关于Caritz的一个猜想

设F_q是阶为q的有限域,多项式f(x)∈F_q[x]称为F_q上的置换多项式,如果f(x)是F_q到自身的一一映射。 在有限域上置换多项式的研究中,Carlitz有一著名猜想(见D.R.Hayes,Duke.Math.J.,34(1967),293—305):对于给定的正偶数n,存在正     

关于sum from i=1 to n(x_i/d_i)≡0(mod 1)的最小值

设p是一个奇素数,q=p~l,l≥1,F_q是一个q元有限域,c_i(i=1,2,…,n)是F_q的非零元。设d_1,…,d_n是给定的n个大于1的正整数,d_i|q-1,i=1,2,…,n,N代表F_q上对角方程的解的个数,即N=|H_f(F_q)|,H_f(F_q)={a∈A~n(F_q)|f(a)=0}是由f=c_1x_1~(d_1)+…+c_nx_n~(d_n)在A~n(F_q)中所定义的超曲面,A~n(F_q)表有限域F_q上的n维仿射空间。熟知这里I(d_1,…,d_n)代表方程     

关于Golomb猜想

Golomb猜想(参看Golomb, S., Algebraic Construction for Cost as Arrays,to be Published in Journal of Combinatorial Theory)为:在任何有限域GF(P~2)中总存在两个本原元,它们的和等于1。张肇健和I. s. Reed(参看科学通报,28(1983),12:714—715)证明了在某些类型的有限域中Golomb     

关于无限方阵的Jordan标准形

本文讨论在任一不可数代数闭域上及任一有限域上把某些无限方阵化为Jordan标准形的问题.所用的方法主要是沟通有限方阵与无限方阵的紧致性论证,其根据是文献[1]中的结果及模型论中的紧致性定理.本文中设F为一不可数代数闭域或有限域.对F上的无限方阵A附加某些条件(见定理1～3),证明这些A可以在一种弱意义下相似于Jordan标准形或对角形(关于“弱意义”的含意,见定理1后面的说明).定义1 设A为F上的无限方阵.如果A的每一行都只含有限个非0元,称A为行有限的(这样的A,可用以左乘F上的任何无限方阵).仿此定义列有限性.定义2 设B=(b_(ij))为F上的无限方阵.如果B适合:诸b_(ii)相等,诸b_(ii+1)均为1,其他b_(ij)均为零,则称B为一无限Jordan块.     

方程sum from i=1 to n(x_i/d_i)≡0(mod1)的解数和解的最小值

文献[1～3]论及了方程∑ｎｉ=1ｘｉｄｉ≡0(ｍｏｄ1),1≤ｘｉ≤ｄｉ-1,ｉ=1,2,…,ｎ(1)在估计有限域上对角方程的解数中的作用,给出了基本性质与若干缩减过程.更进一步使用与扩展这些性质与方法,本文给出下列各定理.本文的记号同文献[1,2]中基本一致,主要有:Ｉ(ｄ1,…,ｄｎ)表示方程(1)的解的个数;设Ｉ(ｄ1,…,ｄｎ)>0,定义Ｌ(ｄ1,…,ｄｎ)=ｍｉｎ∑ｎｉ=1ｘｉｄｉ∑ｎｉ=1ｘｉｄｉ≡0(ｍｏｄ1),1≤ｘｉ≤ｄｉ-1,ｉ=1,2,…,ｎ.定理1　1)若Ｉ(ｄ1,…,ｄｎ)=5,6,7或9,则Ｌ(ｄ1,…,ｄｎ)=ｎ2,这里记号[ｘ]表示不超过ｘ的最大整数.2)若Ｉ(ｄ1,……     

模奇数的广义分圆方程的可约性

设q为一个素数的方幂,F-q为q个元素的有限域,b为F_q的一个选定的原根,e是q—1的一个正因子。F_q中的e阶分圓数(h,k)_e定义为有序对(s,t)的个数,其中s,t满足     

