关于自然数的定义

自然数,从基数的角度看,它是一切相互等价(对等)的非空有限集合的共同特征。从序数的角度看,则有定义1.设N是一个非空的集合,它的元素叫自然数,(以下简称数),如果对于N中某些元素a与b存在着关系:“b是a的后继者”,(a的后继者记作a'),并且满足下列公理:     

关于“完全归纳法原理”

在一般论著中建立自然数系,常按户Peano氏公理表述自然数系的特徵性质如下: PⅠ.1为一自然数。 PⅡ.在自然数集合中每数e皆有一确定的继数。 PⅢ.a~+≠1,即1不是任何数的继数。 PⅣ.若a~+=b~+,则a=b,即对每一个数,没有或恰有一个数以它作为继数。 PⅤ.完全纳归法原理:自然数的每一个集合,如果它含数1,且对所含的每数a又含其继数a~+,则它含所有自然数。 在公理系统P中起基本作用的是完全归纳法原理。由此可以直接推出“归纳证明”是合     

新自然数集与《数系理论》的改革问题

《中华人民共和国国家标准@物理科学和技术中使用的数学符号(GB3102.11-93)》对表示自然数集的符号N作出新的规定N=|0,1,2,…|,即0也是自然数.对于以 Peano自然数公理系统为基础的<数系理论>课程,本文对于在新自然数体系下如何建立与之相应的自然数公理系统及其有关性质进行了比较全面的讨论.并在教学上作出了一些有益的探索.     

一道难题征解的简证及引申

浙江师大主办《中学数学教研》1992年第10期上有如下一道难题征解:28*　设N为自然数集,N0,1为由数字0和1组成的所有正整数的集合.证明或否定:对a∈N,b∈N,有ab∈N0,1.下面利用集合中元素的无穷性构造b给出一个简证.证明　令M={n|n=10i,i∈N}N0,1,显然为无穷集.a∈N,M中的每个元素用a取模,分成a个子集,其中第k个表示为:Ma,k={s|s∈M,k=s(moda),(0≤k≤a-1)}(1)若Ma,0非空,则结论显然成立;(2)若Ma,0为空集,则Ma,1,Ma,2,…,Ma,a-1中至少存在一无穷集,否则,M将为有穷集,矛盾.不妨设Ma,k为无穷集.从Ma,k中任取a个两两互不相同的元素10im(…     

关于群的一个定义

在M·Hall著的群论中用“除法”给出了群的一个定义,该定义为:群G是一元素之集G(a,b,…),具有二元运算a/b满足;L0.对G之每有序元素偶a,b确定唯一元素a/b=c∈GL1.a/a=b/bL2.a/(b/b)=a (Ⅰ)L3.(a/a)/(b/c)=c/bL4.(a/c)/(b/c)=a/b     

论实数的构造

Ⅰ.一组关于正数的公理 1.试回忆一下皮亚诺(G,Peano)公理。据皮亚诺的研究(可参看),自然数可以用下列这一组公理来确定: Ⅰ.有一个自然数叫作1. Ⅱ.若n是一个自然数,则n+1也是一个自然数。 Ⅲ.若n是一个自然数,则n+1≠1. Ⅳ.若m与n都是自然数而又m+1=n+1,则m=n. Ⅴ.若一类自然数包含1,而且只要包含n也就包含n+1,则这一类自然数包含全体自然数。     

关於整数和集的渐近密率

号1.引言 裂A与B都是自然数的集合,而C是它伊弓的和,C={e:a e:b!a‘A,b6B,e,,e:=0,l}。以此[n〕表示An{1,2,…,n},而A(n)为月[n]中元素的个数,具IJA的渐近密奉为a二_1 im n.申COA(n) n这就是靓,任抬甲>O,必有m。, A(n)使当n>爪。H寸n>a一甲。 假定B是自然数的一个渐近基底,郎,有左,使任一个自然数m之掩饭能表成B中有限个元素之和 二=b: … 久、。,,b“B。取g(n)为最小可能的值。敲‘一骊公里黔~,.目走 1因此,对赞任何e>0,有k0>左,使龄n>k。时艺g(m) n<孟 6二无 生这个孟哄做B的渐近平均阶数。 社C=A B的渐近密率为下,德国数学家Ro…     

标准函数的积分

定义1.标准函数f(x)在(a,b)(?)~*R上有定义,如果 {n/integral from n=a_n to n f(x)dx存在且有限}∈U其中a=[a_n],b=[b_n],U为自然数集N的自由超滤子,integral from n=a_n to b_n f(x)dx是Riemann意义下的积分,则称f(x)在(a, b)(?)~*R上可积,称非标准数[integral from n=a_n to n f(x)dx]为f(x)在(a, b)(?)~*R上的积分,记作integral from n=(a.b) to f(x)dx。     

