浅谈数形结合方法在解题中的应用

数形结合方法是数学解题中常用的思想方法，用数形结合方法可以使复杂问题简单化．抽象问题具体化；能够变抽象的数学语言为直观的图形、抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。本文拟从“以形助教”和“以数辅形”这两方面，揭示出“数”与“形”之间的紧密关系，从而把问题优化，获得解决。     

利用数轴巧解题

由于数轴建立了实数与数轴上的点一一对应关系,为“数”与“形”的沟通提供了工具,使抽象的数量关系有了形象直观的几何意义。在一些代数运算中,利用数形结合思想,可以使抽象变直观,繁琐变简单。     

数形结合必须数形吻合

“数”即数量,“形”即形状,它们反映了事物的两个侧面。“数无形,少直观;形无数,难入微。”（华罗庚语）。因此,在化学教学中有必要将数形结合起来,通过“以形助数”（借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系）或“以数解形”（僭助于数的精确性来阐明形的某些属性）,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化,可以培养学生的抽象思维能力和形象思维能力的结合。     

黎曼流形中运动群不变量

黎曼流形运动群的研究是微分几何中一个重要问题。构造了黎曼流形中亏数为2的一个运动群，进而对黎曼流形度规运动群、共形运动群以及亏数为2的运动群的黎曼不变量进行了刻划。证明上述3个运动群之间存在着某种所谓“自相关性”。给出黎曼空间中共形运动群在共形于黎曼空间的空间中变为度规运动群的一个有趣的例子。     

数形结合在几个最值问题中的运用

在中学数学的学习中，数形结合是一种重要的数学思想方法。数是形的抽象概括。形是数的直观表现。华罗庚先生指出：数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。     

数形结合巧妙用 解题思维高效率

“数”与“形”作为数学中最古老最重要的两个方面，一直就是一对矛盾体。正如矛和盾总是同时存在一样，有“数”必有“形”，有“形”必有“数”。我国著名数学家华罗庚先生对此也有“数缺形时少直观，形缺数时难入微”的精辟论述。     

关于数形结合的若干基本观点

数学中两大研究对象“形”与“数”的矛盾统一是数学发展的内在因素，“数”“形”结合是推动数学发展的动力。数形结合不应仅仅作为一种解题方法，而应作为一种基本的、重要的数学思想来学习研究和掌握运用。数形结合能力的提高，有利于从形与数的结合上深刻认识数学问题的实质，有利于扎实打好数学的基础，有利于数学素质的提高，同进必然促进数学能力的发展。本文数学发展的历史，论述数形结合的重要地位和作用，并结合中学数学教     

谈方程中的辩证法

数学是自然科学中的一门学科,它和整个自然科学具有同等的地位。数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学。恩格斯指出:“数学是数量的科学”(《自然辩证法》235页)、“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系,所以是非常现实的材料.”(《反杜林论》35页)数量关系与空间形式本来是客观事物固有的,“起源于外部世界的事实”,不是天上掉下来的,不是人脑中天生的,不是来自“先天的直觉”,不是来自“思维的自由创造”,而是在生产实践中对客观事物的数量关系和空间形式的抽象。人类认识数和形的能力是长期社会实践发展的结果。“数和形的概念不是从其它任何地方,而是从现实世界中得来的。”(《反杜林论》)是从客观事物中抽象出来的,是人类在社会实践中不断锻炼发展起来的。     

二次函数教学中的数形结合

数学是研究客观世界空间形式和数量关系的一门科学，它的产生和发展就是“形”与“数”相互依存，相互促进的过程。数形结合为数学领域提供了一个重要的思想方法，在代数问题和几何问题之间架设了一条桥梁。著名数学家华罗庚曾说过：“数与形本是倚依，焉能分用两边飞，数...     

几何线性代数

本书是为初学者学习线性代数专门编著的大学数学教材。作者从几何直观人手讲述抽象的代数理论，并强调其几何特征，进一步用来刻画各种几何及其不变量，以及解决某些与线性代数有关的问题（如实和复分析、微分方程、微分流形、马氏链、变换群等）。     

代数几何引论

代数几何历来是纯粹数学的重要分支，近数十年来它在许多应用领域（如物理、计算机科学、统计、工程及计算生物学等）中也日益起着重要作用。目前多数关于代数几何的论著都以“抽象”的方式进行论述（例如基于层论、上同调、导函子、范畴及抽象交换代数），使不少人（包括非数学专业的科研人员）望而却步。本书作者2001～2006年间在美国Rice大学及中国香港中文大学对大学高年级学生及研究生（包括非数学专业）讲授代数几何，考虑到不同领域的需要，改变了传统的“抽象”方式，以大学线性代数及基础抽象代数几何的基本结果为主，收效甚好。本书就是在此基础上形成的大学代数几何引论教材。     

