巴斯加和布利安香定理的代数证明及其应用

《高等几何》教材（刘世泽编）中用综合法证明了巴斯加和布利安香定理，为了使学员进一步熟悉射影坐标系，本文采用代数方法给予定理证明及其应用。一、巴斯加和布利安香定理的证明1．巴斯加定理的解析证明巴斯力。定理设一六角形内接于一条二次曲线，则三对边的交点共线，该直线称为巴斯加线。证明如图1所示，设1（l，0，0），2（0，1，0），6（0，0，1），3（l，1，1），4（a；小；，l）‘5（aZ，八，1），取三点形162为坐标三角形，并使直线34，45均不平行于直线16，从而A学P。，Pl一旦，则二次曲线S的方程为：AQg十BX么十叶上一o（…     

不等式a~2 b~2≥2ab的探讨

在现行高中（代数》课本中，有一个重要定理：如果a，b6R，那么a‘＋b’ZZab（当且仅当。＝b时既‘＝”号）。它的推论为．如果。bCR＋．那么一。／筋（a＝b时既‘＝”号）。“一”－“－”““’““”“‘””““““”””—一’—“““’””’一2＞’——”一—“””这个定理及推论有着广泛的应用，特别在求最大值和求最小值时，用起来较为方便。但是学生在使用时往往忽视取等号的条件。例如：丁V＝＝Sll－I－——（＜X＜7）guffe／J＼沮。＾。。。4＿／．4。。，，、，。。。。、，。，。。。4、。。学生会直接用st。＋＞三＞…     

关于二项式系数的一个计数问题

对任意给定的素数ｐ和非负整数Ｎ，给出了边长为Ｎ的杨辉三角形所含的１／２（Ｎ＋１）（Ｎ＋２）个二项式系数（＾ｎｒ），ｎ＝０，１，…，Ｎ；ｒ＝０，１，…，ｎ中与ｐ互素者之个数ｆｐ（Ｎ）的精确计算公式，即有ｆｐ（Ｎ）＝１／２Σ＾ｋｉ＝０ａｉП＾ｋｊ＝ｉ（ａｊ＋１）Ｐ＾ｉ，其中Ｐ＝１／２ｐ（ｐ＋１），Ｎ＋１＝ａｋｐ＾ｋ＋…＋ａ１ｐ＋ａ０，０≤ａｉ〈ｐ。特别地，边长为Ｎ的杨辉三角形中所含奇数的个数恰为Σ＾ｔ     

关于Faudree－Schelp定理的改进

一个图Ｃ＝（Ｖ，Ｅ）是［ｌ，ｍ］－泛连通的，如果在Ｇ的任意一对节点ｘ与ｙ之间有长为Ｋ—１的路Ｐｋ（ｘ，ｙ），Ｋ＝ｌ，ｌ＋ｌ，…，ｍ。Ｇ具有性质Ｐ（Ｋ），如果对Ｇ的任何一对距离为２的节点ｘ和ｙ，有ｄ（ｘ）＋ｄ（ｙ）≥Ｋ。作者探讨了一类产（Ｋ）图的路连通性，改进了Ｆａｕｄｒｅｅ－Ｓｃｈｅｌｐ定理，得到两个定理：定理１设Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）是ｎ阶Ｐ（ｎ—１）图。如果Ｇ是［ｎ—１，ｎ］－泛连通的，则Ｇ是［８，ｎ］－泛连通图（ｎ≥８）．定理２设Ｇ是３－连通ｎ阶Ｐ（ｎ）图。如果Ｇ的独立数α（Ｇ）＜ｎ／２，则Ｇ是［５，ｎ］－泛连通图，ｎ≥５．     

关于高斯函数的几个恒等式

对高斯函数的两个恒等式：〔ｘ〕＋〔ｘ＋１／ｍ〕＋．．．＋〔ｘ＋ｍ－１／ｍ〕＝〔ｍｘ〕，其中ｘ∈Ｒ，ｍ∈Ｎ；１／２（ｐ－１）Σ（ｋ＝１）〔ｋｑ／ｐ〕＝Ｐ－１／２．ｑ－１／２，其中ｐ、ｑ是正奇数且（ｐ，ｑ）＝１，以及Ｔｏｍ．Ｍ．Ａｐｏｓｔｏｌ的一个问题“若ａ＝１，２，３，４，５，６，７。证明存在一个（依赖于ａ的）整数ｂ，使得ｎΣ（ｋ＝１）〔ｋ／８〕＝〔（２ｎ＋ｂ）＾２／８ａ〕”，作了进一步的推广，得到     

