关于丢番图方程x^3±1=Dy^2

对于丢番图方程（１）ｘ＾３＋１＝Ｄｙ＾２和（２）ｘ＾２－１＝Ｄｙ＾２。本文用静初等方法证明了以下结果：（１）设Ｄ＝２＾α．３．ｐ或２＾α．３，ｐП１，这里ｐ、ｑ均是奇素数，ａ＝０或ｑ－５（ｍｏｄ６）（ｉ＝１，…，ｓ），ｓ＝１或２，则当ｐ∈（７，１３，３１，６１，７３，７９，９７）时方程（１）除开Ｄ＝３．５．９７仅有解（ｘ，ｙ）＝（３１４，５４３）外，无其他的正整数解，而方程（２）除开Ｄ＝３．５．９     

关于Pell方程x~2－2y~2＝1和y~2－Dz~2＝4的公解

本文证明了Ｐｅｌｌ方程ｘ２－２ｙ２＝１和ｙ２－Ｄｚ２＝４，当Ｄ＝２ｐ或２ｐｑ，其中ｐ，ｑ为互异奇素数时有唯一的非平凡解ｘ＝９９，ｙ＝７０，ｚ＝１２（Ｄ＝２ｐ且ｐ＝１７时）。     

关于丢番图方程x^2—Dy^4=1的一些注记

对于丢番图方程ｘ＾２－Ｄｙ＾４＝１（Ｄ〉０且不是平方数），本文得到了如下结论：①当Ｄ＝ｐ是素数，且ｐ≠３，１５（ｍｏｄ１６）时，方程除开Ｄ＝５有解（ｘ，ｙ）＝（９，２）外，无其他的正整数解；②当Ｄ＝ｐ是素数时，方程除开Ｄ＝３有两组解（ｘ，ｙ）＝（２，１），（７，２）外，最多有一组正整数解；③当Ｄ＝４ｐ且奇素数ｐ≠１ｍｏｄ１６）时，方程除开Ｄ＝２０有解（ｘ，ｙ）＝（１６１，６）外，无其他的正整数解；     

关于丢番图方程x~3±p~(3n)=Dy~2(Ⅱ)

对于丢番图方程ｘ３±ｐ３ｎ＝Ｄｙ２，Ｄ＞０，Ｄ无平方因子且不能被形如６ｋ＋１的素数整除，作者对素数ｐ≡７，±１（ｍｏｄ１２）三种情况进行了讨论，得到一系列较好的结果．     

关于丢番图方程x^3±125=Dy^2

给出了方程ｘ＾３±１２５＝Ｄｙ＾２的全部非平凡整数解，其中Ｄ〉０，无平方因子，且不能被３或６ｌ＋１型的素数整除。     

关于丢番图方程x￣3±125＝Dy￣2

给出了方程ｘ￣３±１２５＝Ｄｙ￣２的全部非平凡整数解．其中Ｄ＞０，无平方因子，且不能被３或６ｌ＋１型的素数整除．     

关于一类丢番图方程x^3±（5^k）^3=Dy^2

给出了一类不定方程ｘ＾３±（５＾ｋ）＾３＝Ｄｙ＾２的全部非平凡整数解。其中Ｄ〉０，无平方因子，且不能被３或６ｌ＋１型的素数整除。     

关于不定方程x^4—pqy^2=1

设ｐ、ｑ是不同的奇素数，ｐ≡３（ｍｏｄ４），本文证明了当ｑ＝５或１３时，不定方程ｘ＾４－ｐｑｙ＾２＝１仅在ｐ＝３时有正整数解，其唯一的正整数解为（ｘ，ｙ）＝（２，１）或（ｘ，ｙ）＝（５，４）。根据此结果和已有的大量结果可以确定不定方程ｘ＾４－Ｄｙ＾２＝１在１〈Ｄ〈１００的范围之内的全部正整数解。     

关于丢番图方程x~3±729＝Dy~2

给出了方程ｘ３±７２９＝Ｄｙ２的全部非平凡整数解。其中Ｄ＞０，无平方因子，且不能被６ｋ＋１型的素数整除。     

关于几个丢番图方程

本文证明了丢番图方程ｚ＾４－ｐｙ＾４＝及ｘ＾２－ｐｙ＾４＝４（ｐ为奇素数）无正整数解；在Ｄ〉０且不被１０Ｋ＋１形素因数整阶时，方程ｘ＾５－１＝Ｄｙ＾２在ｘ≠（ｍｏｄ２０）时反有正整数解Ｄ＝２，ｚ＝３，ｙ＝１１。     

关于丢番图方程x4±y4=zp

研究了丢番图方程（１）ｘ４＋ｙ４＝ｚｐ,（ｘ,ｙ）＝１和（２）ｘ４－ｙ４＝ｚｐ,（ｘ,ｙ）＝１的正整数解,证明了：①当ｐ＝３时,方程（１）和方程（２）均无正整数解;②当ｐ＞３是素数,ｐ±１（ｍｏｄ８）时,方程（１）的正整数解满足２ｐ｜ｘ或２ｐ｜ｙ;③当ｐ＞３是素数时,方程（２）的正整数解满足２ｐ｜ｘ或２ｐ｜ｙ或２ｐ｜ｚ．     

