半完备初等系统Ⅰ

我們把只肯定某函数与某函数相等的公理叫做初等公理,而肯定具某性貭的函数存在的公理叫做高等公理。当实施—規則时其前件中不允許作代入的变元叫做硬性变元。不含硬性变元称为初等規則,而兼合硬性变元的称为高等規則。其次,在递归算术中只討論同異性、迭置与零函函数么函数的部分称为基础系統。在基础系統上再引入若干个常函数及刻划它們的初等公理与初等規則就組成就这些函数言的初等系統。在某初等系統中当能推出一切(只与所引入的常函数有关的)初等永真公式时就称为半完备的,当更能推出一切(只与所引入的常函数有关的)初等規則时就称为完备的。本文作出了一个就常函数xNy,x+y,x·y而言的半完备的初等系統。此外,本系統中的各組原始公理还是自足的,即如想推出只含某些函数符号的永真公式时只須使用相应的公理便成。     

一个数论函数方程xy-[x]y=y

利用初等数论和极限理论研究了一个包含Gauss取整函数方程xy-[x]y=y的可解性问题,证明了当x∈[n,n+1),n∈瓔时,有且只有一个y与之对应,从而方程xy-[x]y=y有无穷多组实数解.同时,当y值非常小时,可以获得解x的具体形式,即在y=2,3时,给出了对应解x的具体形式.     

Hammerstein型非线性积分方程的固有值与固有元

本文讨论Hammerstein型非线性积分方程φ(x)=f_Gk(x,y)f(y,(y))dy=A_φ(x) (1)当核k(x,y)和f(x,y)为某些特殊函数时的固有值与固有元。这里G表示N维欧氏空间R~N中的有界闭城。在讨论方程(1)的解或算子A的固有值和固有函数时,许多文献都假定核k(x,y)非负或者f_Gk(x,y)dx>0     

复指数多项式在半带形中的完备性

对复指数多项式在Banach空间Hα中的完备性给出了充分必要条件,其中Hα为在半带形Iα={z=x iy: x≥0,|y|≤α} (α>0)中连续, 在Iα的内部解析且当x→∞时,f(x iy)在Iα中关于y一致地趋向0的函数f(x iy)全体, 其范数为上确界范数.     

初等代数函数是代数函数

<正> 初等代数函数是代数函数,从名称上看好象应该是显然的。但从各自的定义上看就不是显然的了。初等代数函数的定义是:由函数y=x和y=c(c为常数)经过有限次代数运算并用一个解析式表示的函数;代数函数的定义是:P(x,y)是多项式,若y=φ(x)满足方程P(x,y)=0,则称y=φ(x)为代数函数。可见说初等代数函数是代数函数是要经过证明的。     

半局部η-伪线性函数的一些性质

作为半局部伪线性函数和η-伪线性函数的推广,本文利用半可微性提出了一类新的广义凸性函数一半局部η-伪线性函数.同时,本文建立了f在Γ上是半局部η-伪线性的当且仅当存在p:Γ×Γ→R,满足p(x,y)＞0,(V)x,y∈Γ,∫(y)=f(x)+p(x,y)df+(x,η(y,x))等性质.本文的结果是对文献[2]和[4]...     

度量空间上两个自映射公共不动点定理

首先引入一类新的A(ρ) 实函数类的概念,并给出一些例子,然后利用A(ρ) 实函数类,在完备度量空间上建立了一些自映射对的公共不动点定理,如f,g为完备度量空间(X,d)上的两个自映射对,当f,g有一个连续并且存在F∈A(ρ) 使得d(f(x),g(y)≤F(d(x,y),d(x,f(x)),d(y,g(y)))对任意x,y∈X成立,则f,g存在唯一的公共不动点.同时举例说明了本文的结论,统一并推广了文献[5-9]的Reich型压缩映射的不动点定理.     

预不变凸函数的一个等价条件

广义凸性在数学规划与最优化理论中具有十分重要的作用.本文通过将对多元实值函数的研究转化为对单变量的实值函数的研究,首先证明了当X为关于η的不变凸集,η满足条件C,f满足条件D时,对任意给定的x,y∈X,(A)λ∈[0,1],F(λ)=f(y+λη(x,y))是凸函数当且仅当f为关于η的预不变凸函数. 在此基础上建立了二次连续可微的预不变凸函数的一个等价条件:设X为关于η的开不变凸集,η满足条件C,f二次连续可微且满足条件D,则f关于η为预不变凸函数等价于(A)x,y∈X,η(x,y)T2f(x)η(x,y)≥0.本文的结果为判断函数的预不变凸性提供了新的思路.     

度量空间上两个自映射公共不动点定理

首先引入一类新的Aφ实函数类的概念,并给出一些例子,然后利用Aφ实函数类,在完备度量空间上建立了一些自映射对的公共不动点定理,如f,g为完备度量空间(X,d)上的两个自映射对,当f,g有一个连续并且存在F∈Aφ使得d(f(x),g(y))≤F(d(x,y),d(x,f(x)),d(y,g(y)))对任意x,y∈X成立,则f,g存在唯一的公共不动点。同时举例说明了本文的结论,统一并推广了文献[5-9]的Reich型压缩映射的不动点定理。     

度量空间上两个自映射公共不动点定理

首先引入一类新的Aφ实函数类的概念, 并给出一些例子,然后利用Aφ实函数类, 在完备度量空间上建立了一些自映射对的公共不动点定理,如f,g为完备度量空间(X,d)上的两个自映射对,当f,g有一个连续并且存在F∈Aφ使得d(f(x),g(y))≤F(d(x,y),d(x,f(x)),d(y,g(y)))对任意x,y∈ X成立,则f,g存在唯一的公共不动点。同时举例说明了本文的结论,统一并推广了文献［5-9］的Reich型压缩映射的不动点定理。
     

