非连通图C_(16)(r_1,0,r_2,0,…,r_8,0)∪F_(k,4)的优美标号

讨论了非连通图C16(r1,0,r2,0,…,r8,0)∪Fk,4的优美性,证明了a,k,ri(i=1,2,…,8)为任意自然数,且当r6=r7=r8=0,k=4;r7+r8=2,k=5;r8=a,r7≥4-a,k=6;r8≥6,k=7时,非连通图C16(r1,0,r2,0,…,r8,0)∪Fk,4是交错图。     

Gracefulness of disconnected graphs W(k)m∪G

文章证明了对任意自然数n≥1,P≥1,K≥1,当m1=2p+3或2p+4时,图W(k)m1U Kn,p为优美图,其中W(k)m1为由k个轮Wmi(i=1,2,…,k)的中心顶点合并后构成的连通图;当m1≥3,n≥[m1/2]时,非连通图W(k)m1∪St(n)为优美图;对任意自然数P≥1,图W(k)2p2+i∪Gpi为优美图,其中,Gpi表示p条边的i-优美图(i=1,2);对任意自然数n≥1,当m1=2n+5时,图W(k)m1∪(C3VKn)为优美图.     

非连通图Wmk∪G的优美性

文章证明了对任意自然数n≥1,p≥1,k≥1,当m1=2p+3或2p+4时,图W(k)m1∪Kn,p为优美图,其中Wm1(k)为由k个轮Wmi(i=1,2,…,k)的中心顶点合并后构成的连通图;当m1≥3,n≥[m1/2]时,非连通图Wm1(k)∪St(n)为优美图;对任意自然数p≥1,图W2p+2+i(k)∪Gip为优美图,其中,Gpi表示p条边的i-优美图(i=1,2);对任意自然数n≥1,当m1=2n+5时,图Wm1(k)∪(C3∨■)为优美图。     

非连通图(C_(n_1)⊙r_1K_1)∪(C_(n_2)⊙r_2K_1)∪P_2的优美性

讨论非连通图(Cn1⊙r1K1)∪(Cn2⊙r2K1)∪P2的优美性,证明如下结论:设n1,n2,r1,r2是任意自然数,n1≥1,n2≥1,当n1(r1+1)=n2(r2+1)或3n1(r1+1)=n2(r2+1)时,(C4n1⊙r1K1)∪(C4n2⊙r2K1)∪P2是交错图;当n1(r1+1)=n2(r2+1)或(3n1-1)(r1+1)=n2(r2+1)时,非连通图(C4n1-1⊙r1K1)∪(C4n2⊙r2K1)∪P2是优美的,其中P2是2个顶点的路,Cn是n个顶点的圈,Cm⊙rK1是圈Cm的r-冠.     

关于图n∪i=1(～P)4和n∪i=1(～P)8的优美性

棱柱图(～P)n是由2个回路v1,v2,v3,…,vn和u1,u2,u3,…,un,加上边uivi后所组成的图形.图n∪i=1(～P)4是n个(～P)4的不交并图,图n∪i=1(～P)8是n个(～P)8的不交并图,证明了2类非连通图n∪i(～P)4和n∪i=1(～P)8是优美图且是交错图.     

图Fm(△)Fn的边色数和邻强边色数

V(Fm(△)Fn)={w}∪{ui|i=1,2,…,m}∪{vij|i=1,2,…,m;j=1,2,…,n},E(Fm(△)Fn)={wui|i=1,2,…,m}∪{uivij|i=1,2,…,m,j=1,2,…,n}∪{uiui+1|i=1,2,…,m-1}∪{vijvij+1|i=1,2,…,m;j=1,2,…,n-1}对图G的一个正常的k边染法f,若e∈E(G),e=uv,{f(uw)|uw∈E(G)}≠{f(uw)|uw∈E(G)}则称f为G的一个k-邻强边染色法,k的最小值称为G的邻强边色数.本文得到了Fm(△)Fn的边色数和邻强边色数.     