有限域上循环椭圆曲线

有限域上椭圆曲线的大多数性质已为人们所知,例如,它们可能的Zeta函数,自同态环和自同构群,同构类个数等.有限域上的椭圆曲线近年来用于大整数分解及公钥密码体制的研究,并取得了一些重大进展.对于密码体制的应用,人们往往需要用一个有理点群为循环群的椭圆曲线来构造公钥体制.因而,下面的问题自然地被提了出来.问题 对于固定的有限域F_q,任取一条F_q上椭圆曲线,其有理点群是循环群的概率是多大?当然,在上面问题中,同构的椭圆曲线被看成是同一条,即只考虑F_q上同构的椭圆曲线类.文献[3]中结果告诉我们,F_q上椭圆曲线的同构类个数为2q+(?)(1),这里(?)(1)是一个绝对有界常数.因此,要回答我们的问题只需求出F_q上有理点群是循环群的椭圆曲线个数c(q).一般情况下很难求得c(q)的确切值,本文将给出c(q)的上下界.由于本文用到的符号较多,因此首先定义它们.E,E′等表示F_q上的椭圆曲线.E(K)表示E的K有理点群,其中K是F_q的有限代数扩张或K是F_q的代数闭域F_q.     

(2,2,…,2)型数域的判别式密度

型数域即是n个二次域合成的Q的2~n次扩域。问题是计算绝对判别式等于d(以及小于X)的这种域的个数J~n(d)(以及N_n(X))。Baily[Baily, A., J. reine angew. Math., 315(1980),190—210;328(1981),33—38]分别对n=2和3解决了此问题。本文在对这种域的结构研究的基     

关于一类陷门单向函数

1976年,Diffie和Hellman提出了陷门单向函数,可以用来构造一种新的密码体制——公开钥密码,受到了人们普遍的重视。目前,巳经给出了几类陷门单向函数,如重要的RSA公开钥密体制(参看R. Rivest, A. Shamir, L. Adleman, Communications of the ACM 20(1978),120—126)。 本文用有限域F_p上多项式的性质,给出一类新的陷门单向函数。我们有以下的定理     

Pòlya计数定理之精细化

屠规彰在《组合计算方法及其应用》(科学出版社,1981,p.206)一书中提出的P(?)lya-de Bruijn定理(ds Bruijn,N.G.,A survey of generalizationof Pblya's enumeration theorem, Nieuw Arch. Wik.1971,19,89—112)三个局限性问题之一为:“它(P(?)lya-de Bruijn定理)只给出了等价类的个数,而未告诉我们每个等价类中有多少个元;”。这里,我     

非晶态超导体的转变温度T_c、能隙2△~0和霍耳系数R_H

设E(N)是适合1≤n≤N,且不能表成 n=sum from j=1 to 4 (x_j~(j 1)) x_j为正整数 (1)的n的个数。1951年,Roth(Proc. London Math. Soc., 53(1951))证明了,对任意的正数8     

一类复数序列的自相关函数

1 引言 1984年,Schltz和Welch利用迹函数给出了GF(2)上GMW序列定义如下:设M,J为正整数,J|M,α是有限域GF(2~M)上本原元,r为正整数,并且1≤r≤2~J—2,(r,2~J—1)=1令b(n)=tr_1~J(tr_J~Mα~n)~r,n=0,1,2,…,则称二元序列     

非线性回归模型的几个二阶近似公式

给定非线性回归模型y=f(x,θ) ε,其中模型函数f(x,θ)关于未知p维参数θ二阶可导且一阶导数满秩。x,y,ε皆为n维向量。设随机误差ε服从N(0,σ~2I)。θ的最小二乘估计记为。估计量的偏差和残差分别记为b=E((?)—θ),e=y—f(x,(?))。 设V.和V..为f(x,θ)在真参数θ处关于θ的一阶和二阶导数,V..为p×p×n阶阵。V.可分解为V.=(U.,N)(R′,0)′,其中(U.,N)为n阶正交阵,U.为n×p阶,R为p×p阶非退化上三角阵。在参数空间中作坐标变换φ=R(θ—(?)),则模型函数关于φ的前二阶导数分别为U.和U..=     

Galois环上多项式本原性的判别

对Galois环R上的本原多项式的研究是有限域F_q上相同理论的一种类比;在应用中,它又可以产生R上最大周期的线性递归序列.当R=F_q时,已有很完整的理论结果;当R=Z/(p~d),p为素数,d≥2时,也有较为详细的讨论,特别在文献[3,4]中,利用F_p上本原线性递归序列的技巧,给出了f(x)是本原多项式的一个充要条件,其意义在于利用f(x)的系数来决定f(x)的本原性.本文用纯代数的方法,推广这一结论到Galois环上,且对次本原多项式也给出相应的代数判别式.     

