GCD闭集上的GCD幂矩阵和LCM幂矩阵

１９８９年以来，多位国内外学者讨论过定义在集上的ＧＣＤ矩阵和ＬＣＭ矩阵，获得了一批成果。本文是交他们的研究推广到所谓ＧＣＤ幂矩阵和ＬＣＭ幂矩阵上，得到了这两类矩阵在ＧＣＤ闭集上的结构定理，行列式的计算公式，特别是得出ＬＣＭ幂矩阵和ＧＣＤ幂矩阵在ＧＣＤ闭集上的逆矩阵的漂亮结果。     

幂矩阵A^m的一种计算方法

给出了幂矩阵A^m的一种易于计算的公式解法以及求逆矩阵A^-1的另一种计算方法．     

用五幂等矩阵刻画三幂等矩阵

首先总结用秩刻画三幂等矩阵的等价条件和关于矩阵秩等式的相关结论.在此基础上再探讨五幂等矩阵在什么条件下是三幂等矩阵,给出了七种刻画条件.     

关于幂等矩阵与幂么矩阵的几个秩等式

证明几个幂等矩阵与幂么矩阵的秩等式，并给出了aP＋bQ（P，Q是幂矩等矩阵，a，b是任意实数）可逆的几个充要条件，给出了A＋B＋2In（A^2=B^2=In）可逆的几个充要条件。     

矩阵方幂A^k的秩的一种求法

通过对幂零矩阵的秩的研究，给出了一般方阵幂的秩的求法。     

幂等矩阵与秩幂等矩阵的充要条件

满足A2=A的n阶方阵A称为幂等矩阵,它是矩阵环Mn(F)的一个幂等元;满足r(A)=r(A2)的n阶方阵A称为秩幂等矩阵.它们与空间的分解、不变子空间的研究有密切关系.利用线性空间的理论方法研究幂等矩阵与秩幂等矩阵的性质,分别得到与它们等价的一些充要条件.     

方阵的幂及具有幂条件的矩阵类

利用方阵Ａ的相伴矩阵给出了Ａ＾ｎ＋ｋ的向量形式表示，并讨论了一类具有幂条件的矩阵的性质。     

正负相间矩阵方幂之和

本文给出下面一类正负相间ｍ阶矩阵方幂和计算公式：Σ＾ｍｋ＝０（－１）＾ＫП＾ｓｔ＝１（Ａｔ＋ｄｔＫＢｔ）＾ｆｔ，其中Ａｔ，Ｂｔ为ｍ阶矩阵，ｄｔ为复数，ｒｔ为正整数。     

分配格上幂零矩阵幂指标的特征

主要研究了分配格上幂零矩阵幂指标的性质,得到了分配格上幂零矩阵幂指标的一个特征定理.     

惟一因子分解整环上的GCD幂矩阵与LCM幂矩阵

设S={x1,x2,…,xn}是惟一分解整环R上的不同元素构成的集合,e≥1是一个正整数．(xi,xj)和[xi,xj]分别表示xi,xj的最大公因子和最小公倍数．S称为因子封闭集(简称FC集),如果对S中的任何元xi,它的任意一个因子是S中的一个元的相伴元．以(xi,xj)的P次方为i行j列元素的矩阵称为GCD幂矩阵,记为(S^e);以[xi,xj]的e次方为i行j列元素的矩阵称为LCM幂矩阵,记为[S^e]．作者证明了若S是FC集,则(S^e)整除[S^e],即[S^e]等于(S^e)与R上另一个矩阵的乘积,推广了Bourque和Ligh在1992年所得的结果．     

幂零矩阵与低维幂零代数

讨论了幂零矩阵的性质,给出了低维幂零代数的分类。     

矩阵的幂零分解

探讨数域K上n×n矩阵与幂零矩阵的运算联系.特别地,文章证得每个奇异方阵可写成一个幂零方阵和两个幂零方阵的积之和.     

幂零矩阵的性质

在高等代数中矩阵是研究问题很重要的工具,在讨论矩阵的乘法运算时给出了幂零矩阵的定义,但对其性质研究很少。幂零矩阵作为特殊矩阵无论在矩阵理论方面,还是在实际应用方面都有重要的意义。我们在研究矩阵及学习有关数学知识时,经常要讨论幂零矩阵的性质。本文先给出幂零矩阵的定义,然后讨论了它的若干性质。     

矩阵代数的无赘幂零生成元集

本文根据文（１）进一步讨论了矩阵代数的无赘生成元素，得到了无赘生成元素至少含有两个元的结论，并且具体给出了由两个元，尤其是由两个幂零元组成的生成集。     

幂GCD矩阵与幂LCM矩阵的行列式的整除性

设S={x_1,x_2,…,x_n)是由n个不同的正整数组成的集合,并设整数a≥1,如果n阶矩阵的第i行j列元素是S中元素x_i和x_j的最大公因子的a次幂(x_i,x_j)~a,则称该矩阵是定义在S上的口次幂GCD矩阵,用(S~a)表示.类似定义幂LCM矩阵[S~a].本文证明了:设S是由n个不同的正整数组成的一个最大公因子封闭集,且正整数a∣b.如果n≤3,那么det(S~a)I det[S~b];如果max{x_i)＜12,那么det(S~a)f det[S~b].x_i∈S     

利用矩阵函数f[A]求矩阵的幂An及A-1

本文介绍了矩阵函数f(A)的分量表达式,利用矩阵函数f(A)得到了一种求非奇异矩阵A的逆矩阵A-1以及一般方阵幂An较为简便、适用的运算方法.     

幂零矩阵和幂零线性变换

用T(n,F)表示数域F上全体n阶严格上三角矩阵作成的幂零结合代数,证明了对于n维线性空间V,必存在V的一组基使得由V的幂零线性变换生成的幂零代数N中任意元素在该基下的矩阵均为严格上三角矩阵;由V的幂零线性变换生成的最大的幂零代数均同构于T(n,F).     

Jordan矩阵的幂

利用数学归纳法给出复数域上Jordan矩阵的幂，并给出两种证明方法。