关于正弦函数求导公式的严格证明

在以往的证明正弦函数求导公式时,多利用了重要极限公式,对正弦函数的反函数Abel积分,运用反函数的求导法则,给出正弦函数求导公式的严格证明.     

二元反函数的探讨

1 问题的提出与二元反函数的概念对称性是高等数学中很重要的性质,某曲面关于平面对称的曲面尚未看到有关的论述。在一元函数中,y=f(x)的反函数y=f~(-1)(x)的图形与y=f(x)的图形关于直线y=x对称。而对于二元函数尚没有反函数的定义,因为二元函数不能按一元函数定义反函数那种方式来定义反函数。受一元函数与其反函数的图形之间关系的启发,同时也为以后研究某曲面关于平面对称的曲面时方便,我们不妨定义二元反函数如下。     

关于推广的单调函数的反函数

本文讨论了一般单调函数的反函数的几种可能的定义,论证了它的性质及相互关系。     

对反函数教学的几点看法

在旧的中学数学教学中,没有专门对反函数进行研究,只是在讲到对数函数和反三角函数时提到反函数,并把反三角函数定义为三角函数的反函数。按全日制十年制学校《中学数学教学大纲》(试行草案)编写的高中数学第一册教材,在讲指数函数与对数函数、三角函数与反三角函数之前,用一一对应和逆对应给出了反函数的定义,并研究了互为反函数的函数图象间的关系。显然,与旧教材相比,这样处理教材,对于学生认识指数函数与对数函数的关系、三角函数与反三角函数的关系是有益的。但笔者认为,仅这样仍是不够的。本文拟就反函数的教学谈几点看法,供参考。     

关于分段函数的教学

针对高等数学教学中的薄弱环节,考虑分段函数教学的有关问题,包括分段函数的定义,图像,单调性,奇偶性,反函数及复合函数等;提出了几个相关结论;并在必要时进行了举例说明.     

判定函数单调性的几种方法

本文主要阐述了判定函数单调性的几种方法。对于给出具体函数式的函数,由定义出发,先后给出了利用函数单调性的定义法、利用反函数的单调性、利用基本初等函数的单调性、利用复合函数的单调性、利用kf（x）（k≠0）的单调性、利用倒函数的单调性、利用和函数、积函数的单调性和利用导数来判断函数单调性的方法;对于未给出具体函数式的抽象函数,给出了定义法、逐层判定法及列表法。     

单调函数的反函数

对单调但非严格调的函数,给出了反函数的定义,并得到了相关命题,这些命题在概率论中非常有用。     

利用导数讨论反函数的存在性

本文利用函数的导数研究其反函数的存在性,并对导函数的不连续点进行讨论。在大部分高等数学的教科书中都有如下两个定理。定理在区间X内严格单调的函数必有反函数。     

单调增加右连续函数的反函数及其性质

对单调增加且右连续的函数F(x),在区间(inf{F(x)},sup{F(x)}上定义F(x)的反函数:F~(-1)(y)=inf{x:f(x)≥y}。本文着重讨论反函数F~(-1)(y)的一般性质,得到一些有用的结果。为今后的研究作一些必要准备。     

p次对称单叶函数的反函数及一些子族函数的系数估计

本文将 Lowner 方程应用于 p 次对称单叶函数,得到了它的反函数及某些子族函数系数的精确估计.作为推论,给出了奇次单叶函数的反函数系数的精确估计.     

复变量三角函数的两种定义及部分性质的证明

本文应用高等数学中的级数、欧拉公式等知识给出了复变量三角函数的级数定义和指数定义，并根据定义证明了正弦、余弦函数的一些常见性质与公式。     

实变量三角函数的两种代数定义及部分性质证明

本文应用高等数学中的级数、微分方程等知识给出了三角函数的两种代数定义。为确认所给定义与其几何定义相一致,还列举并根据定义证明了正弦、余弦函数的一些常见性质与公式。     

求函数值域的常用方法

在研究函数的有界性,确定平面曲线的范围,求函数的极值,以及研究反函数的定义域等问题时,都涉及到求函数的值域。现行高中教材,一般只给出函数值域的定义,没有具体列出求函数值域的方法。由于求函数值域较为复杂,无一般规率可循。因此,学生在学完函数后,对求函数值域的题目深感困惑。本文将求函数值域的一些常用方法加以归     

反函数积分的一种简易求法

不定积分是积分学的基础，本文通过变上限的定积分以及函数与其反函数关于直线y=x对称的原理，导出了反函数的积分通过原来函数的积分的简易表达方式。     

反函数求导定理的变体

首先针对函数在区间端点的单侧导数给出反函数相应单侧导数的求导公式;然后将反函数求导定理中的可导性条件"函数在某点可导且导数非零"分别换为"函数在某点可导且导数为0"与"函数在某点有无穷导数",得到反函数求导定理的各种变体.     

有反函数的函数一定单调吗？

函数的单调性是高中阶段所研究的函数的一个重要性质.学生对它熟悉,应用也多.而反函数的存在问题现行高中教材并未提及.但在高中教材中经常遇到学生问到下面的问题:什么样的函数有反函数?有反函数的函数一定单调吗?等.由于现行高中教材的内容有限,如用一一映射的观点(上海教材中没学过映射)去给学生解释,学生不易接受,太抽象.本文从有利于高中教学及学生容易接受的角度给出了一个判断反函数存在的定理:连续函数y=f(x)在某区间D上存在反函数的充要条件是它在该区间上单调,并给出了它的一个初等方法的证明。     

浅谈反函数的性质

本文通过对反函数的性质的讨论,得出了函数的一个特殊的性质,即非自反函数的自反点的存在.同时,利用这一性质指出了文[1]中性质8的错误.     

基于卷和函数的区间哥德巴赫数

“费马(Fermat)定理”的证明是引用了“它山之石,可以攻玉”的思想。本文采用正弦函数的高斯函数特征,结合Kronecher函数确立了一种新的函数来表征合数,从而得到了数素分布的确切函数。本文根据表哥德巴赫猜想定义了卷和函数,并依照素数分布的函数得到了表哥德巴赫猜想的函数形式。     

亚纯函数的周期点及其迭带的反函数奇点

早在19世纪对于函数的迭带的研究就已开始,近年来复动力系统理论的研究已经成为数学研究中一个活跃的分支,从现有的研究成果来看,亚纯函数周期点及其迭带函数的反函数的奇点是迭带理论中两个至关重要的概念。本文就是对亚纯函数的周期点及其迭带函数的反函数的奇点作进一步研究,得到的结论可以用来判断亚纯函数的中性周期点和吸性周期点的存在性。     

复数域上的正弦函数和余弦函数的推广

由复数域上的正弦函数和余弦函数所具有的性质,如三角恒等式、和角公式以及复数域上的欧拉公式推出本文(1)中所定义的三个函数F1(z)、F2(z)、F3(z)也具有以上性质;且导出这三个函数是复数域上三维向量空间的三个线性无关向量。