浅谈矩阵秩的定义的教学

矩阵的秩是线性代数中一个基本的概念，它在矩阵理论和线性空间理论中占有基本的重要性。本文从Syl-vester关于矩阵秩的定义出发，结合秩的几何意义，探讨矩阵秩的定义的教学，以便学生更好地理解这一较为抽象的概念，从而提高教学效果。     

利用线性方程组证明矩阵秩的有关问题

矩阵的秩是矩阵的重要数字特征,是高等代数课程中的一个基本概念,但证明关于矩阵秩的命题是一个难点.讨论如何利用线性方程组的理论证明矩阵的秩的有关问题能更好的解决问题.     

研究性教学在高等代数教学中的应用

从《高等代数》中矩阵的秩具体案例入手,分析了矩阵的秩、行列式、线性方程组、向量组、分块矩阵等概念,挖掘出了其中的内在联系。     

关于满秩矩阵集合的两个性质

利用矩阵的奇异值分解理论,证明满秩矩阵集合是开集,并且是稠密的,进而说明了矩阵元素的扰动对矩阵秩的影响,以及满秩矩阵集合与秩亏矩阵集合的关系。     

Schur补矩阵秩的不等式性质

矩阵的秩是矩阵的主要特征之一,而矩阵的Schur补又是处理大规模矩阵的主要途径。本文在研究了实数与矩阵乘积的Schur补、共轭转置矩阵的Schur补与矩阵秩的等式关系之后,又给出了幂矩阵与Schur补矩阵之间的秩的不等式性质,从而为处理大规模的矩阵计算提供了理论支撑。     

矩阵的秩的两种常用求法之比较

矩阵理论是线性代数的主要组成部分,也是解线性方程组的理论基础。求矩阵秩是矩阵理论的一个重要内容。求矩阵秩有两种常用方法:一种是用初等变换的方法;另一种是用矩阵的子式的方法。两种方法比较,结论是:用初等变换的方法优于用子式的方法。     

矩阵秩方法在广义逆中的应用

矩阵秩方法是矩阵理论中一种独特的方法,它往往能独辟蹊径,化繁为简,在矩阵理论有着重要的地位。讨论了矩阵秩方法在广义逆中的一些简单应用。     

线性代数的教学思路——矩阵运算理论的教学思路

本文讨论非数学专业线性代数矩阵运算理论的教学思路，并且应用关系映射反演思想方法简要论述矩阵运算理论。     

Min-Algebra上矩阵的μ值

利用矩阵理论研究了一类特殊的半环-(Rmin,⊕,(×),∞)上的矩阵的秩、列秩和极大列秩之间的关系,得到了对于min-algebra上任意m×n矩阵,使这3类秩相等的最大整数,即矩阵的μ值的所有情形,扩展了已有的相关结论.     

基于矩阵列秩属性优先的概念格算法

基于矩阵列秩的理论以及概念对并运算封闭的特征,提出了一种基于矩阵列秩属性优先的概念格的生成算法.首先,将形式概念分析中数据的形式背景看成一个0-1矩阵,利用矩阵的秩定义出概念的秩.其次,通过概念的秩的定义和概念对并运算封闭的特征,对概念按秩进行分层提取.通过对形式概念分析中数据的形式背景与矩阵的某些性质之间的联系的探索以及实例的验证,表明该算法行之有效.     

一种求解低秩矩阵填充问题的新方法

低秩矩阵填充问题是目前研究的热点之一,在理论研究和算法设计方面都取得了较成熟的研究成果.在以往的算法都要对矩阵的秩采用逐步加一的方法进行更新.这种秩更新的方法确保了低秩矩阵,但是影响算法的收敛速度.推出一种割线法更新秩,从而建立更加有效的矩阵填充算法,其数值实验结果显示新方法的有效性.     

线性代数的教学思路(1)——矩阵运算理论的教学思路

本文讨论非数学专业线性代数矩阵运算理论的教学思路,并且应用关系映射反演思想方法简要论述矩阵运算理论.     

线性代数的教学思路(3)——矩阵初等变换理论的教学思路

本文给出非数学专业线性代数矩阵初等变换理论的教学思路,并且应用关系映射反演思想方法简要论述矩阵初等变换理论。     

一类四元数矩阵方程组通解复分量的极秩

【目的】在四元数体上研究矩阵方程组［AX XD］=［B E］的通解复分量极秩问题。【方法】利用四元数矩阵的复表示将原方程组转化为等价的复方程组，再通过复矩阵奇异值分解获得等价方程的通解表达式。【结果】根据分块矩阵秩的关系得到原方程组通解的复分量极秩计算公式，并在方程组无解时得到最小二乘复矩阵解的极秩公式。【结论】结果拓展了四元数体上方程组解的极秩理论并获得复分量表示通解的极秩计算方法。     

矩阵恢复的协方差矩阵估计算法

研究受高斯噪声干扰的低秩矩阵恢复。根据高斯噪声的统计性质,引入了协方差矩阵估计模型,构造出针对高斯噪声模型的低秩矩阵恢复算法。该算法基于最小化协方差矩阵核范数求解低秩矩阵,利用奇异值分解理论推导出模型的最优解。该模型结合高斯混合模型能够达到非常好的估计效果。仿真实验表明,该模型具有更快的收敛速度和更好的估计结果。     

q-循环码的生成矩阵和校验矩阵

讨论了q-循环码的生成矩阵和校验矩阵,从而可以方便地研究秩距离码的理论．     

关于矩阵多项式秩的几个恒等式

矩阵运算的秩一般以不等式的形式出现,给矩阵秩的计算和应用造成诸多不便.利用互素多项式乘积秩的恒等式以及方阵幂秩的分块矩阵表示,给出了一般矩阵多项式秩的分块矩阵表示以及在矩阵可以对角化情况下的一个恒等式.     

矩阵乘幂的秩及其指标的性质

该文给出了用初等因子求矩阵乘幂的秩及其指标的简捷方法,由此提出了矩阵乘幂的秩谱及其分界秩的概念,并初步讨论了这一秩谱的基本性质,进而又给出了已知矩阵的乘幂的秩求矩阵的初等因子及其矩阵的方法。     

线性代数中几个定理的新证法

对线性代数中关于矩阵秩的几个公式与特征多项式的性质定理给出了新的证明方法，用齐次线性方程组解空间的理论证明了矩阵秩的６个定理，利用矩阵和的行列式定理给出了矩阵Ａ的特征多项式系数及Ａ的主子式关系定理的新证法。     

基于秩极小化理论的单幅图像超分辨率复原

由于自然图像中较小的图像块具有相似性,而这些相似图像块之间具有近似低秩结构.提出了一种基于秩极小化理论和块相似性的单幅超分辨率方法.该方法首先对于每一输入低分辨率图像块在训练图像库的低分辨率图像块中寻找其相似图像块;利用这些相似块所对应的高分辨率图像块构造近似低秩矩阵,建立秩极小化的复原模型,利用增广拉格朗日乘子算法将近似低秩矩阵分解为低秩矩阵和稀疏矩阵;最后根据相似的高分辨率图像块子空间的低秩矩阵,实现图像的超分辨率复原.通过在仿真数据机上进行验证和对比表明:本方法能够取得较好的超分辨率效果.