一般代数正规类中的δ-根类

Szasz F A提出下列公开问题:求根性质R对任意环A和A的任意2个理想I1,I2满足R(I1+I2)=R(I1)+R(I2)的充分必要条件(即Szasz的问题12).利用δ-根给出了这个问题推广到一般代数正规类中的充分必要条件.       

可消理想的刻画

针对交换环R中的理想I是可消理想的定义,提出在(冯诺依曼)正则算术环中建立可消理想的一个等价刻画;通过映射φ:Lat(R)→Lat(I):对于任意的A∈Lat(R),φ(A)=I∩A,寻找环R和理想I的进一步关系,得出对于任意的0≠e∈Idem(R),存在0≠f∈Idem(I)使得Re=Rf;从而给出完全算术环中可消理想的等价条件:R是一个完全算术环且J(R)=0,那么I是一个可消理想当且仅当对于任意e∈Idem(R),存在f∈Idem(I)使得Re=Rf.     

环的几个定理的新证明和根的两个定理

谢邦杰证明了环R的上指数有限的诣零右理想必含R的上指数为2的诣零右理想;R的上指数为2的诣零右理想是R的幂零右理想的并集。Herstein证明了满足(xy—yx)~n=0的环的全部幂零元集为环的一个理想(参见文献[3])。本文给出以上两个结果和某些根的存在与结构定理的新证明。此外,本文给出一个环性质是一个根性的充分必要条件和R_n是半单纯环的一个充分条件。     

遗传根性与强半单根性

本文主要论讨遗传根性与强半单根性,解决了SZASZ书中问题14,并给出了遗传根性是强半单根性的充要条件及环分解成根理想与半单理想的直和的n个等价条件。以下均作定A是结合环,但不必有单位元,R表示根性,R根环类也同样记为R。定义1 根性R为遗传根性,如果任意R环A的任意理想仍是R环。定义2 根性R称为强半单的,如果任一R半单环的同态象仍是R半单的     

关于加群自同态不变的环的根

在文[1]中问题6提出:“哪些根性质,对于每个环A,R(A)关于加群(A,+)的任意自同态是不变的?”本文给出了刻划如此的根性质的一个充分必要条件。     

关于加群自同态不变的环的根

在文中问题6提出:“哪些根性质,对于每个环 A,R(A)关于加群(A,+)的任意自同态是不变的?”本文给出了刻划如此根性质的一个充分必要条件。     

XLC环的若干性质

给出XLC环的定义,并研究XLC环的一些性质,主要证明了如下结果:1)R是交换约化环当且仅当G3(R)是XLC环;2)若R是XLC环,则R是直接有限环;3)设I_1,I_2是R的理想,R/I_1,R/I_2是XLC环且I_1∩I_2=0,则R/I_1∩I_2是XLC环;4)设R是XLC环,若a∈R是正则元,则a是强正则元.     

遗传根和强半单根的性质

F.A..Szász所著“Radicals of rings”一书中,第一章§8给出了遗传根和强半单根的如下性质: 定理1:设A是一个环,I_1,I_2是A的理想,R是遗传根,R(A/I_1)=/I_1,i=1,2, 定理2:若R是这样的根性质,使得任意R一半单环是强R一半单环(即R一半单环的任意同态像仍是R一半单环),〔注:称这样的根性质R为强半单净则且     

n-GB环和n-NGB环

给出n-GB环和n-NGB环的概念,得到如下结论:1)当且仅当V_2(R)是2-GB环,或GT_3(R)及M_2~((1,4))(R)为2-NGB环时,R为Boolean环;2)2-NGB环为quasi-normal环;3)设I_1,I_2为R的理想,I_1∩I_2=0,则R为n-GB环当且仅当R/I_1,R/I_2为n-GB环.     

LM环

引入LM环的概念,并研究了该环的一些性质及LM环与相关环类间的关系.主要证明了如下结果:1)设R为LM环,若a∈R为正则元,则存在b∈R,使得a=ba~2;2)设I是R的约化理想,若R/I为LM环,则R是LM环;3)设I_1,I_2是R的2个理想且R/I_1,R/I_2为LM环,若I_1∩I_2=0,则R是LM环;4)设R为LM环,I是R的理想且I■N(R),则R/I为LM环.