关于Diophantine方程x~(d(n))+y~(φ(n))=z~(σ(n))

对于正整数n=2tpa11pa22…pakk,这里pi是奇素数,mi是正整数,i=1,2,…,k,2p1p2…pk,t是非负整数.设d(n),φ(n),σ(n)分别表示n的约数函数,Eu ler函数和约数和函数.给出了:n=2和3时,方程xd(n)+yφ(n)=zσ(n)正整数解的一般公式;并证明了ai(i=1,2,…,k)中至少有两个为奇数或存在i及奇素数p,使pi≡1(modp)且ai≡-1(modp)两种情形时,方程xd(n)+yφ(n)=zσ(n)没有正整数解.     

路和圈上的锥的D(2)-点可区别正常边染色

设G是顶点集合为V(G)=｛v0i|i=1,2,…,p｝的简单图,n是正整数, 称Mn(G)为G上的锥(或广义Mycielski图),如果 V(Mn(G))=｛v01,v02,…,v0p;v11,v12,…,v1p;…;vn1,vn2,…,vnp,w｝, E(Mn(G))=E(G)∪｛vijv(i+1)k|v0jv0k∈E(G), 1≤j, k≤p,i=0,1,…,n-1｝∪｛vnjw|1≤j≤p｝。 讨论了路和圈上的锥的D(2)-点可区别正常边染色,并给出了相应的色数。     

扇形图与匹配图的临界星图Ramsey数

对于完全图Kn和一个额外的顶点v,通过在v与Kn之间添加k条边所得出的图,记为KnK1,k.设G和H是任意的图,临界星图Ramsey数r*(G,H)定义为最小的正整数k,使得图KN-1K1,k的任意红蓝2-边着色,或者存在单色的红色子图G,或者存在单色的蓝色子图H,这里N指的是Ramsey数r(G,H).文中找到了r(Fn,mK2)的所有临界图,利用这些临界图得到了临界星图Ramsey数r*(Fn,mK2)=m+1,nm≥1,以及r*(Fn,mK2)=2 m,n≤m,这里Fn=K1+nK2是扇形图.     

一个关于{1,2,…,n}排列的猜想（英文）

我们证明了孙智伟的下述猜想:对任意不等于3的正整数n,存在{1,2,dos,n)的一个全排列(a_1,…,a_n)使得a_1=1,a_n=n,并且a_1+a_2,a_2+a_3,…,a_(n-1)+a_n,a_n+a_1都与n互素     

图K_(2n)\E(F_5)(n≥13)的点可区别边染色

对简单图G(V,E),设f是从E(G)到{1,2,…,k}的映射,k为自然数,如果f满足:1)对任意的uv,uw∈E(G),v≠w,有f(uv)≠f(uw);2)对任意的u,v∈V(G),u≠v,有C(u)≠C(v).则称f为图G的k-点可区别边染色法,而最小的k被称为点可区别边色数(其中C(u)={f(uv)|uv∈E(G)}).研究了图K2n\E(F5)(n≥13)的点可区别边色数.     

2-连通图中X-最长圈下界估计

给一个图G,XV(G),G[X]为G的X生成子图,r为正整数。定义α(X)=max｛｜S｜｝S是G[X]的顶点独立集｝,αk(X)=min｛∑ki=1d(vi)｜｛v1,v2,…,vk｝是G[X]的顶点独立集},NCk(X)=min｛｜Uki=1N(vi)｜｛v1,…,vk是G[x]的独点独立集}(k≥2)．我们得到结论;对—任意的n阶2-连通图G(n≥3),xG,且α3(X)≥n+r≥n+2,则存在一个包含X的顶点数为min｛｜X｜,[X]+NC,+2+e(n+r)(X)-α(X)}的圈,ε(i)=3〔1-3i〕-1-3i.该结论推广了H.J.Broersma在文献[1]中的结果．     

一个关于{1,2,…,n}排列的猜想

我们证明了孙智伟的下述猜想:对任意不等于3的正整数n,存在{1,2,dots,n}的一个全排列(a1,…,an)使得a1＝1,an =n,并且a1 +a2,a2+a3,…,an-1 +an,an +a1都与n互素.     

