三等分线段

作法:①以AB为对角线作正方形ABCD(作AB的垂直平分线交AB于E,在CD上截取EC=ED=EA=EB,连结CA、AD、DB、BC,则四边形ABCD为正方形)。     

谈谈9点园定理的解法

定理1:三角形 ABC 中,假设从 A、B、C 各顶点到对边 BC、CA、AB 所引垂线的线的垂足分别是 D、E、F;这些垂线的交点(即垂心)是 H;边 BC,CA、AB 的中点分别是 K、L、M;AH、BH、CH 的中点分别是 P、Q、R;那末,D、E、F、K、LM、P、Q、R 这9个点都在同一个园周上。这个园就叫做9点园。(图1)     

面积坐标及其应用

本文由文(1)的结论给出面积坐标的定义,运用点与三角形之间的关系,为解决竞赛题中的几何问题提供了一个有效的方法。 一面积坐标的定义 文(1)运用面积比证实,若P是△ABC所在平面上的任一点,直线AP、BP、CP分别与边BC、CA、AB或延长线相交于D、E、F,则 PD/AD+PE/BE+/PE/CF=1     

Menelaus逆定理浅探

l定理钱探Menelaus定理是初等几何中证明共线点的一个有力工具，为了证明它，一般我们先证明了以下的Menelaus逆定理．定理1设面ABC的三边（所在直线）BC、CA、AB被一直线分别截子点X、Y、Z（图1），则有：此定理在初等几何中有很广泛的应用，介于接受能力，中学数学并未提及此定理．下面，我们由它得出如下一个易于中学生接受，同时在中学几何又很有用的定理，以体现高等数学对中学数学的指导．定理2设过凸ABC的一个顶点C任作一直线，分别分对边AB及不过此顶点的中线AD（或BM）为两部分，其分点分别为F、E，则（如图2）：此定理…     

一道课本例题教学的探索

苏课版义务教育课程标准实验教科书九年级（下册）第一章3节《平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定》例4已知如图（1）正方形的对角线AC、BD相交于点O，正方形A’B’C’D’的顶点A，与点O重合，A，B，交BC于点E，A’D’交CD于点F，求证：OE=OF．     

垂足三角形的性质

1986年全国高中数学联赛的第二试第二题是这样的:“已知锐角三角形ABC 的外接圆半径是 R,点 D、E、F 分别在边 BC、CA、AB 上。求证:AD、BE、CF是△ABC 的三条高的充要条件是S=R/2(EF+FD+DE)式中 S 是△ABC 的面积。”     

DUI YI DAO LI TI DE YAN SHEN LIAN XI

△ABC中，AB＋AC=12，AD=3，则AABC的外接圆的最大直径是多少？ 【延伸4】已知：如图6，在⊙O的内接△ABC中，AB＋AC=12，AD⊥BC，垂足为D（点D在BC边上），且AD=3，设⊙O的半径为y，AB的长为x.     

一个平面几何问题的证明及推广

1问题的提出 如图1,△ABC是⊙J的外接三角形.过切点D作圆的直径交圆于点E',连接AE'并延长BC交于点E,过J作EE'的平行线交BC于点M,求证:点M是BC的中点.     

以扁圆拟似椭圆的误差分析

已知扁圆的长、短半轴分别为为a,b(a>b>0)求作扁圆,其常见画法如下:(只作其四分之一) 1.作垂直O点的二直线段OA,OB且有OA=a,OB=b,在线段AB上取BD=a-b。 2.作线段AD之中垂线分别交直线AO,BO于E,F。 3.分别以E,F,为圆心,以r=EA,R=FB,为半径作二弧使其内接于直线EF的点T。此扁圆是由四段圆弧内连接,且长、短半轴为已知值的     

凸多边形最小面积四边形包围盒算法

针对凸多边形的最小面积四边形包围盒问题进行研究,通过数学推导证明,得出了凸多边形的最小面积四边形包围盒的四边都是多共点边,或三边是多共点边而另一边(单共点边)中点与凸多边形的一顶点重合等一系列结论.依据此结论设计了时间复杂度为O(n4)的算法,依据本算法可以构造出凸多边形面积最小的凸四边形包围盒,而且其算法的复杂度仅与凸多边形的边数n相关,是多项式级的复杂度.运算实例表明了算法的正确性和有效性.     