元素的阶除一些素数外连续的有限群

有限群Ｇ称为ＯＣ_ｎｐ－群，如果元素阶的集合πｅ（Ｇ）＝｛１，２，…，ｎ，ｐ１，ｐ２，…，ｐｓ｝．其中ｎ＋１＜ｐ１＜ｐ２＜…＜ｐｓ．ｐｉ是素数（ｉ＝１，２，…，ｓ）．ｎ为自然数．证明了ＯＣｎｐ－群的完全分类定理定理设Ｇ是ＯＣｎｐ－群，ｓ≥１，则１≤ｎ≤５或ｎ＝８，且ｓ≤２．进一步：Ⅰ．如果１≤ｎ≤２，则Ｇ是质元群且可解．Ⅱ．如果：ｎ＝３，４，５，８，则Ｇ是单群且ｎ＝３时，ｎ＝４时，ｎ＝５时，ｎ＝８时，     

组合和∑／k≡r（mod m）{nk}及其数论应用（Ⅲ）

设ｐ为大于５的素数，本文利用组合和给出Ｆｐ－（５／ｐ）／ｐ，ｕｐ－（２／ｐ）／ｐ与Ｆ（ｐ）／ｐｍｏｄｐ的基本结果，这时｛Ｆｎ｛，｛Ｕｎ｝，｛Ｆ（ｎ）｝是如下定义的递推序列：Ｆ０＝０，Ｆ１＝１，Ｆｎ＋１＝Ｆｎ＋Ｆｎ－１ｕ０＝０，ｕ１＝１，ｕｎ＋１＝２ｕｎ＋ｕｎ－１（ｎ＝１，２，３，…）Ｆ（０）＝１，Ｆ（１）＝０，Ｆ（２）＝２，Ｆ（ｎ＋２）＝３Ｆ（ｎ）－Ｆ（ｎ－１）。作为组合和理论的另一应用，我们还对     

复合数论函数s￠（n）与n的关系

本文讨论复合数论函数ｓφ（ｎ）＝ｓ（φ（ｎ））的性质。这里ｓ（ｎ）是因数和函数，φ（ｎ）是欧拉函数。证明了（ｐｉ是不同的奇素数，ｋ＝１，２，３），并猜想上述不等式对任何整数ｋ≥１都成立。如果此猜想正确，则ｓφ（ｎ）≥ｎ对任何奇数ｎ都成立。本文还求得数论方程ｓφ（ｎ）＝ｎ的５个奇数解：Ｆ０，Ｆ０Ｆ１，Ｆ０Ｆ１Ｆ２，Ｆ０Ｆ１Ｆ２Ｆ３，Ｆ０Ｆ１Ｆ２Ｆ３Ｆ４（Ｆｉ是前５个费马素数）和２个偶数解：２２μ３，２３μ２μ５（μ２＝３，μ３＝７，μ５＝３１是前３个默森素数）。     

关于丢番图方程x^3±3^9=Dy^2

给出了方程ｘ＾３±３＾９＝Ｄｙ＾２的全部非平凡整解数，其中Ｄ〈０，无平方因子，且不能被６ｋ＋１型的素数整除。     

关于方程x^2—D=p^n的解数

设Ｄ为正整数，ｐ为适合ｐＤ的奇素数．作者用Ｂａｋｅｒ有效方法证明了：若（Ｄ，ｐ）≠（ｐｍ－ε４ａ）２－ｐｍ，４ａ２＋ｍ，４ａ２＋ε），ε＝±１，且ｍａｘ（Ｄ，ｐ）≥１０３２，则方程ｘ２－Ｄ＝ｐｎ至多有三组正整数解（ｘ，ｎ）．     

关于一类丢番图方程x^3±（3^k）^3=Dy^2

给出了一类不定方程ｘ＾３±（３＾ｋ）＾３＝Ｄｙ＾２的全部非平凡整数解。其中Ｄ〉０，无平方因子，且不能被６ｌ＋１型的素数整除，ｋ≥１。     

费马数Fn=2^2^n＋1有两个素因数的充要条件

人们猜想费马数Ｆｎ＝２２ｎ＋１只有Ｆ０，Ｆ１，Ｆ２，Ｆ３，Ｆ４这５个数是素数，并且猜想费马数Ｆｎ是合数时，它的标准分解式是Ｆｎ＝ｐ１ｐ２…ｐｔ．该文给出了费马数Ｆｎ有两个素因数的充分与必要条件，这也就是给出了Ｆｎ是合数的充分条件以及Ｆｎ＝ｐ１ｐ２…ｐｔ的必要条件     

数论函数中的R—空间的性质（Ⅱ）

本文证明了如果Ｔ是一个Ｒ－空间，ｆ是一个积性函数，ｆＴ，ｆ（ｎ＋Ｂ）－ｃｆ（ｎ）∈Ｔ［ｎ］，其中Ｂ为正整数，ｃ为复常数，那么必有ｃ＝±１，而且对于任何素数ｐ皆有非负整数αｐ使ｆ（ｐαｐ＋ｒ）（ｆ（ｐαｐ））ｒ－１＝（ｆ（ｐαｐ＋１））ｒ，ｒ＝２，３，…．进一步，如果ｃ＝１或ｐ≠２，则有ｐαｐ｜Ｂ，而当ｃ＝－１时２α２｜２Ｂ，推广了以前的结果     

Erd■s一个猜想的注记

当ｋ≥２，２ｋｎ＋１＝ｑｈ，ｑ≡－１（ｍｏｄ２ｋ），丢番图方程４／ｎ＝ｘ－１十ｙ－１＋ｚ－１有正整数解；当方程中ｎ换以素数Ｐ，则Ｐ存疑的条件是Ｌｅｇｅｎｄｒｅ符号有（Ｐ／３）＝（Ｐ／５）＝（Ｐ／７）＝（Ｐ／１１）＝（Ｐ／１３）＝（Ｐ／１７）＝１．