非连通图C_8(r_1,0,r_2,0,…,0)∪G的交错标号

讨论非连通图C8(r1,0,r2,0,…,0)∪G的优美性,证明当r1,r2为任意自然数、G是特征为k且缺k+3标号值的交错图(3≤k+3|E(G)|)时,非连通图C8(r1,0,r2,0,…,0)∪G存在缺标号值k+1的特征为k+5的交错标号,其中C8是具有8个顶点的圈,C8(r1,0,r2,0,…,0)是圈C8的(r1,0,r2,0,…,0)-冠.     

图F_m▽F_n的边色数和邻强边色数

V(Fm Fn)={w}∪{ui|i=1,2,…,m}∪{vij|i=1,2,…,m;j=1,2,…,n},E(Fm Fn)={wui|i=1,2,…,m}∪{uivij|i=1,2,…,m,j=1,2,…,n}∪{uiui+1|i=1,2,…,m-1}∪{vijvij+1|i=1,2,…,m;j=1,2,…,n-1}对图G的一个正常的k边染法f,若 e∈E(G),e=uv,{f(uw)|uw∈E(G)}≠{f(uw)|uw∈E(G)}则称f为G的一个k-邻强边染色法,k的最小值称为G的邻强边色数。本文得到了Fm Fn的边色数和邻强边色数。     

关于丢番图方程sum from i=1 to r a_ix_i=n的非负解的研究

运用初等方法给出了若 qi=( a1,… ,ai-1,ai 1,… ,ar) ( i=1 ,2 ,… ,r)中至少有一个大于 1 ,则当 n=∑ri=1aiqi- ∏ri=1qi- ∑ri=1ai 时 ,丢番图方程∑ri=1aixi=n无非负解。     

一类r-(d0,d1,…,dt-1)-泛圈图的结果

设r,t,j是正整数,若对每一个r+tj+i(r+tj+i≤n),n阶简单图G中长为r+tj+i的圈恰好有di个,0≤i≤t?1,其中t是di的周期数,j是t重复的次数,则称图G为r-(d0,…,dt?1)-泛圈图.主要讨论了r-(6?2μ1,6?2μ1,8?2μ1,6?2μ1)-泛圈图,r-(6?2μ1,8?2μ1,...     

星和扇上的锥的D(2)-点可区别正常边染色

设G是顶点集合为V(G)={v0i|i=1,2,…,p}的简单图,n是正整数,称Mn(G)为G上的锥(或广义Mycielski图),如果V(Mn(G))={v01,v02,…,v0p;v11,v12,…,v1p;…,vn1,vn2,…,vnp,w},E(Mn(G))=E(G)∪{vijv(i 1)k|v0jv0k∈E(G),1≤j,k≤p,i=0,1,…,n-1}∪{vnjw|1≤j≤p}.在这篇文章里,我们讨论了星和扇上的锥的D(2)-点可区别的正常边染色,并给出了相应色数.     

对偶图Kn,n+I的循环(m1,m2,…,mr)-圈分解

mi(1≤i≤r)为偶数且r∑(i=1)mi=2k(k≥1).Kn,n为偶图,I为Kn,n的一因子.证明了Kn,n+I可分解为(m1,m2,…,mr)-圈的充分必要条件为2k│n(n+1)且n为奇数.进一步,Kn,n+I可分解为循环的(m1,m2,…,mr)-圈充分必要条件为2k=n+1且n为奇数.     

非连通图12126C（r,0，r,0,？，r,0）k,4？F的优美标号

讨论了非连通图C12（r1,0,r2,0,…,r6,0）∪Fk,4的优美性,证明了a,k,ri（i=1,2,…,6）,为任意自然数,且当r5=r6=0, k=3,r6=a,r5≥2-a,k=4;r6≥4,k=5时,非连通图C12（r1,0,r2,0,…,r6,0）∪Fk,4是交错图。其中C12（r1,0,r2,0,…,r6,0）∪Fk,4表示圈C12的（r1,0,r2,0,…,r6,0）-冠,把顺序有一个公共点的k个C4的连通并图记作Fk,4。