程其襄教授等应邀来校讲学

应我校学术委员会和数学系的邀请,上海师范大学数学系程其襄教授,张奠宙讲师等三位同志于一九七八年十二月十六日至二十七日来校讲学。讲学内容比较广泛,包括:关于现代分析基础的发展;连续统假设;映照、超滤器等问题;勒贝格积分的各种处理、外微分;关于数学结构;二十世纪以来数学发展的几件事;非标准分析;非标准分析数理逻辑基础;关于微分概念的刹析及其他;微积分中若干新例新证;微积分教材中若干问题;泛函分析线性算子谱论发展介绍等专题。同时,对英国中学数学教材SMP作了评介。讲学期间,还对高     

从标准分析到非标准分析看数学思想方法的重要性

本文意在阐述数学思想方法的科学价值。首先从标准分析理论基础谈起,然后介绍了非标准分析理论的建立。通过从标准分析到非标准分析的发展过程,记述了数学思想方法的科学价值。     

APOS 理论视域下极限教学的新探究

极限理论是高等数学的基础，也是学生认知的难点。认识极限思想是把握和理解极限理论的前提。通过极限理论的分析及APOS理论领引，从认知心理学角度提出了数学概念学习的操作、过程、对象、图式四个阶段。引出了代数教学中的模式直观，提出了对数列极限教学过程设计的新思路。     

谈谈数学结构~*R的现实原型——学习马克思《数学手稿》与恩格斯《自然辩证法》的一些体会

一、问题的提出无限小(大)量是实在的数吗?有没有比点还小的几何元素,换句话说,点是可分的吗?这些问题在马克思主义以前,没有一个人正确地解决过。无产阶级革命导师马克思和恩格斯分别在《数学手稿》与《自然辩证法》里运用唯物辩证法解决了这些难题。在数学界,直到二十世纪六十年代,鲁宾逊等人用数理逻辑的严谨方法得出了数学结构(?)R(国外数学界称为非标准分析),对马克思、恩格斯这一思想提供了一种数学上的描述。值得注意的是,时至今日,马克思和恩格斯这一光辉思想,还未能在数学界引起普遍的重视和应用。     

一种新数系Rgs及其微积分(Ⅱ)极限的等价性

在作者建立的新数系Ｒｇｓ的基础上，研究了该数系上的函数与极限理论。定义了Ｒｇｓ上的函数和自然扩张函数，引入了单位振荡函数的概念，并讨论了实函数的规范表示形式，以及自然扩张和转移原则。在此基础上，建立了非标准微积分的基础之一：非标准分析中的“标准部”型极限和标准分析中的“ε－δ”型极限的在自然扩张函数上的等价原理。     

非标准分析及其在谱论中的应用

“非标准分析”是60年代由美国逻辑学冢A.Robinson创立的。他和他的后继者都是以数理逻辑为基础的。但是数理逻辑最基本的结果,今天仍未成为数学系毕业生的公共知识。本文不用数理逻辑,只以一般集合论为基础。在第一节中建立了非标准实数系;在第二节中,把标准分析的极限方法和非标准分析的无穷小方法进行了比较,并且证明了它们的等价性;在第三节中,建立了具体的非标准Hilbert(希耳伯特)空间H及H上的自伴算子A,(目前未发现国内外有人这样做过。)并且只用泛函分析自伴算子谱分解知识,解决了量子力学中关于连续谱点的本征元的一个数学问题。     

非标准分析及其在谱论中的应用

“非标准分析”是60年代由美国逻辑学家A.Robinson 创立的。他和他的后继者都是以数理逻辑为基础的。但是数理逻辑最基本的结果,今天仍未成为数学系毕业生的公共知识。本文不用数理逻辑,只以一般集合论为基础。在第一节中建立了非标准实数系;在第二节中,把标准分析的极限方法和非标准分析的无穷小方法进行了比较,并且证明了它们的等价性;在第三节中,建立了具体的非标准Hilbert(希耳伯特)空间H 及H 上的自伴算子A,(目前未发现国内外有人这样做过。)并且只用泛函分析自伴算子谱分解知识,解决了量子力学中关于连续谱点的本征元的一个数学问题。     

非标准分析简论

非标准分析的创建,被视为二十世纪数学重大进展之一。从本世纪六十年代创建起就得到迅速发展,它提出了一些全新的概念和方法,现在已经开始运用于许多方面,如函数空间、概率论、流体力(?)量了(?)和理论物理等等。 非标准分析是(?)在直观无穷小量的理论基础之上的,而无穷小量的理论的创建当归于     

关于非标准分析

在微积分的创立和发展过程中,无限小量和无限小量方法起着重要的作用。长期以来,数学家和哲学家们围绕着“无限小量是什么?它们是否实在的量?实数直线上的点是否就是不可再细分的最小元素?”等问题展开争论。到十九世纪下半叶马克思和恩格斯分别在《数学手稿》和《自然辩证法》中才对这些问题给出了正确的回答。在本世纪六十年代初,数学家A.鲁宾逊利用数理逻辑的严谨方法奠定了非标准分析(这名称是相对于现在一般称做标准分析——十九世纪在极限理论基础上发展的微积分理论而取的)的基础。在这个非标准模型中,论域从一般的实数域R拓广到包含无限小量、无限大量和一般实数的域R,它既保存了无限小量又把微积分     