论中学几何概念

一、从几个例子谈起最近从学生的作业和试卷中发现一些错误,现举几例: 例①对于命题:“假设两个三角形的两边与其夹角平分线对应相等,试证这两个三角形全等”(1978年山西省中学生数学竞赛试题之一),有的学生采用了如下的证法: 证明;如图1,延长AD到E,使DE=AD,延长A′D′到E′,使D′E′     

在解题教学中培养学生思维能力的探讨

解题挂学在中学员学教学中占有很大的比例，学生的思维能力是诸多能力的核心，因此在解题教学中培养学生的思维田力就成为很重要的课题了．本文就此课题进行探讨，抛砖引玉，清同行间教．一、连过典型们题引伸，培养学生的发包思维能力．精心选择典型例题，通过解答，适当引伸是培养学生的发出思维能力的重要途径之一．例1、设凸AJ3C的内切囵1和各边分别相切于点D、E、F，zDIE—118“zFID一144’，求凸AJ3C中zA的度数．（见图1）此题解法较简单：先利用周角360”求出zFIE—98”，再利用A、F、！、E四点类团的性质求出ZA—72”．为…     

数列的一类插值问题

引例正数数列a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,其中 a_3是 a_1与 a_5的等比中项,a_2是 a_1与 a_3的等比中项,a_4是 a_3与 a_5的等比中项,则该数列为等比数列.下面给出几何证明(只需证明 a_3是 a_2与 a_4的等比中项即可).如图1,以 a_1+a_5=AB 为直径作半圆,圆心为 O,在 AB 中取点 C,使得,AC=a_1,BC=a_5,过点 C 作 CG⊥AB 交半圆于点 D,连接 AD、BD.由     

用尺规法作已知线段的三等分点(线段AB的三等分点)

①过B点任作一条不过AB的直线a②以B为圆心,以任意长为半径作圆交a于E、F两点,连结AF、AE且BF=BE     

线段相等的射影几何证法

利用射影几何知识证明两线段相等,有时是很方便的。下面通过一些例子来说明线段相等的射影几何证法。 一、利用交比相等 例1 设M为已知圆的定弦PQ的中点,过M任作两弦AB和CD。 (1)若AD和BC分别交弦PQ于T和     

编拟数学题应注意科学性

曾见有这样一道数学练习题：A是长方形一边上的任意一点，A与其它三边中点的技经把长方形分成甲、乙、丙、丁四部分。已知申、乙、丙三部分的面积分别为12、35、25平方厘米，求丁部分的面积。（图1）小工作解法一：作与A相对的长方形的中位线，（囹2）据长方形的面积公式及中点的概念，知甲十丁一1／4（长方形）（面积关系，下同）从而乙十丙一3／4（长方形）所以甲十万一l／3（乙十丙）。（式互）以己知数值代人计算得：丁一8（平方厘米）。小李作解法二：连结点A与对边两端点，（如图3）则由“等底等高的三角形等积”知乙一甲一丙一丁（…     

分裂域和重复根式扩张

设E为系数在F上的多荐式f(x)的分裂域，若f(x)在F上根式可解，则E必含在F的一个重复根式扩张中，而E不一定是F的重复根式扩张。本继续探讨了这一问题，当CharFn=deg(f(x))时证明：(1)若Galiois群Gal(E／F)可解，E包含n次本原单位根，则E是F的重复根式扩张，这里且是deg(f(x))的全部素因子；(2)若E是F的重复根式塔，则E包含pi次本原单位根；并讨论了n=2^tp^tt1p^1z2…pk^tk,pi为Ferrnat素数的情形。     

关于拟常曲率流形的平行中曲本子流形的一个积分不等式

本文的目的是证明如下的定理:设V~(n+p)是拟常曲率黎曼流形,即V的黎曼曲率张量可表为K_(ABCD)+a(g_(AC)g_(BD)-g_(AD)g_(BC))+b(g_(AC)V_BV_D+g_(BD)V_AV_C-g_(AD)V_(BC)-g_(BC)V_AV_D)(sum from n=(A,B)(g_(AB)V_AV_B=1),若M~n是V~(n+p)的具有平行平均曲率的紧,致无边子流形,则integral from n=M~n({(2-1/p)S~2-[na+(1/2)(b-|b|)(n+1)]S+n(n-1)b~2+nH(anH+S~(3/2)+2|b|S~(1/2))}*1≥0)式中S=const是M~n的第二基本形式的长度之平方,H=const是M~n的中曲率.当M~n是V~(n+p)的极小子流形时(H=0),得到白正国教授[1]中的相应不等式     

关于一九八一年全国二十五省市自治区数学竞赛试题第五题的一个解答

原题:五、(20分)一张台球桌形状是正六边形ABCDEF。一个球从AB 的中点P 击出,击中BC边上的某点Q,并且依次碰击CD、DE、EF、FA 各边,最后出中AB 边上的某一点。设∠BPQ=θ,求θ的取值范围。提示:利用八肘角等于反射角的原理。     

梅内劳斯定理及其应用

我们知道,笛沙格定理、巴斯加定理及其特殊情形帕普斯定理的条件与结论只涉及点与直线的结合关系,甚至与顺序也无关,因此属于“射影”性质,它们在射影几何中都占有很重要的地位,特别笛沙格定理的成立与否影响到整个射影几何的结构。这三个定理在射影几何中有各种各样的证法,本文统一用梅内劳斯定理进行证明,一方面说明梅内劳斯定理在解决“三点共线”问题中的作用,同时介绍射影几何中这三个著名定理.我们先来介绍梅内劳斯定理.梅内劳斯(MeneIaus)定理:设 D、E、F 各是△ABC 的三边 AB、AC、BC 或其延