关于黎曼几何若干问题

总结了完备黎曼流形上完备的无共轭点测地线所隐含的几何性质、完备非紧具非负曲率黎曼流形的几何结构、完备非紧具非负Ricci曲率黎曼流形的几何拓扑性质以及完备非紧黎曼流形上的Busemann函数所隐含的几何拓扑性质,并提出了一些未解决的问题．     

关于李启空间

本文从黎曼曲率张量Rijkl,共形曲率张量Cijkl和射影曲率张量Wijkl出发讨论了李启空间的一些几何特性。其次研究了常曲率空间、爱因斯坦空间、共形平坦空间、对称空间、及李启空间等的一些关系。最后指出P阶李启空间的概念和相应的结果。定义:若黎曼空间的李启张量满足     

黎曼流形上内蕴方式的图像轮廓提取

提出了一种基于黎曼几何观点的图像轮廓提取模型. 在图像空间上直接赋予一种由图像灰度信息导出的黎曼度量, 使之成为黎曼流形, 然后在此黎曼流形上利用水平集方法对曲线以平均曲率流进行演化. 由于灰度信息已嵌入黎曼流形中, 演化以内蕴方式进行. 计算结果表明该方法是已有模型的推广, 可对曲线演化过程进行更加精细的控制. 数值实验结果证实了该方法的有效性, 并展示了该模型的一些特点.     

一类新的齐性空间及O（n＋1）上的Einstein度量

对给定的黎曼流形(M,g),此文在其标架丛F(M)上引入可以在纤维方向伸缩的度量,并研究其Levi-Civita联络和对应的曲率．本文证明了F(M)上的典型标架场是测地向量场．在M是齐性空间时,F(M)也是齐性空间．F(M)上曲率的一般公式还被用来显式表示O(n 1)上Jensen的非标准Einstein度量．     

关于广义常曲率空间

本文以张量分析的方法，将拟常曲率空间中的几何性质推广到广义常曲率空间，讨论了广义常曲率空间的一些性质，并确定了二次黎曼对称和二次黎曼循环的广义常曲率空间的结构，从而推广了文献［８］［２］中的有关结果。     

正定矩阵流形上的Jacobi场

讨论了正定矩阵流形D(n)的几何结构.新定义其上的黎曼度量,给出了流形 D(n)上的黎曼联络和黎曼曲率张量.从微分几何的角度,研究流形 D(n)上的Jacobi场,进而考虑测地线的收敛性,并举例说明结果.      

关于子流形的几个结果

关于常曲率空间子流形的研究成果已有不少,但对于一般的黎曼流形,山于内在结构的一般性,其子流形的几何特点就不象常曲率空间子流形那样具有丰富多彩的内容.本文的目的是采用活动标架法,将常曲率空间子流形的某些结果推广到一般的黎曼子流形上.从而推广了一些作者的相应结果.     

具二次渐近非负曲率的黎曼流形

讨论了具二次渐近非负曲率完备非紧黎曼流形上的Busemann函数所隐含的几何拓扑性质。     

黎曼曲率张量在曲面论方程中的应用

文章在黎曼曲率张量的概念和性质的基础上通过论证黎曼曲率张量可以只用第一基本形式的系数来表示,从而把高斯曲率这个概念推广到比曲面更一般的二维黎曼空间中,使高斯曲率的运用范围更广.     

具非负曲率的完备非紧黎曼流形

将三维欧式空间旋转抛物面顶点的定义推广到一般的非负曲率完备非紧黎曼流形上,利用Perelman G证明Cheeger-Gromoll核心猜想的几何方法,讨论了具非负曲率的完备非紧黎曼流形M上的核心S的结构, 证明了如果由核心出发的法测地线均为射线,则或者S退化为一点,或者M=Rk×N,其中N是紧致的具非负曲率的黎曼流形.特别地,如果核心的维数仅比流形的维数低一维,可以证明其法测地线均为射线,从而有M=Rn-1×S.     

