关于图的负对控制数的界

设D真包含V是图G=(V，E)的任意一个对控制集。如果一个函数f：V→{-1，0，1}满足条件：(1)对任意点u∈D，有f(v)=1，对任意点v-D，有f(v)≤0；(2)对任意点v∈V，均有f(N[v])≥1；则称函数f为图G的负对控制函数。负对控制函数f的重量f(V)是v中所有点的函数值之和，图G的负对控制数γp^-(G)=min{f(V)|f是图G的负对控制函数}.本文研究了图的负对控制数的界。     

几类图的负对控制数

设D V是图G=(V,E)的任意一个对控制集,如果一个函数f:V→{-1,0,1}满足条件1)对任意点v∈D,有f(v)=1,对任意点v∈V-D,有f(v)≤0,2)对任意点v∈V,均有f(N[v])≥1,则称函数f为图G的负对控制函数。负对控制函数f的重量f(V)是V中所有点的函数值之和,图G的负对控制数γp-(G)=min{f(V)|f是图G的负对控制函数}。本文研究一些图的负对控制数。     

图中控制数的有关结论

令G=(V,E)是一个图,点集S V,如果满足N[S]=V(G)(或N(S)=y(G)),则称点集S是一个控制集(或伞控制集).一个连通图G如果满足:对任何不相邻于一次点的v点,G-v的全控制数小于G的全控制数,则称图G是一个γt-临界图.给出连了通无爪3-正则图G的控制数满足γ(G)≤3-n.同时找到一个直径是2的4-γt-临界图.     

一些特定图类的严格强控制数

设图G＝(V,E),对于函数f:V→{-1,1},记f的权重f(V)＝∑v∈Vf(v),对v∈V,记f[v]＝∑u∈N[v]f(u).图G的严格强控制函数是f:V→{-1,1}使得对V中多于一半的顶点v有f[v]≥1,图G的严格强控制数是G的所有严格强控制函数的量小权重,且用smaj(G)表示.本文决定了一些特定图类的严格强控制数.     

两类联图的符号控制数

设图G=(V,E)为一个图,一个双值函数f:V→{1,-1},若S?V,则记f(S)=Σ_(v∈s) f(v).如果对任意的顶点v∈V,均有f(N[v])≥1成立,则称f为图G的一个符号控制函数.图G的符号控制数定义为γ_S(G)=min{f(V) f是图G的一个符号控制函数}.联图G=■∨H是空图■的每个顶点都与图H的每个顶点相连接而成的图.本文主要利用讨论图中-1顶点个数的方法得到下界和用标号法得到上界,从而确定两类联图的符号控制数的精确值,即确定了γ_S(■∨Kn)和γ_S(■∨W_(1·n)).     

n-C4的全符号控制数

G=(V,E)是有限简单连通图,用V(G)和E(G)分别表示G的顶点集和边集.f是一个从V(G)∪E(G)→{-1,1｝的函数.f的权重定义为w(f)=∑x∈V(G)∪E(G)f(x).图G的全符号控制函数f:V(G)∪E(G)→{-1,1}是一个对所有的x∈V(G)∪E(G),都满足f[x]≥1的函数,其中f[x]=∑y∈NT[x]f(y).G的全符号控制数γ*s(G)定义为γ*s(G)=min{w(f)│f是G的全符号控制函数｝.Cm表示m个顶点的圈,n-Cm表示恰有一条公共边的n个Cm的拷贝.本文给出了n-C4的全符号控制数.     

图的反符号边全K-控制数

设G=(V,E)是一个图,一个函数f:E→{-1,+1}如果∑e′∈N(e)f(e′)≤0对于至少k条边e∈E成立,则称f为图G的一个反符号边全k控制函数。一个图G的反符号边全k控制数定义为γkst(G)=max{∑e∈Ef(e)|f为图G的反符边全k控制函数}。本文主要给出了连通图G的反符号边全k控制数γkst(G)的若干上限。     

关于图的减控制数

图G=（V，E），一个函数f：V（G）→{-1，0，1}称为G的减控制函数当且仅当对任意v∈V有∑u∈N[V]f （u）≥1．令f（V）=∑v∈Vf（v）为f的权．图G的减控制数γ^-（G）=min{f（V）│f是一个减控制函数}．建立了几类特殊图的减控制数的值，并对一般图讨论了γ^-（G）的界．     

一些卡方积图的符号星控制数

设G=(V,E)是一个没有孤立顶点的图,如果一个函数f:E→{+1,-1},对一切v∈V(G)满足∑e∈E(v)f(e)≥1成立,则称f为图G的一个符号星控制函数。图G的符号星控制数定义为γ’ss(G)=min{∑e∈E(v)f(e)∣f为G的符号星控制函数}。在图的符号星控制概念的基础上,确定了两类特殊图的符号星控制数。     

完全多部图的符号罗马控制数

设图G=(V,E)是一个简单无向图,若实值函数f:V→{-1,1,2}满足以下两个条件:(i)对于任意v∈V,均有∑_(u∈N[v])f(u)≥1成立;(ii)任意v∈V,若f(v)=-1,则存在一个与v相邻的顶点u∈V,满足f(u)=2,则称该函数为图G的符号罗马控制函数.定义图的符号罗马控制数为γSR(G)=min{f(V)f是图G的符号罗马控制函数}.通过对完全多部图中的顶点数进行分类,给出了当k≥3时,完全多部图K(n_1,…,n_i,…,n_k)的符号罗马控制数的准确值.     