数学归纳法原理及其应用

数学归纳法是离散数学的重要内容，是计算机科学理论的重要组成部分。本文介绍有关数学归纳法原理及其应用。1自路四集的定义及其性质定义1［门没空集4的后继集记为若命名声为1，那么这样就得到自然数集合N＝11，2，3，4，··叫。从自然数集的定义中，可以直接得到以下基本性质：l）（N，＜）是全序集。即对VZI，12EN，必有出＜n。或nZ＜n；。此性质，使自然数集N的元素能按大小顺序排成一个无限序列：l，2，3，4，2）自然数集N是一个无限集。即在N的元素按大小顺序排列中，没有最大的数。也就是说，在此排列中，任意一个自然数后面还…     

关于交换群的单个公理Ⅴ

本文的目的是给出三个新的表征交换群的单个公理。它们与已知的表征交换群的一些单个公理都不相同(看[1]、[2]、[3]、[4]、[5]、[6]、(7]、[8])。假定(G,·)是一个广群。这时可以利用运算.给G定义一个新的运算0:aob=a·[(b.b)     

自然数集的泛可加划分

本文对于由递推公式:u_m=u_(m-2)+u_(m-1),m≥3,初始值:u_1=a≥1,u_2=b≥1,所确定的递推自然数列,证明了下列结论:若d=(a,b)是奇数,且当a>b时,2|ab,则自然数集N的泛可加划分的个数为2(d-1)/2。若a>b且a、b的奇偶性相同,则N的泛可加划分不存在。     

关于N的一类U-划分及性质

设U={u_n|n≥1}是自然数集N的子集,其元由u_(n+2)=u_(n+1)+u_n+h定义。本文证明了N的子集M={k∈N|1≤k相似文献   

自然数集的（a,b,k）型可加划分

本文对自然数集的(a,b,K)型可加划分作了一般性讨论,分别得出了:N的(1,b,k)型可加划分的个数,N的(2,b,k)型可加划分的个数;N的(a,a,k)型可加划分的个数。     

等价关系公理系统的若干等价形式

在近世代数的讨论中,等价关系是一个十分有用的工具。对于集合M的元素规定了一个关系,记为～,是指:对于(?)a,b∈M,可以判断这个关系成立或不成立,印有a～b或没有a～b。当关系～适合反射、对称、推移三律时,则称该关系为等价关系。 (I) P_1反射律:(?) Q_2对称律:(?) R_1推移律:(?) 由此可见,等价关系是由三条公理给出的,我们称为等价关系公理系统。我们试图找出该公理系统的其他等价形式,此“等价”二字为可以互推的意思,如A(?)B,即指:A(?)B与B(?)A。首先,推移律 (又称传递律) 中的b,是起联系a与c的作用的,b的位置可以变化,如变为b～a,bc(?)a～c,同样可以起联系作用。其次,为要保证反射律 (又称自反律) 成立,我们可以改为:对(?)a∈M,(?)b∈M,使     

仿射几何的公理体系

本文证明了,在欧氏几何Hilbert公理体系中,如果删去合同关系和合同公理,同时把平行公理强化成V’:“在同一平面上已知直线a和线外一点A。则过A点有且仅有一条直线b与a平行。”则得到三维仿射几何的公理体系。     

n素元组猜想对于Peano公理组的条件独立性

用模型论的方法证明了一类n素元组猜想独立于一公理组,此公理组在自然数系N上是与Peano算数公理组等价的.     

三素元组猜想对于Peano公理组的条件独立性

用模型论的方法证明了一类三素元组猜想独立于一公理组,此公理组在自然数系N上是与Peano算数公理组等价的.     

完美数与亲和数问题对PA的条件独立性——对一些数论问题的逻辑讨论(Ⅲ)

用模型论方法证明了,对于在自然数系N上与PA等价的一组公理P1而言,N中一类特殊完美数的无限性是独立于P1 的. 并且,N中一类特殊亲和数的无限性也是独立于P1的.     

关于辗转相除法所进行的次数问题的探讨

设a,b∈N(N为自然数集),且a>b,对a,b进行转转相除,则其中所进行的辗转相除求得r_a的次数为n。将任意a,b∈N进行辗转相除,对其可进行的最多次数的估计,有下述定理。定理,设a,b∈N,a>b>1,它们辗转相除所进行的次数为n,则     

乘法分拆的计数函数

设 f(n)表示把大于1的自然数 n 分解为因子大于1的不计因子次序的乘积的所有方式的个数.本文证明了对任意的 a∈[0,11/25],都存在一个自然数的子序列{a_n},n=1,2,…,使■logf(a_n)/loga_n=α利用 Bell 数的性质,本文证明了对于任给的正数 A,都存在一个正数 C(A) sum from n≤N f(n)≥C(A)Nlog~A N,此处 N 为自然数.