黎曼流形的抛物性与度量的共形形变

借助于黎曼流形的抛物性概念研究黎曼度量的共形形变问题, 证明了Gauss曲率小于某负常数的非紧完备2维黎曼流形其度量不可能共形形变到具有非负Gauss曲率的完备度量.     

关于黎曼空间的全测地圆子空间和保圆变换

K.Yano在黎曼空间V_x中引进了测地圆的概念,把三维欧氏空间中的圆——曲率为常数,挠率为零的曲线加以推广,将黎曼空间V_n中第一曲率为常数,第二曲率为零的曲线称为黎曼空间V_n的测地圆,并在正定度量下建立了测地圆的微分方程:     

具非负曲率完备非紧黎曼流形的闭测地线

Kingenberg证明了任意紧致黎曼流形上都存在闭测地线,Yau提出是否能够证明紧致黎曼流形上有无穷多条闭测地线.由著名的Cheeger-Gromoll的核心结构的思想,任意的具非负曲率完备非紧的黎曼流形与它的核心是同伦等价的.因此可以考虑具非负曲率完备非紧的黎曼流形闭测地线存在性和分布性问题.本文证明了当核心的余维数是奇数且具非负曲率的完备非紧的黎曼流形上存在有无穷多条闭测地线;并由此讨论了紧致的非单连通黎曼流形上无穷多的闭测地线存在性问题.     

拟常曲率空间中子流形的Casorati曲率不等式

利用黎曼流形上的最优化方法得到了拟常曲率空间中子流形的Casorati曲率不等式,推广了已有的结果。     

关于黎曼流形的分裂定理

利用分析的方法研究了完备的黎曼流形几何,推广了Cheeger和Gromoll的分裂定理,?证明了:如果M是一个完备的黎曼流形,在一个紧致?外Ricci曲率非负,则M等距于乘积N×R~k,其中N不包含测地直线,而且,R~k具标准的平坦度量。     

非奇异Hermite矩阵流形上的Jacobi场

讨论了非奇异Hermite矩阵流形H(n)的几何结构.定义其上的黎曼度量,给出了流形H(n)上的α-对偶联络和α-曲率张量.从微分几何的角度,研究流形H(n)上的Jacobi场,进而考虑测地线的收敛性,并举例说明结果.     

具有标量旗曲率的球对称Finsler度量（英文）

Finsler几何是没有二次型限制的黎曼几何,射影平坦是Finsler几何中非常重要的问题.通过对一个微分方程的研究得到了新的球对称射影平坦的Finsler度量并利用沈忠民的结果得到其旗曲率.     

同曲率曲面

§1.黎曼空間V_N的全测地曲面V_m具有这样的性質:V_m关于其上任意兩方向的黎曼曲率等于外界空間V_N关于这兩方向的黎曼曲率,特別欧氏空間E_N的全测地曲面就是平面,而且平面E_m的变形曲面V_m也具有上述性質,但它并非全测地的,从这个事实看来,我們有可能推广全测地曲面概念来研究一种特殊类型的曲面称为同     

关于爱因斯坦流形的一些注记

爱因斯坦流形是特殊的一种黎曼流形,它有很好的特征,其定义弱于常曲率黎曼流形.本文对其有关性质进行了讨论,得到了2维和n(n≥3)维爱因斯坦流形的数曲率的一些结果:ρ可能为常数和ρ为常数,以及爱因斯坦流形与常曲率黎曼流形之间的关系;3维连通的爱因斯坦流形(M,g)必为常曲率黎曼流形,它的截面曲率的几个结论;最后得到了一个关于其上非零的平行向量场的存在性定理,并且对爱因斯坦流形作了几点总结.     

Riccati方程的几何求解方法

本文首先介绍线性系统的最优控制概念,引入经典的Riccati方程. 之后,在4种不同的黎曼度量下给出正定矩阵流形上的测地距离. 最后,利用几何方法求出对应的黎曼梯度,给出了关于测地距离的求解Riccati方程的迭代公式.