定义在多重互素GCD封闭集上Smith矩阵行列式的整除性

设f为算术函数,S={x_1,x_2,…,x_n}是由n个不同的正整数构成的集合.用(f(S))=(f(x_i,x_j)(1≤i,j≤n)表示一个n阶方阵,其i行j列处的元素为f在x_i和x_j的最大公因子(x_i,x_j)处的取值.用(f[S])=(f[x_i,x_j])(1≤i,j≤n)表示另一个n阶方阵,其i行j列处的元素为f在x_i和x_j的最小公倍数[x_i,x_j]处的取值.设h为正整数,如果S可划分为■,其中S_i(1≤i≤h)为最大公因子封闭集,且满足1≤i≠j≤h,(lcm(S_i),lcm(S_j))=1,则称S为多重互素最大公因子封闭集.给出定义在多重互素最大公因子封闭集上Smith矩阵(f(S))与Smith矩阵(f[S])行列式之间的关系.     

含Laplace算子的拟线性方程组的前进波解

W.F.Ames在[2]中研究了流体力学的动量方程组的显式前进波解。本文讨论n维空间拟线性偏微分方程组 (?)u_i/(?)t (sum from j=1 to nu_j)(u_i/x_j)=v(sum from j=1 to n)(~2u_i)/x_j~2), i=1, …, n的情形。令 u_i=ψ_(x_i)以及ψ=F(ω), ω=t sum from j=1 to n λ_j (x_j)将偏微分方程组化为常微分方程组求解,并得出了有关常数c,c_i取不同符号时解u_i的不同表达式。     

具有“正负”变系数的时滞微分方程组

本文得到一类时滞微分程组x_i(t)+sum from j=1 to n p_(ij)(t)x_j(t-τ)-q_i(t)x_i(t-τ_0)=0 i=1,2,…,n:所有解振动的充分条件。     

用向量比较原理证明生态大系统的稳定性

对于给定的几种群Lotka—Volterra生态大系统x_i=x_i(e_i sun from j=1 to n(a_(ij)x_j)(i=1,2,…,n)(1)如果它的m个孤立于系统都具有Volterra 乘子D,则原生态大系统的稳定性可以由一个较低维的线性定常系统的稳定性得到.     

三角化图的团划分数

在本文,我们证明了下述结果:(1)如果G=(V,E)是72个顶点的三角化图,则K(G)=α(G)≤cc(G)≤cp(G),cc(G)≤n-1,其中图G顶点独立数为α(G),它可在O(|V|+|E|)时间内求出;(2)如果G=(V,E)是n个顶点的特殊三角化图,V=S∪K,具有度序列为n-1≥d_1≥d_2≥…≥d_n,若对于S中任意顶点对x_i,x_j有|Adj(x_i)∩Adj(x_i)|≤1,则α(G)≤cp(G)≤α(G)+δ,其中,m=w(G)是图G的最大团的顶点个数。     

与算术函数相关联的广义GCD矩阵的行列式（英文）

设S={x_1,…,x_n}是由n个元素组成的正整数集合,f是一个算术函数.用(f(S))表示一个n×n的矩阵,其(i,j)项为∑d|x_i d∈S f(d)-∑d|(x_i,x_j)d∈S f(d),用(f(S))表示另一个n×n的矩阵,其(i,j)项为∑x∈S f(x)-∑d|x_i d∈S f(d)-∑d|x_j d∈S f(d)+∑d|(x_i,x_j)d∈S f(d).首先研究了矩阵(f(S))和(f(S))的结构,然后给出了这2个矩阵的行列式计算公式,这推广了Bege在2010年所得到的结果.     

dx_i/dt=-a_(ii)(t)f_(ii)(x_i)+sum(a_(ij)(t)f_(ij)(x_j)) from j=1(j≠i) to n 的解的全局稳定性

讨论了系统dx_i/dt=-a_(ii)(t)f_(ii)(x_i)+sum(a_(ij)(t)f_(ij)(x_j)) from j=1(j≠i) to n(i＝1,...,n),应用大系统的分解理论,得到了该系统零解全局稳定的充分条件.此条件简明扼要,容易验证,实用方便.     