根据函数方程判别基本初等函数的超越性

§1 代数函数与超越函数初等函数是初等数学乃至高等数学的主要研究对象。初等函数又可分为代数函数与超越函数两类。我们先叙述它们的定义。定义1 如果函数y=f(x)〔注1〕满足某代数力程 P(x,y)=0, (1)这里(?)是既约多项式〔注2〕,p_k(x)(k=0,1,…,n)都是x的多项式,且(?),则称y=f(x)为代数函数。     

非正规边值条件下的二阶非自伴边值问题

(一)常型的二阶边值问题(E)y″ q(x)y=-λy U_1y=a_(11)y(0) a_(12)y′(0) a_(13)y(1) a_(14)y′(1)=0 U_2y=a_(21)y(0) a_(22)y′(0) a_(23)y(1) a_(24)y′(1)=0 q(x)∈c[0,1]常分为自伴与非自伴二类,在自伴情形(即当 q(x)为实值函数且 U_1y、U_2y 为自伴边值条件时),系一古典问题,此时(E)恒有可数个实的单重特征值,且其特征展开式的收敛性质与它的富氏展开式是同等的。至于(E)在非自伴情形(即当 q(x)是复值函数,U_1y、U_2y 系一般边值条件时),其特征值分布状况及其特征展开式的性质,亦已有所讨论(关于更高阶的一     

几类含奇线双曲型方程的Riemann函数

一、引言已知双曲型偏微分方程(α~2u)/(αxαy)+A(x,y)(αu)/(αx)+B(x,y)(αu/(αy)+C(x,y)u=F(x,y)(1.1)的Riemann函数(本文以下简称R函数)的存在性早已被肯定,而求出R函数又是求方程(1.1)的解以及讨论其Cauchy问题的一个基本途径。然而,至今能求出R函数明显表达式的方程却并不多,已知的求法也多半因方程类型不同而异。1958年,Copson较全面地总结归纳出(已知的)求R函数的六种方法,其中之一是Chaundy在[1]中提出通过幂级数求R函数的方法。此法虽仍受方程类型的局限,但对于探求含奇线双曲型方程的R函数来说是有价值的,其意义在于该法通过变换能消除原方程的奇性,从而得出适合用幂级数求R函数的方程组。Chaundy在[1]中用这样的方法求     

在指标为十1的初等奇点外围Dulac定理的逆命题

本文解决如下问题:即当方程在 dx/dt=-y 2dx 1x~2 mxy ny~2=P(x,y) dy/dt=x(1 ax by)=Q(x,y) (1) (0,0)外围不存在极限环与周期环,且(0,0)为指标 1的初等奇点时,是否一定存在B(x,y)使 在(0,0)外围保持定号?并作出了B(x,y)的较简单的形式。     

一类三阶变系数线性常微分方程的可积性

论述了一类三阶变系数线性常微分方程y A(x)y″ B(x)y′ D(x)y=E(x)当满足条件D2 DB′-BD′=0和BD DA′-AD′=0时,可用初等积分法求其通解,并推出了求解公式。     

收缩函数的初等性

文[1]扩展了对初等函数型态的认识.本文继续扩展对初等函数型态的认识,得出了一定条件下的收缩函数是初等函数的结果,并叙述了几个有关的论点.收缩函数在有些文献中亦称为限制函数,即定义1 设函数y=f(x)与y_1=g(x)分别定义在D和D_1上,若DD_1,且x∈D_1,有g(x)=f(x),则称g为f在D_1上的收缩函数(有时简称为f的收缩函数).常见的在一个函数的表达式y=f(x)后注明定义域的方法有时就是给出了一个收缩函数.     

奇异环稳定性的注释

存在奇异的内侧极限环Γ,其Γ上的有限个顶点均系(E)的初等鞍点。设x,y平面的区域GΓ。当P(x,y)∈C~2(G),Q(x,y)∈C~2(G)时,1968年文[1]曾研究过Γ的稳定性,文中有两个内容,其一是证明分界线在初等鞍点处的二阶光滑性;其二提出了判定Γ稳定性的充分条件。 我们将指出,[1]的前一部分结论不成立,但它对后一部分结论无影响。同时,我们将在更弱的条件下得出[1]中Γ稳定性的结论。 我们首先指出[1]中第一部分的问题。[1]把原点移至初等鞍点,于是(E)变为下列系统:     

控制不等式与随机矩阵

利用半正定初等随机矩阵研究了控制不等式,得到了当x,y∈Rn且x=x↓,y=y↓时,x相似文献   

一个包含Euler函数方程的正整数解

主要利用初等方法研究了方程φ(xyz)＝3(φ(x)＋φ(y)＋φ(z))的可解性问题,给出了该方程的所有的正整数解,其中φ(n)为Euler函数.     

关于函数概念教学的思考

函数及其图像在中学代数中占有重要的地位,是后继课学习的基础.因此,务必掌握.正确理解函数概念是学好函数及其图像的关键.关于函数的概念,教材中指出:“设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数”.正确理解这一概念要把握下列内容:第一、函数概念涉及两个变量x和y,讲的是它们之间的某种关系;第二、变量x是在某一范围内取值,这个变量叫作自变量,x的取值叫作自变量的取值范围,也叫做函数的定义域;第三、变量x和y要有确定的对应关系,即对于x的“每一个确定的值,y都有唯一确…