无限扩域的Galois群之拓扑紧性与一致化拓扑的完备性

本文对无限Galois扩城的Galais群,在给定的拓扑下,做了如下工作:1.证明了群G的拓扑紧性。2.论证了拓扑群G在一致化拓扑下的完备性,进而对Krull定理赋予了新的拓扑形式。3.对于可数无限扩域的Galois群,论证了它可度量化的特征。     

投射群环

设R是一个环,G是一个有限群,本文定义了一个R上带因子组f的投射群环RG_f,证明了如果RG_f是R的Galois扩张带由G导出的内Galois群G,使得R的中心C是R的C-直和项,则CG_f是C上中心Galois代数;还将F.R.DeMeyer关于Azumaya投射群代数的刻划推广到投射群环RG_f。     

交叉积的中心与环的Galois扩张

本文对交换环R 与其自同构群G 的交叉积Δ(R,G)的中心的元素,给出一个具体的表示形式,然后在Δ(R,G)是可分的(?)一代数的假设下(R~G 是G 的不动环),给出Galois 扩张的一个判别准则;还对R 对G 的中心的元素的幂等Galois 扩张进行讨论,并取得了一些结果.     

关于环的Galois扩张

设R为确单位元1的环,G为R的有限自同构群,C为R的中心,K={g∈G|g(c)=c,Vc∈C}.假定R在R~G上是Galois的,Galois群为G,使得R~G是Azumaya C~G一代数.本文证明了:(1)若R~K是C上的Azumaya代数,则R=Ac~(R~K)使得A是C上的Galois扩张,Galois群为K.如果还有K的阶数是R中的单位,则还有R~K在R~G上是Galois的,Galois群为G/K.(2)若R~K=CR~G且K的阶数是R中的单位,则有(1)的结果且R~K满足Kanzaki假设.     

环F_p+uF_p Galois扩张上的迹码

给出了环Fp+uFp(p为任意素数)的Galois扩张的相关理论,定义了Galois扩环上的迹码及子环子码的概念,证明了此Galois扩环上对偶码的迹码是该环的子环子码的对偶码.     

群、环、体论的一些近代成果

1.关于单群的问题当一个群G除了两个天然的正规子群G与{e}外就不再有其它的正规子群时便称为一个单群。质数元数的p元群是单群的平凡例子。从一定意义上说,单群的对立面是所谓Hamilton群,即其子群恒为正规子群者。于是p元群(p为质数)也是Hamilton群的平凡例子。因此,在通常的观点下,并不把p元群算作单群。历史上最早出现的(非交换)单群是Galois在1832年发现的交待群A_5。现在已熟知交待群A_n(n>4)均为单群。但除此以外,再要找出其它的单群即不是一件轻而易举的事     

关于非常例外群

设F/k是Galois扩张且对应的Galois群是G,有限群G是例外的,若在Brauer-Kuroda关系式,F(s)不出现。考虑更极端的情形,有限群G是非常例外的,若群G的所有非平凡子群都是例外的。对非常例外群给出了初步的讨论。     

环Fp+uFp+…uk-1FpFq+uFq+…+uk-1Fq的Galois扩张上的迹码

文章给出了环Fq+uFq+…+uk-1Fq(其中uk=0,q=pa,p为任意素数,a为任意正整数)Galois扩张的相关理论,得到了该环的Galois扩环上的所有环自同构,并证明了此Galois扩环上对偶码的迹码是该环的子环子码的对偶码。     

广义转移的应用(Ⅱ)

利用已有的广义转移映射的概念和性质研究其对有限群结构的影响.首先考察G到Z(G)内的广义转移VG→Z(G),证明了G′的阶有限;然后考察G到可解子群H内的广义转移VG→H,证明了F为G的正规子群且G=FH及F∩H=E,即G为群F被群H的扩张;最后设G是p-正规的,考察G到其Sylowp-子群P内的广义转移VG→P,利用已推广的Grün第一定理,推广了Grün第二定理.这些结果的获得使有限群的自同构群研究方法、子群嵌入研究方法得到新的发展,局部分析方法也得到新的应用.     

双二次多项式的Galois群一域对应

Galois 理论的基本定理,证明了有限维 Galoi 扩张 E/F 的全部中间域所成之集与Galois 群 GalE/F 的全部子群所成之集存在着一一对应(称为 Galois 群一域对应)。但是关于四次多项式的 Galois 群一域对应却不能叙说成一般的命题,只能作具体问题具体分析。本文将给出不可约的双二次多项式 f(x)=x~4+bx~2+c∈Q[x]的 Galois 群以及 Galois群一域对应的一些结果。     

一类p~6阶群的推广

该文主要运用群的扩张理论给出了p6阶群G=〈a1,a2,b[a1,a2]=ap1=b,[b,a2]=bp=a2p3,bp2=1〉的推广,得到了一些新的群,并且给出了群G=〈a1,a2,b[a1,a2]=ap1=b,[b,a2]=bp=a2pt2,bp2=1〉,t2≥3的自同构群的阶.     