关于一类条件泛函极值必要条件的证明

本文对一类条件泛函极值问题(A)(其中(x_i,y_i),i=0,1,…,n 为给定的实数点组,δ_(i9) i=0,1,…,n,s_1,S_2为已知常数)的解应满足的一个必要条件作了证明。     

一类非线性滞后型系统解的指数渐近稳定与准指数渐近稳定性

本文绘出了形如x_i(t)=sum from i=1 to n[f_(ij)(x_j(l))+g_(ij)(x_j(t-i))](i=1,2,…,n） 的滞后型系统零解指数渐近稳定的一个判定定理,并给出零解难指数渐近稳定的定义和几个判定定理。     

定义在三个互素因子链上的交错幂GCD和交错幂LCM矩阵的整除性

设S={x_1,x_2,…,x_n}是由n个不同的正整数组成的集合,并且设a为正整数.如果一个n阶矩阵的第i行j列元素定义为(-1)~(i+j)(x_i,x_j)~a,其中(x_i,x_j)_a表示S中的元素x_i与x_j的最大公因子的a次幂,则称这个矩阵((-1)~(i+j)(x_i,x_j)~a)是定义在S上的a次幂最大公因子(GCD)交错矩阵,简记为(AS~a).类似可定义a次幂最小公倍数(LCM)交错矩阵((-1)~(i+j)[x_i,x_j]~a),简记为[AS~a].在本文中,设S由三个互素的因子链构成,且1∈S.作者证明了如下结果成立:(1)若a|b,则det(AS~a)| det(AS~b),det[AS~a]| det[AS~b],det(AS~a)| det[AS~b];(2)在n阶整数矩阵环M_n(Z)中,若a|b,则(AS~a)|(AS~b),[AS~a]|[AS~b],(AS~a)|[AS~b];若ab,则(AS~a)(AS~b),[AS~a][AS~b],(AS~a)[AS~b].     

三次样条函数拟合在光度分析中的作用

1三次样条插值的基本原理本文采用以下的三次样条函数的插值公式:q_i(x)=ty_i+■y_(i-1)+△x_i[(k_(i=1)-d)t■~2-(k_i-d_i)t~2■],i=1,2,3,…,m(1)式中,△x_i=x_i-x_(i-1),t=(x-x_(i-1)j)/△x_i,■=1-t,△y_i=y_i-y_(i-1),△y_i/△x_i=d_i.x_i,y_i为已知的实验数据.三次样条函数是由(1)式所示的m个三次多项式组合而成的分段表示的函数.它适合于处理多个数据点且多弯曲的曲线问题,由(1)式可知,每一q_i(x)方程只有两个待定常教K_(i-1)和K_i.     

一些在亚贝尔群上与多项式相联系的函数方程(Ⅰ)

在亚贝尔群上得到函数方程f_3(x_1+x_2+x_3)-[f_(21)(x_1+x_2)+f_(22)(x_1+x_2)+f_(23)(x_2+x_3)]+f_(11)(x_1)+f_(12)(x_2)_f_(13)(x_3)=0和f(x_1+x_2+…+x_n)-sum from i=1 to (n-1)sum from j=2 to n f_(ij)(x_i+x_j)+sum from i=1 to n f_i(x_i)=0的一般解。     

二元函数序列微分及微分方程的解与Vandermonde行列式的关系

<正> 的特点是它可以展开为(n(n-1)/2个关于(x_i—x_j)(u≥i>j≥1)的因式的乘积,而且当x_i x_j(i j)时,这个乘积(即D)的值不为零。利用这一性质,在数学分析和微分方程中就可较直接地研究隐函数组的存在性和n阶常微分方程的几个解的线性无关性或者是利用Vandermonde行列式直接构造某些偏微分方程的解。下面分三个方面探究。     