关于临界图的若干结果

Ｖｉｚｉｎｇ’ｓ猜想：ｎ阶Δ－临界图的边数ｍ满足ｍ≥（ｎΔ－ｎ＋３）／２。本文证明了当ｎΔ＝３时猜想也成立以及当５≤Δ〈ｎ／２，ｎΔ＝４时猜想也成立。同时给出了临界图的两个新的性质。     

Erd■s一个猜想的注记

当ｋ≥２，２ｋｎ＋１＝ｑｈ，ｑ≡－１（ｍｏｄ２ｋ），丢番图方程４／ｎ＝ｘ－１十ｙ－１＋ｚ－１有正整数解；当方程中ｎ换以素数Ｐ，则Ｐ存疑的条件是Ｌｅｇｅｎｄｒｅ符号有（Ｐ／３）＝（Ｐ／５）＝（Ｐ／７）＝（Ｐ／１１）＝（Ｐ／１３）＝（Ｐ／１７）＝１．     

一类线性微分方程解的零点性质和复振荡

本文证明了当方程Ｗ（ｋ）＋Ａｋ－１ｗ（ｋ－１）＋…＋Ａ１Ｗ’＋（Ａ０＋Ｇｅ）ｗ＝０的系数满足某种优势条件时，它的解的零点性质．由此，我们得到了该类方程复振荡的若干结果．该类方程已为众多研究者所研究．     

关于第二积分中值定理中的渐进性

讨论了第二积分中值定理∫＾（ｂ,ａ）ｆ（ｘ）ｇ９ｘ）ｄｘ＝ｇ（ａ）∫（ξ,α）ｆ（ｘ）ｄｘ＋ｇ（ｂ）∫（ｂ,ξ）ｆ（ｘ）ｄｘ的中值点ξ的渐近性。即当（１）ｆ（α）＝ｆ‘（α）＝…＝ｆ＾（ｎ－２）（α）＝０,ｆ＾（ｎ－１）（α）≠０．;）２）ｇ’（α）＝…＝ｇ＾（ｍ－１）（α）＝０,ｇ＾（ｍ）（α）≠０时,在一定条件下,我们有ｌｉｍｂ→α＋ξ－α／ｂ－α＝ｍ／ｍ＋）＾１／ｎ。     

关于差分方程un＋r=Σ（n＋r,i=1）aiun＋r—i—bn的显示解

给出了差分方程｛ｕｎ＋ｒ＝Σ（ｎ＋ｒ，ｉ＝ｉａｉｕｎ＋ｒ－ｉ＋ｂｎ ｕｉ＝ｃｉ ｉ＝０，１，…，ｒ－１的一个显示解，ｕｎ＝ｄｎ＋Σ（ｎ，ｉ＝ｄｎｉｋ＋ｋ＋２…＋ｉｋｉ（Σ（ｉ，ｊ＝１ｋｊ）！Π（ｉ，ｊ＝１）ａｉｋｊ／Π（ｉ，ｊ＝１）ｋｊ！．     

Banach空间一类常微分方程广义弱解的存在性

在弱完备的实Ｂａｎａｃｈ空间中，考虑如下的Ｃａｕｃｈｙ问题：ｘ′（ｔ）＝ｆｏ（ｔ，ｘ（ｔ）），ｘ（０）＝ｘｏ，（ｃｐ）其中ｆｏ＝ｆ＋ｇ，ｆ和ｇ满足不同的弱非紧型条件．证明一个满足不同弱非紧型条件的算子间的关系式和（ｃｐ）的广义弱解的存在定理．利用这些结果，得到一个定理，该定理的特例是［１］中定理５１１的推广     

关于周期函数的两个定理

本文绘出两个定理，为判断一元函数的周期性提供了方便。定理1若函数y＝f（x）在R上的图象关于直线x＝a与x＝b（a＜b）对称，则函数f（x）是周期函数。定理2若函数y＝f(x)在R上的图象关于点A（a，y0）和直线x=b（a相似文献   

系列平行图的边色数

Vizing(1964年）和Gupta（1966年）各自独立地证明了边着色中的重要定理：对任何简单图G,表X′（G）＝△或X′（G）△＋1。但确定一个图G的边色数仍是一个尚未解决的问题。本文利用系列平行图的结构性质，确定了它的边色数。     

P_m∨P_n的全色数

图Ｇ的全色数ＸＴ（Ｇ）是使得Ｖ（Ｇ）Ｕ∪Ｅ（Ｇ）中相邻或相关联的元素均染不同颜色的最少颜色数目．如果ＸＴ（Ｇ）＝△（Ｇ）＋１，则记如果ＸＴ（Ｇ）＝△（Ｇ）＋２，则记Ｇ∈．两个图Ｇ和Ｈ的联图Ｇ∨Ｈ是一个简单图，使得Ｖ（Ｇ∨Ｈ）＝Ｖ（Ｇ）∪Ｖ（Ｈ），Ｅ（Ｇ∨Ｈ）＝Ｅ（Ｇ）∪Ｅ（Ｈ）∪｛ｕｖ（Ｇ），ｖ∈（Ｈ）｝．本文证明了对任意的两个正整数ｍ和ｎ，Ｐｍ∨Ｐｎ∈当且仅当ｍ＝ｎ＝２或ｍ＝ｎ＝１，从而完全确定了两个路的联图的全色数．     