坚持马克思主义"生产力价值论"

马克思恩格斯当年共识于“价值是对效用和劳动花费的衡量”。这种价值理论与唯物史观原理相适应，因为，这里的“价值”与“生产力”同义。但是，这种价值理论在《资本论》各卷中的展述却是按照“从抽象上升到具体”的方法，从抽象的“劳动价值论”出发，一步一步上升为“具体”的。细读之，可以发现，每向“具体”前进一步，都靠使劳动价值论与某种突现使用价值决定性的理论相结合而完成，其理论实质是使劳动价值论被纳入唯物史观生产力决定性的框架。其中包括，《资本论》第二卷指出，一旦要具体考察社会总资本的流通，就不能只囿于劳动价值论，还要考虑社会规模的使用价值即社会效用，并依此建立了再生产理论；《资本论》第三卷又进而指出，从总体上考察资本主义生产，更不能囿于第一卷在劳动价值论基础上对价值规律的抽象论述，而要充分理解：价值规律的进一步具体化，包括了对社会规模的使用价值即社会效用决定意义的承认，此即马克思主义的“效用／劳动价值论”。显然，马克思恩格斯的价值理论不限于劳动价值论，它是由抽象劳动价值论上升为具体的宏观“效用／劳动价值论”的理论体系。西方学者关于《资本论》第一第三卷彼此矛盾的说法，以及一些马克思主义者针锋相对的反击，虽各有些合理之处，但也均陷入了对马克思恩格斯劳动价值论的绝对化和形式主义错解，无足为凭。     

数形结合在几个最值问题中的运用

在中学数学的学习中,数形结合是一种重要的数学思想方法.数是形的抽象概括,形是数的直观表现.华罗庚先生指出:数缺形时少直觉,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休.     

关于人的"存在"以及"生存状态"--对萨特存在主义的思考

存在主义把人生存在的根源归结为人自身的内部动因，否定了西方古典哲学关于普遍的、抽象的人性观，有其进步的一面，但辨证唯物主义认为，人的社会实践性才是人的本质，应当在社会生活中寻求人的存在动因，萨特原本为宣扬抽象的、普遍的人性学说而提出“存在先于本质”的，然而为了否定人具有抽象的本质的观点，萨特竞得出了人的存在也是抽象的结论，还使存在主义成为一个悖论。     

对声乐表演中"情"、"声"、"形"的研究

声乐表演的魅力在于用人声表现人性、抒发人情的直接性,我国传统声乐表演的基本准则是:能歌会演、情韵双绝、声情并茂,要使歌声更迷人,则要“情”、“声”、“形”俱佳。本文通过声乐表演中的“情”、“声”、“形”的内涵、重要性及其如何表现进行研究,探讨演唱艺术中的理论意义与实践意义。     

函数图象与解题

函数图象与解题董祥莉在数学教学中，数与形的关系包括两个方面：一方面是形的问题如何用数来抽象概括、解决；另一方面是数的问题如何寻求形来直观描述以之使问题得解。在中师数学课本中很多题解也都利用了函数图象。在此就如何利用函数图象解题的问题作些具体的讨论，不...     

数形结合思想在解题中的妙用

数形结合是数学解题中常用的思想方法,用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化;能够变抽象的数学语言为直观的图形、抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质。笔者结合自己教学实际,通过"以数辅形"和"以形助数"这两大题型的具体分析,揭示"数"与"形"之间的紧密关系,最终使问题优化并获得解决。     

冯友兰"抽象继承法"引起争论原因及重新定位

冯友兰的“抽象继承法”在20世纪60年代前后引起学术界强烈的争议,至今尚未澄清。为此,运用历史分析方法,深入地剖析冯友兰“抽象继承法”引起学术界强烈争议的原因。主要是“新理学”唯心主义哲学体系和“左”倾思想的影响,再结合当前学术界的研究成果,对“抽象继承法”进行合理的评析和确认。     

语言因素对维吾尔族"双语生"数学学习影响的研究

数学语言是一种高度抽象的人工符号系统,具有简练、准确、严密、抽象等特点。因此,成为维吾尔族“双语生”数学学习的难点。文章是在这个背景下进行的一项调查研究。研究的切入点是语言因素对初一年级维吾尔族“双语生”数学学习产生的影响。最后提出一些建议,帮助维吾尔族“双语生”在提高语言(自然语言和数学语言)水平的基础上,进一步提高数学学习的水平。     

几何线性代数第二卷

本书是为初学者编写的大学线性代数教材。作者从几何直观入手讲述抽象的代数理论，突出理论的几何特征，并且按照由简到繁、由低维到高维逐步深入的方式，注意线性代数与其它数学分支（如分析学、微分方程、微分流形、马氏链、变换群）的联系，给出线性代数的基本结果。