关于Golomb猜想及其有关问题

设q(>3)为整数,GF(q)是一个有限域,其特征为p.Golomb在文献[1]中研究Costas阵列的设计问题时曾提出了如下3个猜想:(A)任一有限域GF(q)(q>2)均含有两个本原元,其和为单位元.(B)任一有限域GF(q)(q>3)均含有两个本原元,其和为-1.(C)存在一个正整数q_0满足下述性质:对于任一有限域 GF(q)以及任一非零元素c∈GF(q),     

方程6y~2=x(x+1)(2x+1)的解的初等证明

1875年,E.Lucas问丢番图方程6y~2=x(x 1)(2x 1) (1)是否仅有非平凡解x=24,y=70.1918年Watson给出了肯定的回答,他利用椭圆函数给了一个复杂的证明(Messenger of Math., 48(1918/1919),1—22).1952年Ljunggren对四次扩域上的基本单位进行了仔细的研究,利用二次扩域上的Pell方程给     

关于丢番图方程x~3±1=Dy~2

对于丢番图方程x~3±1=Dy~2,x~3±1=3Dy~2,D>2,D无平方因子且不能被3或6k 1形的素数整除,设上式中四个方程的正整数解(x,y)的总个数为T,Ljunggren(Skr.Norske Vid.Ak ad.Oslo.I.9(1942),53)证明了T≤1,他的证明方法不是初等的。     

超椭圆曲线上的几何MDS码的主猜想

在文献[1]中讨论了几何码的主猜想,证明了当基域的元素个数足够大时,对亏格小于3的曲线上的码,主猜想为真.本文将讨论超椭圆曲线上的主猜想问题.1 一些概念在此,我们回忆一下代数几何的有关概念,F_q表示q-元有限域,X是定义在F_q上的代数曲线,X(F_q)是X在F_q上的有理点集,F_q(X)表示X在F_q上的函数域.Div(X)是X的除子群.对X在F_q上的有理除子D,Supp(D)表示D的支点集,L(D)={f∈F_q(X)~*|div(f) D≥0}∪{0}是F_q向量空间,1(D)=dimL(D).对两个除子D和D’,D～D’表示它们线性等     

关于广义Ramanujan-Nagell方程(Ⅱ)

设D是非平方整数,p是奇素数,p D对于给定的D和p,以N(D,p)表示方程x~2—D=p~n,x>8,n>0 (1)的整数解x、n的个数。对此,Apéry (C. R. Acad.Sci. Paris, 251(1960), 1451—1452)证明了:当D<0,D≡1(mod4)且D无平方因子时,N(D,p)≤2。Bender和Herzberg(Studies in Algerbra and     

张量代数的外齐次化与PBW定理

设S=(?)S_n一是-Z分次环,X是S的中心中一个次为1的正则齐次元.那么下列结论成立:(a)Sr的商环A=S/(1—X)S是一个滤过环,A上的滤(升)链定义为F_nA=S_n (1—X)S/(1—X)S,n∈Z;(b)与A相关联的分次环G(A)=(?)F_nA/F_(n-1)A与 S/XS之间有一个显然的分次环同构;(c)A的Rees环(?)=(?)F_nA与S之间有一个显然的分次环同构.设R=(?)R_n是一个Z-分次环,那么R的外齐次化是R上的多项式环S=R[t]但此对S具有“混合分次”:S_n={sum from i j=n to (α_it~j),α_i∈R_i},n∈Z.显然t是S中的一个次为1的中心正则齐次元,但此时S的商环A=S/(1-t)S作为滤过环同构于R,这里R具有(升)滤链F_nR=(?)R_i,n∈Z,G(A)(?)R(作为分