三角形中若干定理的推广

△ABC中，有三边a、b、c，三角A、B、C；有重心(三中线交点)，内心(三内角平分线交点)，外心(三边中垂线交点)，垂心(三条高交点)；还有三个旁心(外角平分线交点)，下面我们研究将特殊点的性质推广到一般的情形。1．垂心的性质：如图(1)，H为△ABC的垂心，连结DE、DF，则∠ADE=∠ADF。     

联想与一题多解

丰富的联想 ,能使思维富有创造性 ,使解题方法具有多样性。现举例说明。例　如图 1 ,在△ＡＢＣ中 ,∠Ｃ =90°,∠Ａ的平分线ＡＤ交ＢＣ于Ｄ。求证 :ＡＣ2ＡＤ2 =ＢＣ2ＢＤ 。联想之一 :由结论左边联想射影定理 ,因图中没有射影定理基本图形 ,于是作辅助线补全射影定理的基本图形 ;由结论右边联想辅助平行线及中点 ;由已知角平分线联想有关角平分线的基本图形。由此可产生两种证法。证法一 :如图 2 ,过点Ｃ作ＣＥ⊥ＡＤ于Ｅ交ＡＢ于Ｆ ,再过Ｅ作ＥＧ∥ＢＣ交ＡＢ于Ｇ。ＡＤ平分∠ＣＡＢ ∠ 1 =∠ 2ＡＤ ⊥ＣＥ ∠ＡＥＣ =∠ＡＥＦＡＥ =Ａ…     

关于几个特殊整数表达式的Hall因子

设d,e,f分别是a=Ⅱn（i=2）（q^i-1）,b=Ⅱn（i=2）（q^t-（-1）^i） , c= Ⅱn（i=2）（q^2i-1）的因子并且满足（a/d,d）=1,（b/e,e）=1 和 （c/f,f）=1,如此之d,e,f分别是a,b,c的Hall因子,对a,b,c的Hall因子的大小作出了估计.     

四元数环Q(R)的几点性质

设R是一个环,文〔1」引入了R上的四元数环的概念,其定义如下.令 Q(R)={ae bi e夕 d丸la,b,e,d〔R}.在O(R)中规定 (l)ae b玄 ej d北=a产e b产玄 e产j d峨当且仅当a=a,,b二b尹,e=e‘,d=d,, (2)(ae b艺 e了 d化) (a,e b,玄 e,夕 d,k) =(a a,)e (b b,)落 (e e尹)j (d d‘)k. (3)( ae b玄 ej d瓦)(a产e b尹i e产j d,k) =(aa产一bb尸一ee产一dd产)e (ab尹 ha产 ed产一de产)玄 (ae尸一ea尸 db尸一bd,)j (ad尹 da产 be尸一eb/)瓦.则在这样的加法及乘法下,O(R)作成一个环,称为环R上的四元数环.本文讨论四元数环的单位元、幂零性及交换性等重要性…     

浅谈思路分析图的运用

学习几何最大的障碍,就是学生对推理、论证的意义、方法及其格式难于掌握。教学中往往事倍功半。长期以来,教育工作者一直把几何的入门教学视为难点。争相探究教学方法,在实践中,我们试用“思路分析图”收到些效果。兹简述如下:1 用思路图培养分析推理能力。例1(见图1) 已知:AD 与 BE 交于点 C,CA=CD,CB=CE求证:AB=DE     

一类积数列方幂和

设a、b为复数,n,s,r,c,d为正整数△=c+rs,下面一类积数列方幂和直接计算公式为: 计算公式(1)是以组合数为基元的一次为项式(P=0,1,…,△),其项数至多为△+1项,系数D(△,P)是仅与a,b,s,r,c,d有关而与n无关的数,进一步将(1)化为关于n的△+1次多项式     

