情形。而Harte对一般Banach代数的张量积进行了讨论。设A、B分别是X、Y上的稠定闭算子。Ichinose详细讨论了的谱及各种意义下的本质谱。并且给出了P的nullit、deficiency和index的表达式。在此同时,Fialkow对算子     

关于非正常算子——半亚正常算子

1.设A是可析Hilbert空间H中的线性有界算子。记作A的如下的极分解其中U是以为定义域,为值域的等距算子。此后我们总是把U任意地延拓为H上的部分等距算子。当φ是上严格单调增加的连续函数而且     

关于丢番图方程x~4-pqy~2=1

关于丢番图方程x~4-Dy~2=1,D>0,且不是平方数,(1)有过许多工作,例如Nagell、Ljunggren、Cohn和作者,都分别得到过若干结果(见文献[1])。我们在文献[1]中证明了D(?)3(mod 8),且当x~2-Dy~2=1的基本解ε=x_0+y_0D~(1/2)满足2     

关于Diophantus方程a~x+b~y=c~z(Ⅰ)

一、引言 Diophantus方程a~x+b~y=c~z,a,b,c是不同的素数,可化为如下两个Diophantus方程a~x+b~y=2~z,a,b是不同的奇素数,(1)a~x-b~y=2~z,a,b是不同的奇素数。(2)对此,Nagell,Makowski,Hadano,Uchiyama以及孙琦等曾有过许多工作(参见文献[11])。到     

关于Diophantus方程a~x+b~z=c~z(Ⅱ)

Diophantus方程a~x+b~y=c~z(a,b,c是不同素数)可化为如下的两个Diophantus方程 p~x-q~y=2~z,p,q是不同的奇素数,(1) p~x+q~y=2~z,P,q是不同的奇素数。(2)在文献[1]中,我们给出了(2)式在max(p,q)<100时的全部非负整数解。本文将给     

一类单调型算子方程的能解性

在实Hilbert空间H中考虑算子方程Lx Nx=0 (1)的解的存在唯一性问题。这里L是线性自伴算子,N是非线性算子。利用自伴算子的谱分解定理和单调算子方程解的存在性定理,我们简化改进了R.Kannan等的结果,特别我们除去了算子L是全能解和它的零空间是有穷维的假设。