矩形域上Bernstein多项式的Lipschitz常数

设ｆ（ｘ，ｙ）是定义在矩形域Ｂ：＝｛（Ｘ，ｙ）｜０≤ｘ≤１，０≤ｙ≤１｝上的任一实值函数，Ｂｍｎ（ｆ；ｘ，ｙ）是与之相应的（ｍ，ｎ）次Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ多项式．本文证明了：若ｆ（ｘ，ｙ）是Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ连续的，即ｆ（ｘ，ｙ）∈ＬｉＰＡａ，那么对所有正整数ｍ，ｎ都有Ｂｍｎ（ｆ；ｘ，ｙ）∈ＬｉｐＢａ．这里Ｂ＝Ａ且在一定意义下，常数Ｂ是最好的．上述结果被推广到了高维区域的情形．     

第二可数空间上Borel测度的支撑

定义 1[1] 　设 μ是度量空间 (Ｘ ,ｄ)上的Ｂｏｒｅｌ测度 ,定义 μ的支撑为 {ｘ∈Ｘ : ε >0 ,μ(Ｂ(ｘ ,ε) )>0 } ,其中 ,Ｂ(ｘ ,ε) ={ ｙ∈Ｘ :ｄ(ｙ ,ｘ) <ε}。定义 2 [2 ,3] 　若度量空间Ｘ具有可数基 ,则称它满足第二可数性公理 ,并称Ｘ为第二可数空间。引理[1] 　设 μ是度量空间Ｘ上的Ｂｏｒｅｌ测度 ,则 μ的支撑是Ｘ的闭子集。定理 1　设 μ是度量空间Ｘ上的Ｂｏｒｅｌ测度 ,记 μ的支撑为Ｓ。若Ｘ是第二可数的 ,则　μ(Ｘ \Ｓ) =0 .证明　 ｘ∈Ｘ \Ｓ ,由定义 , εｘ>0 ,使　μ(Ｂ ,(ｘ ,εｘ) ) =0 .设Ｇ是Ｘ的一个可数基 …     

反函数的导数定理的注记

给出反函数的导数定理的改进形式；若ｆ（ｘ），ｘ∈（ａ，ｂ）与ψ（ｙ），ｙ∈（Ａ，Ｂ）互为反函数，ｘ０∈（ａ，ｂ），ｙｐ＝（ｆ９ｘ０），ψ（ｙ）点ｙ０处可导且ψ（ｙ０）≠０，ｆ（ｘ）在点ｘ０处可导，且ｆ’（ｘ０）＝１／ψ（ｙ０），并说明，ｆ（ｘ）在点ｘ０处连续一条件不可去掉。     

二元函数的微积分基本定理

从二元函数的面导数出发定义原函数和不定积分，研究了它们的性质．证明了：（１）若ｆ（ｘ，ｆｙ）有原函数，则有一族原函数且任意两个原函数相差ｋ（ｘ，ｙ）＝Ｃ（Ｘ）＋Ｄ（ｙ）＋Ｅ，其中Ｃ（ｘ），Ｄ（ｙ）为一元函数，Ｅ为常数；（２）若ｆ（ｘ，ｙ）在闭区间［Ａ，Ｂ］Ｒ２上连续，Ｚ＝（ｘ，ｙ）∈［Ａ，Ｂ］，则Φ（ｘ，ｙ）＝ｆ（ｓ，ｔ）ｄｓｄｔ在（ｘ，ｙ）可导且Φ’ｘｙ＝ｆ（ｘ，ｙ）；（３）若ｆ（ｘ，ｙ）在［Ａ，Ｂ］上连续，Ｆ（ｘ，ｙ）为其一个原函数，则ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝Ｆ（［Ａ，Ｂ］）．     

BCI—代数的半同态与伴随半群间的关系

本文定义了ＢＣＩ－代数上的一种“半同态”映射ｆＬ（１）ｆ（ｘ＊ｙ）＝ｆ（ｘ）＊ｙ，（ｉｉ）若ｘ≤ｙ，则ｆ（ｘ）≥ｆ（ｙ），讨论了关同态映射的核与象的一些性质，给出了一定条件下ｆ∈Ｍ（ｘ）的一个充要条件。     

线性不等式组的等价问题及其下降算法

对于求解一个线性不等式组,文[1]给出了求解形如{Ａｘ=ｂ,ｘ≥0}的不等式组的新算法.本文从另一个角度给出一个下降算法,并证明其全局收敛性.研究线性不等式组(Ⅰ)Ａｘ=ｂ,ｘ≥0,Ａ∈Ｒｍ×ｎ,ｂ∈Ｒｎ,ｒａｎｋ(Ａ)=ｍ.考虑非线性规划问题(Ⅱ)ｍｉｎｆ(ｘ)=‖ｘ-｜ｘ｜‖2/4,ｓ.ｔ.Ａｘ=ｂ.|ｘ|=(|ｘ1|,…,|ｘｎ|)Ｔ.引理1[1]　(ⅰ)ｆ(ｘ)是连续可微的函数,且ｆ(ｘ)=(ｘ-｜ｘ｜)/2,并且　　　　　　　　‖ｆ(ｘ)-ｆ(ｙ)‖≤‖ｘ-ｙ‖,ｘ,ｙ∈Ｒｎ.　　　　　(ⅱ)ｆ(ｘ)≥0,ｘ∈Ｒｎ,且ｆ(Ｘ)=0当且仅当ｘ≥0.因此(Ⅰ)与(Ⅱ)等价.上接第(6)…     