例谈"解析法"简化运算的解题策略

例 1　如图 ,已知梯形 ABCD中 | AB| =2 | CD| ,点 E分有向线段AC所成的比为 λ,双曲线过 C、D、E三点 ,且以 A、B为焦点 ,当 23≤ λ≤34时 ,求双曲线的离心率 e的取值范围。 ( 2 0 0 0年全国高考第 2 2题 )。解 :以 AB所在直线为 X 轴 ,AB的中垂线为 Y 轴建立坐标系Xo Y,不妨令 (不失一般性 ) | CD| =2 ,则 A、B、C、D、E的坐标分别为 A( - 2 ,0 )、B( 2 ,0 )、C( 1 ,h)、D( - 1 ,h)、E( x0 ,y0 ) ,双曲线方程为　　　　　　　　　x2b2 - y2b2 =1(其中 a2 + b2 =4,c=2 ,a>0 ,b>0 ,e=2a)即 b2 x2 - a2 y2 - a2 b2 =…     

Pedoe定理的几个推广及其应用

本文中假设△ABC与△A’B’C’的边长分别为a,b,c与a’,b’,c’;面积分别为△与△’;外接圆与内切圆半径分别为R,r与R’,r’;A,B,C与A’,B’,C’的内角平分线长分别为t_a,t_b,t_c,与(t_a)’,(t_b)’,(t_c)’,而外角平分线长分别为e_a,e_b,e_c与(e_a)’,(e_b)’,(e_c)’;α,β,γ与α’,β’,γ’分别是t_a与a,t_b与b,t_c与c及(t_a)’与a’,(t_b)’与b’,(t_c)’与c’的交角;θ,φ,ω与θ’,φ’,ω’分别是e_a与a,e_b与b,e_c与ε及(e_a)’与a’,(e_b)’与b’,(e_c)’与c’的交角;h_a,h_b,h_c与(h_a)’,(h_b)’,(h_c)’分别是a,b,c与a’,b’,c’上的高长。在△ABC中,设t_a交a于点M,BM=x,则MC=a-x,而e_a交BC的延长线于点N,     

一类ab+cd=ef(a,b,c,d,e,f∈{n,n+1,n+2})的不定方程

给出并证明了关于不定方程ab cd=ef(a,b,c,d,e,f∈｛n,n 1,n 2｝)的正整数解的几个定理,其中a,b,c,d,e,f中有三个是n,二个是n 2,一个是n 1.     

关于一个几何不等式的进一步探讨

著名学者杨学枝先生在文 (1 )中证明了由他提出的猜想设 P为△ ABC内一点 ,点 P到△ ABC三边的距离分别为 h1 ,h2 ,h3 ,△ ABC的边长分别为 a,b,c,则有 :　 1h2 h3 1h3 h1 1h1 h2≥ 1 2 (1bc 1ca 1ab)　 1等号当且仅当△ ABC为正三角形且点 P为其中心时成立 .文 (2 )将 1式加强为设 P为△ ABC内一点 ,∠ BPC,∠ CPA,∠ BPA的角平分线分别交 BC,CA,AB于点 D,E,F ,记 PD =w1 ,PE =w2 ,PF =w3 ,BC =a,CA =b,AB =c,则有1w2 w3 1w3 w1 1w1 w2≥ 1 2 (1bc 1ca 1ab)　 2等号当且仅当△ ABC为正三角形且点 P为其中心时成立 .…     

关于x(ax+b)/2+y(cy+d)/2+z(ez+f)/2型通用和（英文）

设整数a,b,c,d,e,f满足ab≥0,cd≥0,ef≥0,a≡b (mod 2),c≡d (mod 2),e≡f (mod 2),a≥c≥e≥2,a=c时b≥d,c=e时d≥f.最近作者证明了如果有序六元组(a,b,c,d,e,f)在整数环上通用(即每个n=0,1,2,…可表成x(ax+b)/2+y(cy+d)/2+z(ez+f)/2的形式,其中x,y,z为整数),则它必在我们列出的12082个有序六元组中.本文中我们明确列出那12082个有序六元组并分析这些数据,还证明了许多满足a≤10的有序六元组确在整数环上通用.     

一类距离4图的性质

利用距离正则图中交叉表等方法,对△=Г(i)中满足i=(e)△(α,β)＜d(△)的每一对顶点α,β,B(α,β)=△i 1(α)∩△1(β)≠(ф)时的距离4图进行了讨论,得到了一些结果.     

