中日方程论之比较

鼎盛于宋元时代的中算方程论在和算与清代数学中又有着新的不同发展，从和算这一角探讨中算方程论之特质与局限性，具有重要意义。该文通过对中日方程论之基础及发生机制的数理分析，比较了和算与清代方程论的不同成就及其成因，认为增乘开方法是中日方程论的基础，和算开方代数化与清代数学研究的注释性是造成中日方程论发展迥异的根本原因。     

关于“大衍术”源流的算例分析

通过分析秦九韶《数学九章》“治历演纪”题算例，证明了所谓“通其率”算法在中算史上是确实存在的。指出历家相传有一种解一次同余式的一般性算法程序，秦氏称之为大衍术，并将之规范为大衍求一术，而历家推演历元的“方程术”与大衍术在算理上是一致的。并给出了“方程术”演算程序的一种推测。     

再论《九章算术》通分术

前人把<九章算术>通分术理解为分子、分母扩大相同倍数而分数值保持不变的算法,实际上等价于现今的算法.其实<九章算术>中的通分是指用一个正整数乘以分数以化分数为整数的算法;前人对此理解有误,因此导致了前人对于<九章算术>经分术"同而通之"和少广术"通而同之"的错误理解,以及对于<九章算术>环田题密率术的校勘争论.依据对通分术新的理解,对以上问题进行了辨析,进而认为:古今通分术计算结果殊途同归是产生对通分术普遍误解的算理基础;忽视古代数学术语和算法的统一性,忽视古代数学筹算的表达形式带来的实用性、经济性的要求,以及大量的以今释古是对通分术产生误解的原因.事实上,<九章算术>通分术,在现今数学中并无与之精确对应的算法;前人对通分的误解实际上抹杀了通分术演进的历史--从<九章算术>少广术总术和分术的不一致,可以看出从先秦<算数书>到西汉<九章算术>编撰,通分术历史演进的痕迹.     

《缀术》中的“刍甍,方亭之问”初探

在分析《缉古算经》的写作目的及其具体内容的基础上,对《缀术》中的“刍甍,方亭之问”和“方邑进行之术”作了探讨,认为：前者是已知刍甍,方亭的体积及其边,高的差,求边和高的问题,因此《缀术》中有三次方程的内容,后者是解勾股形问题,类似于《缉古算经》最后６问,由此又对祖冲之的“开差幂”和“开差立”算法提出质疑,认为它们与“方邑进行之术”和“刍甍,方亭之问”无关。     

在“辩”与“不辩”之间实现自然辩证法的新发展

自20世纪90年代以来,有关自然辩证法的争辩风起云涌,大体包括称谓之辩、研究范式之辩、学科性质之辩、形态之辩、正本清源之辩等等。但是如何避免称谓之辩掩盖其他争辩,以构建正本清源之辩为牵引的争辩序列;如何避免忽略自然辩证法研究内容本身,抛弃自然辩证法对人和自然关系及科学技术发展现实的反思特性等问题;如何在争辩中坚守"不辩",即树立鲜明的旗帜、坚定明确的态度、以陈述的方式回应有关自然辩证法的种种争辩;如何在"辩"与"不辩"之中谋求自然辩证法的新发展,关键在于维持"辩"与"不辩"之间的张力,做到辩之有力,不辩有理。只有这样,我们才能在充分认识自然辩证法新发展的基础上,真正实现新发展,促进自然辩证法学科建设。     

清末民初八闽数学家陈平瑛“积较开方新术”研究

陈平瑛是清末民初福建数学家。根据新史料考证,他应生于1879年,曾先后任广州中学堂和广东高等师范学堂数学教师。文章的研究表明,陈氏明确将朱世杰招差术推广到任意高阶等差数列求和,并得到多项式的“零边积较”,相当于牛顿向前插值公式的系数。由此他构造了互逆的积较表和积较还原表,给出多项式幂和形式与差分形式互化的表格算法,并设计了各自的简捷的程序。“积较开方新术”是通过多项式方程的差分表求解方程整根的方法,是受华蘅芳积较术的启发而得到的,颇有新意,体现了传统数学在西方代数学影响下的继续发展以及传统数学近代化的复杂性。     