一个单叶解析函数族的推广

设函数在单位圆盘｜ｚ｜＜１内解析，且１，其中｛αｎ｝为一正实数序列．记具有这种性质的函数ｆ（ｚ）的全体为Ｓ（αｎ）．本文证明，如果ｆ（ｚ）∈Ｓ（αｎ），且αｎ≥［（ｎ－１）（αｐ－１）＋ｐ－１］／（ｐ－１），则ｆ（ｚ）为α阶星象函数，其中α＝（αｐ－ｐ）／（αｐ－１）．特殊情形，当αｎ＝ｎ，ｐ＝２时，Ｓ（ｎ）为众所周知的ＡＷ．Ｃｏｏｄｍａｎ（１９５７）关于原点的星象函数族，此外，本文还研究了Ｓ（αｎ）的单叶性条件，变形定理，旋转定理以及关于任意点为星象的条件，其中定理７和推论１推广了Ｈ．Ｓｉｌｖｅｒｍａｎ（１９５７）的一些结果．     

一类动力系统的大范围定性研究

本文考虑动力系统：ｄｘ／ｄｔ＝Ｐ３（ｘ，ｙ），ｄｙ／ｄｔ＝ｘ（１（．研究系统（１）具有代数曲线解：Ｘ２一ｋｙ２＝１ （ｋ＞０）（２）全局结构。 容易得到这时系统（１）等价于系统,ｄｘ／ｄｔ＝ａ１ｘ＋ａ２ｙ－ａ１ｘ３＋（ｋ－ａ２）ｘ２ｙ＋ｋａ１ｘｙ３＝ｋ（ａ２－ｋ）ｙ３，ｄｙ／ｄｔ＝ｘ（３）．由（３）我们得到所有奇点（有限远和无穷远）的类型。并用Ｄｕｌａｃ函数证明 （３）不存在极限环。进而得出（３）的所有可能的全局相图（ｌ）－（１３）．     

溶剂性质对配合物M（mnt）（phen）荷移光谱带的影响

在不同溶剂中，测得配合物Ｍ（ｍｎｔ）（ｐｈｅｎ）电子吸收光谱（Ｍ＝Ｃｕ２＋、Ｎｉ２＋；ｍｎｔ２－＝马来二腈基二硫代酸根；Ｐｈｅｎ＝１，１０菲啉）．两种配合物都存在ＬＬ’ＣＴ谱带，将配合物的ＬＬ’ＣＴ带的ｕｍａｘ与Ｚ和ＥＴ以及ＥＭＬＣＴ直线拟合，发现ｕｍａｘ与Ｚ和ＥＴ有线性关系，而与ＥＭＬＣＴ没有线性关系．     

图半群的边色数

引入图半群Fv／ρε的边色数x’（Fv／ρε）的概念，并证明了若Fv／ρε单图半群，则x’（Fv／ρε）=△或x’（Fv／ρε）=△＋1，这里△为图半群Fv／ρε的最大度．     

三角形外角平分线的一个公式及其应用

由平面几何容易得到三角形外角平分线的一个充要条件(本文简称性质).定理1 如图1,CD是△ABC中∠ACB的外角平分线的充要条件是a:b=d:e证明 证充分性:在图1中,在AC的延长线上截CE=BC,连DE,则△DCE≌△DCB 从而∠ADC=∠EDC 并且CE=a,DE=d.由于CD是△ADE中内角∠ADE的平分线,所以 a:b=d:e     

c‘—m回归模型在确定昆虫种群空间分布型中的应用

根据随机型概率分布（Ｐｏｉｓｓｏｎ分布）中，方差（ｖ）与均值（ｍ）相等的性质，提出一个新的种群聚集度指标Ｃ’，Ｃ’＝ｍ／ｖ＋ｍ。Ｃ’指标不仅可用来判断昆虫种群的空间分布型，而且ｃ’与ｍ之间存在着线性关系，据此，提出了ｃ’－ｍ回归模型：Ｃ’＝ａ＋ｂｍ当ｃ与ｍ线性相关显著时，ａ、ｂ的不同组合型式就揭示了种群不同的空间分布型的信息，根据ｃ－ｍ模型，推导了序贯拉机方程和最大抽样数量的确定公式。