偶图的分数因子

设G=（V，E）是一个无向简单图，a和b是两个非负整数，若函数f：E→[0，1]对所有的x∈V均满足a≤∑e∈xf（e）≤6，则称，为G的一个分数[a，b]-因子。此时，若还有a=b=k，则称f为G的一个分数k-因子，文章给出了偶图有分数k-因子的一个充分必要条件，并给出一个相关结论。     

直角三角形的内接正方形的面积问题

类似于圆内接四边形 ,我们把正方形的四个顶点落在直角三角形三边上的正方形 ,称为这个直角三角形的内接正方形。直角三角形的内接正方形有以下两种情况 :如图 1,△ ABC中 ,∠ C =90°,四边形 CFED是△ ABC的一个内接正方形 ,记Rt△ ADE、Rt△ BEF的面积分别为 S1 ,S2 ,正方形 DCEF的面积为 S正 ,△ ABC的面积为 S△ ,则有 :(1) S△ =S1 +S2(2 ) S正 =2 S1 . S2证明 :由相似三角形的性质易得 S1 S△=AE2AB2 　 S2S△=BE2AB2即　　 S1S△=AEAB　 S2S△=BEAB∴ S1S△+S2S△=AE +BEAB =1∴ S△ =S1 +S2把上式两…     

用初等函数作多重节点插值的统一处理——复合插值法

<正>设△为闭区间[a,b]上的一个给定剖分: △:a=x_1     

恰有2个内度的2维Torus网络的定向图

设G是一个简单图且D是G的一个定向图.若对D中任意顶点x,d-(x)=a或b,则称G是[a,b]可实现的.主要研究了2维Torus网络中[a,b]可实现的充要条件.设H=Torus(p,k)是一个2维Torus网络,其中p和k是2个不小于3且奇偶性相同的正整数.设0≤a,b≤4,则H是[a,b]可实现的当且仅当存在非负整数s和t使得s+t=kp且as+bt=2kp.     

实质矩阵对策的一个充要条件

设A为对策值是v 的矩阵对策G的赢得矩阵 ,a ,b分别是A的最大元素和最小元素 如果A的第i行元素都是a ,那么只要局中人 1坚持用纯策略i,不论局中人 2用何策略 ,局中人 1都将获最好赢得a ,此类“对策”实质上不是真正的对策 ,故称为 1—非实质对策 类似地 ,若A的第j列元素都是b ,则称G为 2—非实质对策 1—非实质和 2—非实质对策统称为非实质对策 ;否则称实质对策 笔者证明了如下结果 :G为 1—非实质对策的充要条件是v =a .G为 2—非实质对策的充要条件是v =b .G为实质对策的充要条件是b 相似文献   

关于在π—逆半群的H~*关系

研究一类特殊的左π—逆半群S ,即满足条件RegS≤S的左π—逆半群 .证明了H —关系是左r—半素同余的充要条件是ea =eae, e∈E(S) , a∈Gr(S) ,且r(ab)q - 1 r(a)r(b) , a ,b∈S .以前的有关结果即为该结论的推论 .     

关于不定方程1+3~a=7~b+3~c

本文将证明不定方程〔‘〕 1+3。=7b+3c的整数解只能是下列两种情形之一: i)(2,1,1); 11)(a,o,a),a为任意整数. 容易看出i)与ii)都是(l)的解,下面只需证明除开i)与ii)外,整数解。 以下所说的解,均指整数解。 引理1若(a,b,。)为(1)的解,则a,b,。不能同为负数。 证明:若a(0,b(0,cO(下 1 .11十一飞沪=b,十一刁3 73于是 a,e,3一3一飞,万了-1万 一 J土a,+el由此得a,e,3一3 3a,+e,因33“‘,3a“c,均为整数,所以一与一也应为整数,由(“,7=1,这是不可能引理2若(a,b,e)为(i)的解,且a<…     

蕴含K1,4+2e的可图序列

给出整数序列π(d1,d2,…,dn)蕴含K1,4 2e可图的1个充分条件和1个充要条件,其中K1,4 2e是向完全二部图K1,4添加2条边后构成的简单图.