Krull型整环的扩张与伪SM整环

设R是有单位元的整环.本文刻画了Prüfer整环的扩环与Krull型整环的关系,以及R在L中的整闭包R Lc有PIT的等价条件,寻求到R Lw是Krull型整环的条件.另外,本文类比SM整环,定义了伪SM整环,研究了Krull型整环,H整环,伪SM整环与Krull整环的关系.给出了一个整环R是伪SM整环,不是SM整环的例子.证明了R是Krull型整环,又是伪SM整环,那么R是H整环;证明了R是Krull型整环,又是伪SM整环,w-dim(R)=1,那么R是Krull整环;以及证明了Krull型整环R既是TL整环,又是伪SM整环,则Rwg=K.     

有限群的Fitting子群对群结构的影响

通过讨论有限群的Fitting子群的极小子群的π-拟正规性,利用有限群的正规群列及多种有限群论的方法和技巧,得到了一个有限的可解群成为超可解的充分条件.即设G是一个有限可解群,H为G的正规子群.若Fitting(H)的每一极小子群和H阶循环子群在G中π-拟正规,则G是超可解群.群G的子群H称为π-拟正规的,如果它与G的每一Sylow子群可交换.此结果是Buckley定理及多个相关结论的推广.     

正规三元组上的模特征标性质

在有限群模表示理论中,模特征标诱导和限制下的动态表现以及对应关系是有意义的问题,尤其是考虑如何把常表示的结论推广到模表示上,得到相应的模特征标结果一直是表示论中的重要课题.对于有限群G,如果N和M均为G的正规子群且N包含M,M.L.Lewis称(G,N,M)为群G的正规三元组,并且对其上的常特征标问题进行了探讨.首先给出了模特征标的一些基本性质,然后在正规三元组(G,N,M)条件下,得到了IBr(N)和IBr(M)中元素限制和诱导的若干动态表现,讨论了其上不可约模特征标的不变性和唯一性问题,并且进一步获得了互素正规三元组(X,N,M)上的几个模特征标对应关系.     

广义四元数群的循环扩张

称群G是群F的循环扩张,如果N是G的正规子群,F是循环群,并且G/N≌F.文章运用循环扩张理论分类了广义四元数群被2阶群的扩张和4阶循环群的扩张.     

含有C*-正规子群的有限群

设G为有限群,H是G的子群.称H是G的S-拟正规子群,如果对G的任意Sylow 子群P,有HP=PH;称H是G的S-拟正规嵌入子群,若H的Sylow子群为G的某个S-拟正规子群的Sylow子群;称H是G的C*-正规子群,如果G有正规子群K使得G=HK且满足H∩K在G中是S-拟正规嵌入的.设d是p-群P的最小生成元个数.考虑P的d个极大子群构成的集合Μd(P)=P1,...,Pd且使得它们的交是P的Frattini子群Φ(P).对Μd(P)中的群在满足C*-正规假设条件下群的结构进行了研究,并推广了最近的一些结论.     

有限群的超可解和可解性

设G是一个有限群,F是一个群类.如果存在G的一个正规子群T使得HT是G的正规子群,并且(H∩T)HG/HG包含在G/HG的F-超中心ZF∞(G/HG)中,则称G的子群H在G中Fn-正规.利用Fn-正规子群的性质给出超可解群和可解群的一些新的判别准则,并对以前的结果进行推广.主要定理有:①设G是一个可解群,G超可解当且仅当G的每个次正规子群在G中Un-正规.②设G是一个有限群,N是G的一个非平凡正规子群,则N可解当且仅当G的每个不包含N的极大子群在G中Sn-正规.③群G是可解的当且仅当下列两个条件之一满足:(a)存在G的Sylow 2-子群P使得P的每个极大子群在G中Sn-正规;(b)对G的某个Sylow 2-子群,P在G中Sn-正规.     

伽罗瓦的代数方程思想

目的 探讨在代数方程根式可解性理论的发展中,伽罗瓦(Evariste Galois,1811-1832)的代数方程理论思想发展过程.方法 采用历史考察与数理分析法.结果 伽罗瓦是通过引进"伽罗瓦群"、"正规子群"、"置换群"等概念开始建立他的理论,并且找出了根式扩张塔和可解群之间的对应关系,利用这种对应关系最终解决了代数方程根式可解性理论这一难题.结论 伽罗瓦继承了拉格朗日(J.L.Lagrange,1736-1813)问题转化的思想,并且把这一思想进行发展,使得人们对方程根式解问题的研究进入到对"结构"观念的研究,导致了抽象代数学科的诞生;伽罗瓦的研究思路是通过继承和发展前人的思想成果得出来的.     

Galois环上的广义加性码

将Ζ2Ζ4-加性码推广到Galois环上,称为广义加性码.该文研究了Galois环上的广义加性码及其对偶码,给出了广义加性码及其对偶码的基本参数,生成矩阵及其标准型.此外,还研究了广义加性码的极小Lee距离的Singleton界.     

π—可解群的一个结构定理

将p-可解群的有关结果推广到π-可解群的一个结构定理，设G为π－可解群，N为G的任意非单位正规子群，如果商群G／N的π－长不超过k，而G的π－长大于k,则G的极大正规π′－子群，Frattini子群为单位群，且G有唯一的极小正规子群F（G）。