拓展对称与偏差数概念的形成及作用

域上欧氏几何中,把正交为换表为对称之积的问题,是几何中基本问题之一,二十世纪七十年代以后。环上几何学兴起,欧氏空间把正交变换表为对称之积,为人们所注意,如何将这一问题的结果,有效的转移到环上,转移过程中,出现一类对称叫拓展对称的问题,因此,欲将域上的结果有效的转到环上,首称必须解开拓展对称,在域上,开解正交变换表成对称之积,因子个数的多少,是用变换的剩余数来标定的,在环上,仅用剩余数却难于定出因子个数,于是创出一个偏差数的概念,用正交变换的偏差数和剩余数来标定因子个数,表明分解的长度。     

局部环上正交群Scherk定理(2)——表类对称为对称之积(英文)

在局部环上,我们称剩余数是1的正交变换为类对称,在文献中给出,任一正交变换昔可表成类对称之积,并给出了精确的最短长度。本文证明了类对称还可以用对称之积表出,并进一步探讨了最短长度的可能范围。     

局部环上的矩阵表为初等阵之积的因子个数

讨论了局部环上的矩阵表为初等阵之积的因子个数问题,并推广了域上的相应结论。     

Х—满射环上正交变换的分解

在２是单位的Х－满射环Ｒ上，以拟对和称为生成元，给出正交变换的分解方法，并估计了分解因子的最少个数。     

Φ－满射环上正交变换的分解

在２是单位的Φ－满射环Ｒ上，以拟对称为生成元，给出了正交变换的分解方法。并估计了分解因子的最少个数。     

将行列式为±1的阵表成反射之积

一引言设A是域F上的n级方阵,I是n级单位阵,称rank(I—A)为A的剩余数,记为resA;称剩余数为1而行列式为-1的阵为反射。 F上任意行列式为±1的阵A,都能用反射之积表出[2],在表出式中,所用因子的最小个数叫做分解长度、记为m(A)。本文对resA与m(A)的关系进行了研究。给出了m(A)用resA表出的关系式。同时也给出了构造反射因子的具体方法。     

线性群GLn(V)的一个生成元定理的新证明

本文用 O′Meara的剩余空间方法,对域 F 上的行列式不等于±1的可逆线性变换σ用一个剩余数是1的线性变换与反射之积表出的最短长度问题给出新证明。     

剩余类环Z_M与Z_M上的数论变换

剩余ZM类环是一类特殊的环.数论变换是以正整数M为模的正整数环(域)ZM上定义的线性正交变换.所用的计算方法是数论中的同余运算.介绍了剩余类环ZM上的几个方面的知识点,以及ZM上的数论变换的有关理论,及其数论变换应注意的几个问题.     

模n剩余类环的零因子图的补图的类数

研究了模n剩余类环Zn的零因子图的补图的类数.通过讨论n的素因子个数,利用完全图、完全二部图的类数公式以及有关类数的下界公式和嵌入技巧,证明了模n剩余类环Zn的零因子图的补图的类数不超过5,当且仅当n=6,8,10,12,14,15,16,18,20,21,22,27,33,35,55,77,p2,其中p为素数.并且分类了模n剩余类环Zn的零因子图的补图的类数分别为0,1,2,3,4,5的情形.     

正交变换另析

本文主要研究二维空间和三维空间的正交变换。在二维空间中,从平面上关于直线的轴对称变换谈起,把平面上的平移变换看作平面上对称轴平行的轴对称变换之偶数乘积,旋转变换看作对称轴相交于一点的轴对称变换之积,中心对称变换看作是两对称轴垂直的轴对称变换之积,并用代数法加以证明。在三维空间,亦可把关于直线的轴对称变换看作过此直线的两垂直平面为对称面的关于平面的对称之积,也用代数方法加以证明。     

关于n次代数数域的整数剩余类环上的CRT

对二次域R(m~(1/2))及n次域R(θ)上的整数模M的剩余类环I_M(0)上的DFT和CRT进行研究.主要工作有:1)将二次域上DFT的诸多已知结果全面地推广到模M为任意奇数的情形.2)在推广了的情形下,对I_M(θ)上的CRT和DFT的相互关系等问题作了逐一讨论,既包括定性的也包括定量的.3)利用在二次域上讨论中所采用的方法,把关于二次域的结果逐一推广到n次域上去.     

一类Z2m环上的二次剩余码及其扩展码

利用多项式剩余类环Z2m[x]/(xp-1)上的幂等元定义了一类Z2m环上的二次剩余码,该码具有良好的对称性质,并讨论了其相应扩展码的自对偶性质.     

归纳环及归纳域

提出了归纳环的概念(即:含1且适合1阶Peano归纳公理的环),指出其意义并提出下列关于确定归纳环代数结构的问题:是否每一归纳环都与由整数环的一族剩余类环及特征数0的代数闭域所作的一个超积初等等价?首先给出了有关归纳环及归纳域的一些基本事实.然后着重在代数范围内进行讨论,得到下列的结果:每个有限次实代数数域都不是归纳域;代数整数环的每个子环都不是归纳环.还证明了很多有限次代数数域不与上述的超积初等等价.     

关于代数整数与代数数的一个注记

证明了代数数是有理数系数方阵的特征值,代数整数是整数系数方阵的特征值.由此出发,完全用线性代数与矩阵计算的方法简洁地证明了代数整数对加减法和乘法封闭,从而构成一个环(代数整数环);所有代数数对加减乘除封闭,从而构成一个域(代数数域).     

复数域的新推广及其物理意义

在数系发展的基础上,提出了一种新的发展模式：四元数推广为矩阵形式aI+bA+cB+dC,其中单位矩阵I和3个特殊矩阵A,B,C分别相应于数1和虚数单位i,j,k.它们一般组成环,但3种矩阵aI+bA,aI+cB,aI+dC及某些特殊的二阶甚至高阶矩阵可以组成域,这是一类新的超复数系.最后探讨了这种新数系可能具有的物理意义.     

拟正交变换与拟对合变换

张禾瑞、郝鈵新教授及笔者研究了欧氏空间的正交变换,对称变换,反对称变换与对合变换及其之间的联系,邹本强先生研究了反对称变换、反对合变换与正交变换之间的联系;利用内积给出了拟正交变换、拟对合变换与拟正交基的概念,研究了它们的性质及其之间的联系,推广了正交变换、对合变换、正交基的概念及张禾瑞、郝鈵新、邹本强的相关结果.     

基于反射阵的非正交函数谱分解方法

非正交函数不能利用正交积分为实现谱分解,仅有某些特殊的非正交函数可以通过积分变换实现谱分解。本文提出了反射阵的概念,揭示非正交函数谱分析的镜像对称性。任何能够建立起反射阵的元函数存在着它的逆元函数,并且任何基于该元函数的谱向量同时也存在着基于逆元函数的逆谱向量。