秦九韶"历家虽用,用而不知"解

<数书九章>所载之大衍总数术,是一项世界级的数学成就.然而在此之前,大衍总数术的发展情形并不清楚.秦九韶<数书九章>自序云:"独大衍法不载<九章>,未有能推之者.历家演法颇用之,以为方程者,误也."因此学术界粗略地认为,大衍术来自历家之方程,但又一致认为此方程并不是中国传统数学之方程.本文认为历家之方程即传统之方程,只是运算目的不同.并据此给出一种推测性解释:如果把此方程三横行布筭的最上面一横行删去,用辗转相除替代直除(两者相通),把左下角和右上角两数位置调换,并把运算之负数全改为正数(这不影响结果),那么它就是<数书九章>所载之"大衍求等术".如果再把两数做约化处理,那么它的形式与算法就和"大衍求一术"完全一样.同时,本文认为"约奇弗约偶"之奇偶即指元数的单双.提出元数约化法则,利用筭图优化历家之方程,是秦九韶之贡献.这样我们亦可了解大衍术在历算中的发展情况.另外,历家之方程在运算过程中可自然地得到一系列的渐近分数.由于这种算法既符合中国古代筹筭之过程,又无需用到比<九章筭术>更高深的数学知识,因此可以自然地解释祖冲之圆周率,以及中国历史上出现的其他大量渐近分数.     

《九章筭术》正负术“无人”辨

《九章筭术》方程章提出了正负数完整的加减法则,其大典本、杨辉本均有"正无人负之,负无人正之","正无人正之,负无人负之"等语。戴震认为"无人"讹误,将其改作"无入",汪莱、李潢曾提出异议,然而从1963年的钱校本到2004年笔者的汇校本增补版的所有版本都从戴校。实际上汪、李二君的意见是对的。人训偶,伴侣。"无人"就是"无偶"。原文不误。     

从宗教社会学新范式看科学与宗教

关于科学与宗教的关系,在中国学术界虽不乏探讨,但迄今尚未见到从宗教社会学新范式的视角探讨科学与宗教的论著。启蒙运动以来世俗化理论框架下的宗教认知一直在东、西方广为流行且影响深远,近二十年确立起来的宗教社会学新范式则揭示了一种新的宗教认知和新的宗教观。认识宗教社会学新范式对于全面、客观地理解科学与宗教、信仰与理性的关系,乃至对于科技与社会领域的研究具有深刻的启发和拓展意义。本文首先阐发了为"范式"一词重塑辉煌的思考以及相遇"新范式"的机缘之幸;继而简要介绍了宗教社会学新、旧范式的主要差异,新范式中的科学与宗教之观点;最后就新范式对于科学与宗教以及科技与社会(STS)研究可能的启示进行几点思考。     

清初三角学研究中的学术精神

清初中算家秉持正确的标准评判中西算法之优劣,悉心洞察前人成果之利弊,从而在三角学研究上取得丰富的成果,弥补、纠正了传入三角学知识的种种疏漏和讹误,促使三角学发展成为一门独立完善的数学分支,有力驳斥了当时拘守成法、空论疏学等不正学风。他们的科学研究工作彰显出"求是"、"求真"、"甘为津梁"、"嘉惠后学"的学术精神,对清初科学发展产生重大影响,犹可借鉴。     

儒家开方算法之演进——以诸家对《论语》“道千乘之国”的注疏为中心

中国传统数学源远流长,筹算开方术是其中重要的成就之一。不过,以往学术界较少关注儒家的算法传统。在两汉经学争论的背景之下,汉儒包咸、马融等对《论语》"道千乘之国"的注解隐含了一个数学问题,且未述算法。梁代皇侃《论语义疏》以切割图形进行开方,与筹算方法不同,是为儒家开方算法之兴起。之后,唐代孔颖达、贾公彦,宋代邢昺、朱熹,元代许谦,清代刘宝楠等学者继续在儒学研究中探讨发展儒家开方算法。北周甄鸾《五经筭术》以筹算开方术解"道千乘之国",唐代李淳风等注释《五经筭术》并立于学官,试图统一算法,未获成功。清中叶戴震整理古算书,给予《五经筭术》以正面评价。晚清以降,数学的专业性与独立性获得了前所未有的认可。因之,算家对"道千乘之国"的解释逐渐被接受,而儒家的算法传统则逐渐被遗忘。     

《缀术算经》:东亚数学归纳推理的典范

《缀术算经》是日本和算家建部贤弘最富创造性的一部和算著作,代表了当时日本数学发展的最高成就。文章在前人工作的基础上,从数学传播史和比较数学史的角度,将其置于整个汉字文化圈数学文化背景下,对其数学内容、思想实质与中国传统数学的关系予以深入分析,对其数学成就与建部贤弘的数学方法论予以客观公正的评价。     

秦九韶对大衍术的筭图表达——基于《数书九章》赵琦美钞本(1616)的分析

秦九韶的《数书九章》(1247)是中国数学史上的名篇,其所载的大衍总数术是一项世界级成就。然而,以往的数学史研究并未从文本表达形式的角度分析秦氏大衍术。从对最接近秦书足本的赵琦美钞本(1616)的分析看,秦氏对大衍术的表达运用了文字、筹码、筭图、连线等多种文本形式。一方面,秦氏著书的部分原因是为了参与宋廷改历。另一方面,秦氏认为数术分成内算与外算两部分,与历算、《周易》相关的大衍总数术属于内算,其核心算法大衍求一术则与传统方程术不同,应独立为一项数学内容。因此,依据"其用相通,不可歧二"的原则,秦氏有理由公开揭示大衍术。而且,由于筭图能够呈现算法的全部筹算过程,故而成为秦氏表达原先"算而不书"的大衍术的最佳工具。总之,通过分析秦九韶的著书动机、天文历算与传统数学的差异、筭图与连线的功能,我们可以全面理解秦氏记述大衍术的历史事实。     

