具非负Ricci曲率流形上的无共轭点测地线

本文研究了具非负Ｒｉｃｃｉ曲率流形上无共轭点测地线的几何性质，并由此证明了具非负Ｒｉｃｃｉ曲率的无共轭点流形是Ｒｉｃｃｉ平坦的。     

完备黎曼流形上的Jacobi场

证明了在具非负曲率完备黎曼流形上，沿无共轭点测地线的正常平行向量场必为Ｊａ－ｃｏｂｉ场．     

具非负Ricci曲率的流形

讨论了具非负Ricci曲率的完备Riemann流形上的无共轭点测地线的性质,证明了单连通具拟正Ricci曲率的三维完备非紧Riemann流形的第一Betti数b1≤n—3。     

关于黎曼几何若干问题

总结了完备黎曼流形上完备的无共轭点测地线所隐含的几何性质、完备非紧具非负曲率黎曼流形的几何结构、完备非紧具非负Ricci曲率黎曼流形的几何拓扑性质以及完备非紧黎曼流形上的Busemann函数所隐含的几何拓扑性质,并提出了一些未解决的问题．     

具非负曲率完备非紧黎曼流形的闭测地线

Kingenberg证明了任意紧致黎曼流形上都存在闭测地线,Yau提出是否能够证明紧致黎曼流形上有无穷多条闭测地线.由著名的Cheeger-Gromoll的核心结构的思想,任意的具非负曲率完备非紧的黎曼流形与它的核心是同伦等价的.因此可以考虑具非负曲率完备非紧的黎曼流形闭测地线存在性和分布性问题.本文证明了当核心的余维数是奇数且具非负曲率的完备非紧的黎曼流形上存在有无穷多条闭测地线;并由此讨论了紧致的非单连通黎曼流形上无穷多的闭测地线存在性问题.     

具非负曲率的黎曼流形

利用沿测地线的Ｊａｃｏｂｉ场和指标形式，证明了具非负曲率的完备２维黎曼流形Ｍ＾２如果没有共轭点，必等距于Ｒ＾２。     

K(a)hler 流形上的典型线丛

讨论了Ｒｉｅｍａｎｎ流形上指标形式与共轭点的关系;证明了具非负Ｒｉｃｃｉ曲率的无共轭点Ｋａｈｌｅｒ流形上的典型线丛之曲率之零。     

Khler流形上的典型线丛

讨论了Ｒｉｅｍａｎｎ流形上指标形式与共轭点的关系;证明了具非负Ｒｉｃｃｉ曲率的无共轭点Ｋｓｈｌｅｒ流形上的典型线丛之曲率为零．     

局部对称空间上的闭测地线

讨论了曲率定号的完备黎曼流形上的平行向量场与Jacobi场之间的关系；证明了紧致的偶数维具非负曲率的非单连通局部对称空间上存在无穷多条长度一样的闭测地线．     

具非负曲率的完备非紧黎曼流形

将三维欧式空间旋转抛物面顶点的定义推广到一般的非负曲率完备非紧黎曼流形上,利用Perelman G证明Cheeger-Gromoll核心猜想的几何方法,讨论了具非负曲率的完备非紧黎曼流形M上的核心S的结构, 证明了如果由核心出发的法测地线均为射线,则或者S退化为一点,或者M=Rk×N,其中N是紧致的具非负曲率的黎曼流形.特别地,如果核心的维数仅比流形的维数低一维,可以证明其法测地线均为射线,从而有M=Rn-1×S.