对重要极限公式limx→∞(1+1/x)x=e的推广

limx→∞[1 1/x]^x=e是高等数学教材中，重要极限公式之一。对重要极限公式的序列形式：limx→∞[1 1/n]^n=e，一般高等数学教材中均利用二项式定理进行了证明。本文不证，本文主要是对该公式limx→∞[1 1/x]^x=e逐步进行各类型推广、延拓。推导出它的几种形式，并一一进行论证，使该公式在求函数极限过程中和在推导基本初等函数的导数公式及其它方面，充分发挥出它们的作用。     

浅谈两个重要极限的应用

文章从两个方面讨论了高等数学中两个重要极限之所以"重要"的原因:一表现在简化极限计算过程;二表现在可以用两个重要极限推导出最基本的导数公式:(sinx)'=cosx,(lnx)'=1/x,进而推导出其余的一些导数公式.     

由一个重要极限引发的问题

将是否可以用洛比达(L’Hospltal)法则求解极限limx→0 sinx/x的问题。归结为导数公式(sinx)’=cosx是否必须利用limx→0 sinx/x=1这一结果才能得到.给出了另一种推导三角函数导数公式的方法．     

对重要极限公式lim[1+1/x]~x=e (x→∞)

limx→∞1 1xx=e是高等数学教材中,重要极限公式之一.对重要极限公式的序列形式:limx→∞1 1nn=e,一般高等数学教材中均利用二项式定理进行了证明.本文不证.本文主要是对该公式limx→∞1 1xx=e逐步进行各类型推广、延拓.推导出它的几种形式,并一一进行论证,使该公式在求函数极限过程中和在推导基本初等函数的导数公式及其它方面,充分发挥出它们的作用.     

一类三阶线性微分方程特解的表达式

利用比较系数法,推导出三阶实常系数线性非齐次微分方程y" py" qy' ry=(a0 a1x a2x2)cosλx及y" py" qy' ry=(a0 a1x a2x2)sinλx的特解的一般公式,本文的公式对于求解这类微分方程的特解及通解都有着十分重要的作用.     

一重要极限的另证

利用概率论、质心公式等知识给出了重要极限li mx→0(sinx/x)=1的不同于教科书上的证明方法,以开阔学生视野,掌握不同的教学思想方法。     

一类二阶常系数微分方程的特解

利用比较系数法,推导出二阶常系数微分方程y″ py′ qy=(a0 a1x)sinλx的特解的一般公式,相信在求此类微分方程的特解中有着重要的作用.     

一类三阶常微分方程的特解公式

利用比较系数法,推导出三阶常系数微分方程y"' py" qy' ry=(a0 a1x a2x2)eλx的特解的一般公式.利用这个公式可直接得到此类微分方程的特解.     

e~x导数公式的推导及简单应用

本文利用极限的基本知识、复合函数求导法则,在高职高专学生的知识范围内推导出指数函数的求导公式。     

球的体积公式的推导方法

球的体积公式在球的表面积、圆心、球的质量计算等方面都有很大的作用,为此,利用祖暅原理、数列极限、旋转体的体积公式、平面极坐标变换、柱面坐标变换、球面坐标变换等六种方法对球的体积公式进行推导。     

新型板桁架组合梁承载力分析

为研究新型板桁架组合梁的承载力与挠度设计方法,基于简化塑性理论推导出了组合梁极限承载力计算公式。利用有限元软件对混凝土强度、混凝土板厚度、混凝土板宽、压成型钢板厚度、下弦杆截面积、梁高等设计参数进行研究,验证了承载力公式的适用性,并讨论不同参数对于极限承载力的影响。将板桁架组合梁挠度等效为空腹虚拟梁的弯剪变形挠度和虚拟桁架梁剪切变形挠度,在虚功原理基础上推导出挠度计算公式,并利用有限元方法与挠度计算公式进行对比分析,结果表明：极限承载力计算公式、挠度公式与有限元实测值拟合程度良好,验证了公式的准确性与适用性;混凝土板宽度、混凝土强度、梁高、下弦杆截面积、混凝土板厚度对极限承载力影响较大,各参数增加一倍,板桁架组合梁极限承载力分别提高28%、32.7%、35%、41.4%、47.6%;压成型钢板厚度对极限承载力影响几乎忽略不计。     

复合函数极限的运算法则探究

为对复合函数极限的运算法则进行推广，本文探完了复合函数极限运算在什么条件下可使用公式lim↑x→x0/[ψ（x）]=/[lim↑x→x0ψ（x）]。     

用全塑性分析法求双向板的极限荷载

双向板按全塑性分析求极限荷载,是钢筋混凝土结构教学中的一项重要内容.通常是按虚功法或板块极限平衡法推导极限荷载公式.虚功法是常用的方法.该方法的关键步骤是求各塑性铰线极限弯矩在假定虚位移下所作的内功,其中对于板缺的相对转角有多种求法.本文通过求斜铰线相邻扳块的相对转角来求斜铰线极限弯矩在给定虚位移下作的内功,使极限荷载公式的推导思路清晰、易于理解.     

考虑中间主应力影响时条形地基极限承载力公式

基于Mohr-Coulomb理论的地基极限承载力公式，没有考虑中间主应力的影响．利用双剪强度理论建立了考虑中间主应力影响时的地基极限承载力公式．推导了凝聚力和基础两侧土的超载影响及自重作用影响的理论公式．以条形基础为例，计算了考虑中间主应力对地基极限承载力的影响．研究结果表明，考虑中间主应力影响，地基极限承载力将提高．     

Lagrange型余项中θ极限问题的进一步研究

利用Taylor公式对Lagrange及Taylor中值定理中Lagrange型余项的θ极限问题进行了定量研究.通过对f(x)在x=x0点的某个邻域内低阶可导情形的研究推广到n阶连续可导的情形,进而得到一般性的结论.     

利用统一强度理论求解条形地基极限承载力

基于Mohr—Coulomb理论的地基极限承载力公式，没有考虑中间主应力的影响，因而与实际结果有误差。为此，利用统一强度理论，结合滑移线场理论，建立了考虑中间主应力时的地基极限承载力的统一解形式，推导了凝聚力和基础两侧土的超载影响及土重影响的极限承载力理论公式，并以条形基础为例给出了大量的算例。数值结果表明：考虑中间主应力影响时地基极限承载力将提高，利用文中解可以合理地得出不同材料的相应解，并且能充分发挥材料自身的承载能力，对实际工程具有重要意义。     

高水压条件下盾构隧道开挖面极限上限法研究

基于极限分析上限法,首次推导了高水压下维持均质土隧道开挖面稳定的最小支护压力解析解公式.并利用土层厚度加权平均法,对多层土体参数和水压力进行了简化分析,从而可将上述解析解公式应用于多层土越江隧道开挖面稳定性评价中,可为越江盾构隧道推进工程中估计前方支护压力的参考.最后,结合上海长江隧道和南京长江隧道实例,利用推导的解析解公式对越江隧道开挖面极限支护压力进行了计算,并将计算结果与前人研究和工程实际进行了对比分析.     

母函数在数列极限中的应用

根据母函数的知识推导出三种具体递推关系数列 {an}的通项公式 ,然后利用它的通项公式来解决数列 {an}相关的极限问题     

母函数在数列极限中的应用

根据母函数的知识推导出三种具体递推关系数列{an}的通项公式,然后利用它的通项公式来解决数列{an}相关的极限问题。     

两个重要极限公式求特定类型的极限的方法

本文研究了如何利用两个重要极限公式来求某些特定形式的极限。给出了应用两个重要极限公式求极限的判别条件以及具体的解题方法。