极限概念中的文化涵义探析

极限是高等数学中的核心概念，极限的思想方法更是整个微积分的理论和应用基础。但由于各种原因，许多大学生在学习极限概念时都会产生较大困惑，对极限概念的理解也经常流于肤浅和表面。基于数学文化观的教学，在极限概念教学中，通过回溯极限产生的历史渊源，揭示其产生发展过程中蕴藏的思想方法、思维方式、理性精神等文化内涵，不仅有利于加深大学生对极限概念的理解和应用，更可以开阔学生视野，提升大学生的数学文化素养，激发学生学习热情和创新能力。     

两个数学问题

关于两个数学问题:(ⅰ)呈0/0型函数的连续性问题;(ⅱ)中国数学家在非标准数学方面是否有过工作的问题;对前者给出探讨性结论,对后者给出考证。前者探讨性结论是:在某点呈0/0型的函数在该点有确定的值,且在该点连续,而传统观点则是:这类在某点呈0/0型的函数在该点没有确定的值,在该点不连续。后者的考证结果是:华罗庚的1nx之无穷大之阶是个非标准数——中国数学家华罗庚早在1957年就以实例证实了这类非标准数的存在,比现代非标准分析创始人A·Robinson用数理逻辑方法证明出这类非标准数存在早3年;然而华罗庚在这方面的工作在国内外数学界竟没有被正视过。     

非标准实数系*R的结构简介

非标准分析,是本世纪六十年代才创立起来的数学分支。众所周知,运用极限方法(即通常所律ε—δ方法)在实数体R上建立起来的数学分析,我们称为标准分析。而在非标准分析里引进了一种新的实数系~·R,它是原有实数系R的一个特殊的扩充。利用无穷小量方法建立在~·R上的数学分析,我们称为非标准分析。非标准分析的特点之一,是运用新实数系~·R,去研究客观现实世界中的数量关系和空间形式。~·R包含了通常的实数系(R中的数称为标准实数),同时它还包含非标准实数,其中无穷小量和无穷大量两种非标准实数特别重要。它们和标准实数比较呈现出质的差异性。~·R中的数同R中的标准实数一样,对它们能施行加,减,乘,除等运算,并且像标准实数一样,按照数的大小顺序排列在数轴上,从而形成一条“非标准的实直线”,如下图所示:     

已知递推关系数列的极限探讨

极限是高等数学的理论基础,是研究变量数学的有力工具。文章对已知递推关系的数列极限问题进行了探讨,利用递推函数的导数解决了数列单调性的判断问题。     

两个重要极限的简便证法及评析

函数是高等数学的重要组成部分,对函数主要是通过极限来研究的,而其中的2个重要极限在分析数学中经常遇见,在求解极限问题中占有很重要的地位,使初学者理解和运用极限存在的2个准则以及由它们所推导出的2个重要极限是高数学习中的一个很重要的目的。但是,教学中往往注重2个重要极限在求极限过程当中的运用,而忽略了它们本身的证明,并且现有教材给出的证明大都比较复杂,针对这一现象,为了拓展学生在数学学习中的思维,对现有教材2个重要极限的传统证明方法,给出了简单评析,指出了存在的问题。采用圆的渐开线和算术几何平均不等式理论,运用极限存在的2个准则,分别给出2个重要极限的简便证法,避免了循环证明的嫌疑,使学生易于理解和接受。     

求函数极限的方法

极限是高等数学中最基本的知识,是解决其他问题的基础。由于极限运算的题型多样,方法灵活,技巧性强。因此,本文通过一些典型例题对求函数极限的方法加以归纳、总结,以帮助初学者深刻地理解极限的概念并熟练掌握求极限的方法。     

用唯物辩证法思想讲授极限概念

本文介绍用唯物辩证法思想讲授极限概念,并分析数列极限“ε—N”和函数极限“ε—δ”定义的实质。     

利用微积分求数列极限

计算数列极限、往往不是轻而易举的事。但从计算极限的过程中,对分析问题,解决问题,多科知识的综合应用,都会得到有益的训练。面对千姿百态的数列极根,总需认真思考,探索新的方法。回头一想,不免有妙趣横生,其乐无穷之感。从未觉得此类问题已算尽求竭。 极限的思想和极限的理论,对数学及其它科学的发展,起着奠基的作用。几百年来,不少数学家为之奋斗终身,奠定了极限理论的理论基础,找出了不少求极限的微妙方法。利用微积分求极限,就是其中的一部分。本文仅就此二种方法,作一些探讨。为便于读者联系其它方法,本文在例题中,也尽量再用一种方法求解。     

用数学软件辅助微积分教学的实践与认识

本文探讨了数学软件Mathematica在微积分教学中的应用.包括用数学软件辅助理解极限、导数等数学概念,辅助理解微积分基本定理等抽象的数学定理,用数学软件直观演示函数的泰勒级数展开和傅里叶级数展开等.文中给出了数值演示、图形演示、动画演示等数学实验方法.     

“等价无穷小替换”求极限的教学思考

《高等数学》在大学非数学专业中是一门非常重要的数学类基础课程,极限的思想贯穿了整门课程,其中,等价无穷小替换是求极限的基本方法之一.该文从把握重要概念和基本原理的实质、改革教学方法和手段、对原理的应用实施分类教学、训练一题多解、解决问题抓主要方面、合理利用教学中的错误资源等几个方面进行思考,让初学者有更清晰的理解并掌握这门课程.     

一种新数系及其微积分(Ⅲ)——微分与积分

在建立的新数系Ｒｇｓ以及两种极限的等价原理的基础上，初步建立了Ｒｇｓ上的函数与自然扩张函数的某些分析理论，包括函数的连续性、微分、积分等概念的基本定理及公式。这一理论为进一步展开非标准微积分的内容提供了一个基础。最后，对非标准分析的作用与前途作了简略的分析。