阶Cayley 图的反符号星控制数

设G(V, E)是一个没有孤立顶点的图,如果一个函数 f : E { 1,1}满足 f ( E (v )) 0对一切 v V (G )均成立,则称 f 为图G 的一个反符号星控制函数,图G 的反符号星控制数定义为rss (G ) max{ f ( E ) |f为G 的反符号星控制函数}。确定了 pq(2

     

关于图的符号边控制数的一些结论

设G=（V,E）是一个非空图,一个函数f:E→{-1,1},如果满足∑e’∈N[e ]f（e’）≥1对于每一条边e∈E（G）均成立,则称f为图G的一个符号边控制函数。图G的符号边控制数记为r’_s（G）,定义为r’_s（G）=min{∑e∈E（G） f（e） | f为图G的一个符号边控制函数}。本文对图的符号边控制函数进行了研究,得到了图的符号边控制数的一个新的下界;并且确定了圆梯P₂×C_n的符号边控制数。     

pq阶Cayley图的符号星控制数

设G=(V,E)是一个没有孤立顶点的图,如果一个函数f:E→{-1,1},满足f(E(v))≥1,v∈V(G),则称f为图G的一个符号星控制函数.图G的符号星控制数定义为:γss(G)=min{f(E)|f为G的反符号星控制函数},论文确定了pq(2pq,且p、q为互异的素数)阶群Q上Cayley图X(Q,M)的符号星控制数γss(X(Q,M))=(p-1)q+1,M表示群Q的极小生成集.     

图的最小符号控制函数的充要条件

在图G=（V,E）的顶点集V上定义一个二值函数f=V→{-1,1},使对任何v∈V,f(N[v])≥1,则称f是图G的一个符号控制函数。图的符号控制函数的权重定义为f(V)=∑v∈vf(V),它的最小权重称为图的符号控制数,记为γs(G）达到最小权重的符号控制函数称为图的最小符号控制函数,本文讨论最小符号控制函数的必要条件。     

图的全负控制数

定义在图G上的一个函数f：V（G）→{1,0,1},如果在任何一点的开领域的权和至少为1,则称,是一个全负控制函数（简记为（MTDF）．对一个全负控制函数,而言,如果不存在一个全负控制函数g：V（G）→{-1,0,1},f≠g,对每个点v∈V（G）,有g（v）≤f（v）,则称,是极小的．一个MTDF f的权是指其所有点函数值的总和．图G的全负控制数是G的极小MTDF的最小权,而图G的上全负控制数是G的极小MTDF的最大权．本文主要研究这两个参数,得到它们的一些界的结论．     

K5,5,p的点可区别的IE-全染色（p≥2 028）

图G的IE-全染色f是指对?u,v∈V（G）,使得f（u）≠f（v）的一个一般全染色,其中u,v相邻,V（G）是图G的顶点集.设f是图G的IE-全染色,图G的一个顶点x在f下的色集合C（x）是指由x及x的关联边的颜色所构成的集合（非多重集）.若图G的任意两个不同顶点的色集合不同,则f称为图G的点可区别的IE-全染色（简记为VDIETC）.利用色集合事先分配法、构造染色法及反证法探讨了完全三部图K_5,5,p（p≥2028）的点可区别的IE-全染色问题,确定了K_5,5,p（p≥2028）的点可区别的IE-全色数.     

网格图的2-彩虹控制数

给定一个图G和正整数k,图的彩虹控制函数f是满足下列条件的映射f:V(G)→2{1,2,…,k},使得对某个顶点v满足f(v)=,则∪u∈N(v)f(u)={1,2,…,k},其中V(G)是图G的顶点集,N(v)表示所有与v相邻的顶点的集合.彩虹控制函数f的权定义为w(f)=∑v∈V(G)|f(v)|.图的k-彩虹控制数γrk(G)是所有彩虹控制函数的权中的最小权.研究了2-彩虹控制函数的启发式算法的网格图的构造方法,实验结果表明,基于禁忌搜索策略的模拟退火算法比传统的模拟退火算法具有较好的效果.     

完全二部图K10,n(10≤n≤90)的点可区别E-全染色

图G的一个E-全染色f是指使相邻点染以不同颜色且每条关联边与它的端点染以不同颜色的全染色。对图G的一个E-全染色f,一旦∠u,v∈V(G), u≠v,就有C(u)≠C(v),其中C(x)表示在f下点x的颜色以及与x关联的边的色所构成的集合,则f称为图G的点可区别的E-全染色,简称为VDET染色。令χ^e_vt(G)=min{k|G存在k-VDET染色},称χ^e_vt(G)为图G的点可区别E-全色数。利用分析法和反证法,讨论并给出了完全二部图K_10,n(10≤n≤90)的点可区别E-全色数。     

有向图的负控制数及其下界

设D=(V,E)为一个有向图,对于函数f:V→{-1,0,1},如果对任意的v∈V,均有f(ND-[v])≥1成立,则称f为图D的一个负控制函数,图D的负控制数γ-(D)=min{w(f)|f是D一个负控制函数}.给出几类有向图的负控制数的值,并得到一般有向图的负控制数的几个下界.     

关于几类特殊图的Mycielski图的邻点可区别全色数

设G是一个简单图,f是一个从V(G)∪ E(G)到{1,2,…,k}的映射.对每个v∈V(G),令Cf(v)={f(v)}∪{f(vw)|w∈V(G),vw∈E(G)}.如果f是G的正常全染色且u,v∈V(G),一旦uv∈E(G),就有Cf(u)≠Cf(v),那么称f为G的邻点可区别全染色(简称为k-AVDTC).设xat(G)=min{k|G存在k-AVDTC},则称xat(G)为G的邻点可区别全色数.给出了路、圈、完全图、完全二分图、星、扇和轮的Mycielski图的邻点可区别全色数.