建部贤弘对《授时历》“白道交周”问题的注解

《授时历议解》是日本江户时代关于《授时历》研究的最重要著作,是对《元史·历志》中的"授时历议"所做的详细而深入的注解。文章在前人考证的基础上进一步确认了其作者是建部贤弘,并且对该书中关于"白道交周"的注解进行解读和数理分析,认为建部贤弘在关孝和《授时发明》的基础上对"白道交周"问题做出了更为清晰和深刻的注解,创立了新方法以求其中的"极数",并且指出了白赤道差公式的构造问题。     

关孝和《天文数学杂著》初探

对关孝和<天文数学杂著>中的天文历算工作进行较为全面的研究,特别指出了"<授时历>求五星定合定积定星校正图解"中的"改正术"与<授时历经>记载大致相同;"日景实测"中的"独特算法"与和算中求圆周率术和求弧背术有密切联系;<元史>中已论及盈缩和迟疾二种不均匀改正,并且<元史>中所述内容包括了关孝和定交日和交定度算法的改正术.图解是关氏历算工作的精华.关孝和亲自观测和校验,以其独特的视角,融合中国古代的数理天文方法,进一步完善了<授时历>的历算工作,有的还有所超越,在日本开辟出新的研究领域.关氏的天文历算工作代表了日本传统历算的最高水平.     

“西医”“中医”探源

汉语本无"西医""中医"之名,自从西方医术、医药传入中国以后,情况才发生了改变。这两个名称的出现是在19世纪,"西医"见于1839年林则徐的《华事夷言》;"中医"的出现虽然晚一些,但至少在1876年也已经有了,例如,当年徐寿在《医学论》中就使用了"中医"一词。     

华蘅芳的方程论研究

通过对《诸乘方变式》、《开方别术》、《开方古义》等著作的研究，阐述了清末数学家华蘅芳（１８３３－１９０２年）在方程变换理论、整系数数值高次方程求根方法，及其对“开方作法本源”的新探索等方面所作的出色工作，从而进一步拓展了清代数学家关于方程论的研究领域。     

《考工记·弓人》“往体”、“来体”句错简校读

《考工记·弓人》可能是世上最早的制弓技术文献,其中科技术语"往体"、"来体"分别指弛弦时弓体外挠和张弦时弓体内向。传本《考工记·弓人》曰:"往体多,来体寡,谓之夹臾之属,利射侯与弋。往体寡,来体多,谓之王弓之属,利射革与质。往体、来体若一,谓之唐弓之属,利射深。"然而求证于本书《弓人》节的"析干"之道和"成规"法,他书《周礼·夏官·司弓矢》的六弓次第和沈括《梦溪笔谈·弓有六善》,以及现代射艺知识,理校后发现:"往体多,来体寡"应是"王弓之属";"往体寡,来体多"反而是"夹臾之属"。由此推测《考工记·弓人》曾经错简,理应校正为"往体多,来体寡,谓之王弓之属,利射革与质。往体寡,来体多,谓之夹臾之属,利射侯与弋。往体、来体若一,谓之唐弓之属,利射深。"     

卡尔达诺关于三次方程的特殊法则

基于对卡尔达诺关于三次方程的一般法则和《大术》第6章的命题的分析,复原了卡尔达诺关于三次方程的17条特殊法则的构造过程,由此揭示出隐藏在这些法则背后的数学思想和方法,阐明了卡尔达诺对这些法则所作的模糊暗示的意义,并指出其综合叙述方式与这些法则的构造过程并不完全一致。另外,根据对这些特殊法则的适用范围的分类讨论,认为卡尔达诺构造这些特殊法则的目的并非专为解决三次方程的不可约情形。     

论马克思“实践的自然生产力”思想

以往人们所阐释的马克思的自然生产力思想,并没有把握其真意蕴,方法论根源是:他们在理解马克思的自然生产力思想时,坚持的是旧唯物主义"从客体(或实体)理解问题"的哲学思维,而不是马克思新唯物主义的"从实践理解问题"的哲学思维。只有以马克思新唯物主义"从实践理解问题"的哲学思维去理解马克思的自然生产力思想,才能科学把握马克思"自然生产力"思想实践唯物主义的理论本性与理论意蕴。