幂GCD矩阵与幂LCM矩阵的行列式的整除性

设S={x_1,x_2,…,x_n)是由n个不同的正整数组成的集合,并设整数a≥1,如果n阶矩阵的第i行j列元素是S中元素x_i和x_j的最大公因子的a次幂(x_i,x_j)~a,则称该矩阵是定义在S上的口次幂GCD矩阵,用(S~a)表示.类似定义幂LCM矩阵[S~a].本文证明了:设S是由n个不同的正整数组成的一个最大公因子封闭集,且正整数a∣b.如果n≤3,那么det(S~a)I det[S~b];如果max{x_i)＜12,那么det(S~a)f det[S~b].x_i∈S     

关于U—统计计量渐近正态余项级数的收敛性

设x_1,…,x_n…独立,但不必同分布,h(x,y)是对称的Borel可测函数。U_n=(n/2)~(-1)。■h(x_i,x_j),在一定条件下,我们给出了U_n渐正正态余项级数收敛的充要条件,推广了[1]的结果。     

关于半线性双曲方程解的爆破问题

本文讨论半线性双曲方程u_(tt)-sum from n=(i,j=1) to n(a_(ij)(x,t)u_(x_i))_(x_j)=f(x,u)的爆破问题,并给出其初边值问题的解在有限时间内爆破的充分条件,这个结果不同于文献[1]、[2]的结果.     

一般有理插值问题:Lwner与Hankel矩阵解法

有理插值问题指的是数据列:{(x_i,Y_(ik)),i=1,…,t;k=0,…,τ_i-1},其中,x_i与Y_(ik)为复数,x_i≠x_j,■i≠j,τ_i为插值点x_i的重数.计入重点,该问题有N=■τ_i个     

Further results on generalized LCM matrices

Let S={x_1,x_2,...,x_n } be a set of n distinct positive integers and f be an arithmetic function.By(f[S])(resp.( f[S])),we denote the n*n matrix whose i,j entry is Σ[x_i,x_j]|l l∈S f(l) (resp.Σx∈Sf(x)-Σ x_i,|l l∈S f(l)-Σ x_j,|l l∈S f(l)+Σ[x_i,x_j]|l l∈S f(l)).In this paper,we first investigate the structures of the matrices ( f[S]) and( f[S]),then we give the formulae for the determinants of these matrices.These extend the results obtained by Bege in 2011.Finally,we give two examples to demonstrate the validity of our main results.     

实函数样条插值的L2逼近

我们构造一个n次样条s_n~*(x),它是一个在给定的m个不同结点上对已给实函数f∈L_(?)~2进行联合插值,满足s_n~(*~(j))(x_0 0)=f~(j)(x_0 0),s_n~(*~(j))(x_m-0)=f~(j)(x_m-0),s_n~(*~(j))(x_i)=f~(j)(x_i),j=1,2,…,m-1,j=0,1,…,v;在L_2范数下,在f的所有同样性质的插值样条当中,它又是f的最佳逼近,且得到f∈C[a,b],n→∞时,有∥s_n~*-f∥L_2→O。     

关于GCD封闭集上幂矩阵行列式之间的整除性

设a,b,n为正整数,S={x_1,…,x_n}是由n个不同正整数x_1,…,x_n构成的集合,(S^a) ([S^a])表示n×n矩阵,其中第i行第j列元为x_i和x_j的最大公因子(x_i,x_j)(最小公倍数[x_i,x_j])的a次幂.本文我们给出以下结果：若a|b,n≤3, 则det?(S^a ) |det?(S^b ), det?[S^a ]|det?[S^b ],det?(S^a)|det?[S^b];若a|b,n≥4,S是n个不同正整数构成的n-3重最大公因子闭集,则det?(S^a ) |det?(S^b ), det?[S^a ] |det?[S^b ], det?(S^a)|det?[S^b];对任意正整数n≥4,存在n-4重最大公因子闭集S,使得det?(S)?det?(S^2), det?[S]?det?[S^2],det?(S)?det?[S^2]. 我们的结果加强和推广了Hong在2003年和Chen等在2020年得到的结果.