Littlewood－Paley算子和Marcinkiewicz积分的一些性质

在适当条件下，若ｆ（ｘ）∈δ，则ｇ（ｆ）（ｘ）（ｓ（ｆ）（ｘ），ｇ（ｆ）（ｘ），μ（ｆ）（ｘ））＝∞，ａ．ｅ．ｘ∈Ｒ，或ｇ（ｆ）（ｘ）（ｓ（ｆ）（ｘ），ｇ（ｆ）（ｘ），μ（ｆ）（ｘ））＜∞，ａ．ｅ．ｘ∈Ｒ．在后一情形，有ｇ（ｆ）（ｘ）（ｓ（ｆ）（ｘ），ｇ（ｆ）（ｘ），μ（ｆ）（ｘ））∈δ，且‖ｇ（ｆ）‖ａ．ｐ．ｗ（‖ｓ（ｆ）‖ａ．ｐ．ｗ，‖ｇ（ｆ）‖ａ．ｐ．ｗ‖μ（ｆ）‖ａ．ｐ．ｗ）≤Ｃ‖ｆ‖ａ，ｐ．ｗ，其中Ｃ是与ｆ（ｘ）无关的常数．     

连续函数零点存在定理的新证明

传统的教科书中,在证明连续函数的零点存在定理时,都是采用区间套的方法,在此我们用确界的定义,直接证明零点存在定理,方法简单明快.零点存在定理:若ｆ(ｘ)∈Ｃ[ａ,ｂ],且ｆ(ａ)ｆ(ｂ)<0,则存在ｘ0∈(ａ,ｂ),使得ｆ(ｘ0)=0.　　证明　不妨设ｆ(ａ)>0,ｆ(ｂ)<0令β=ｓｕｐ{ｘ:ａ≤ｔ≤ｘ且ｆ(ｔ)>0},显然ａ≤β≤ｂ.因为若ｆ(ｘ)∈Ｃ[ａ,ｂ],且ｆ(ａ)>0,则ａ<β≤ｂ,且对任意的ｘ∈[α,β),ｆ(ｘ)>0,所以ｆ(β)=ｆ(β-0)≥0,又ｆ(ｂ)<0,所以ａ<β<ｂ,我们有ｆ(β)=0.事实上,若ｆ(β)>0,由于ｆ(ｘ)在β点连续,所以存在δ>0,对任意的ｘ∈(β-δ…     

一类极大算子与Cp权的关系

设Ｍｆ（ｘ，ｔ）＝ｓｕｐ１／Ｑ∫Ｑ（ｆ（ｙ）／ｄｙ，其中Ｑ为Ｒ＾ｎ中的方体，ｌ（Ｑ）为Ｑ的边长，本文考虑如上定义的极大算子与Ｃｐ权对的关系。     

A Geometric Approach to Global Stability for a Class of Predator—Prey Model

Ｗｅｃｏｎｓｉｄｅｒｔｈｅｍｏｄｅｌｉｎｎｏｎｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｆｏｒｍａｓｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ,ｗｈｉｃｈｉｓｃｏｎｃｅｒｎｅｄｉｎ [1] ｘ =ｘ(1-ｘ) - ｐ(ｘ) ｙ+ｂ∫+∞0 ｆ(ｓ) ｙ(ｔ-ｓ)ｄｓ ｙ =ｙ(δ- βｙｘ)ｘ(0 ) >0 ,ｙ(0 ) >0　　Ｗｅａｐｐｌｙａｎｏｖｅｌｍｅｔｈｏｄｆｏｒｐｒｏｖｉｎｇｔｈｅｇｌｏｂａｌｓｔａｂｉｌｉｔｙ .ＬｅｔＸ→ ｆ(Ｘ) ∈ＲｎｂｅａＣ1ｆｕｎｃｔｉｏｎｆｏｒＸｉｎａｎｏｐｅｎｓｅｔＤ Ｒｎ.Ｃｏｎｓｉｄｅｒｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎ Ｘ =ｆ(Ｘ) (1.1…     

Asymptotic Stability of Neutral Differential Equations with Unbounded Delay

ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＣｏｎｓｉｄｅｒｔｈｅｆｏｌｌｏｗｉｎｇｎｅｕｔｒａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｗｉｔｈｐｏｓｉ ｔｉｖｅａｎｄｎｅｇａｔｉｖｅｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓａｎｄｕｎｂｏｕｎｄｅｄｄｅｌａｙｄｄｔ[ｘ(ｔ) -Ｐ(ｔ)ｘ(ｈ(ｔ) ) ]+Ｑ(ｔ)ｘ(ｑ(ｔ) ) -Ｒ(ｔ)ｘ(ｒ(ｔ) ) =0 ,ｔ≥ｔ0 . (1)Ｉｔｉｓａｓｓｕｍｅｄｔｈｒｏｕｇｈｏｕｔｔｈｉｓｐａｐｅｒｔｈａｔ(ａ)Ｐ(ｔ) ∈Ｃ([ｔ0 ,∞ ) ,Ｒ) ,Ｑ(ｔ) ,Ｒ(ｔ) ∈Ｃ([ｔ0 ,∞ ) ,Ｒ+ ) .(ｂ)ｈ ,ｑ ,ｒ:[ｔ0 ,∞ )→Ｒａｒｅｃｏｎｔｉｎ…     

势型算子的双加权不等式

研究了势型算子ＴΦｆ（ｘ）＝∫Ｒｎ＾Φ（ｘ－ｙ）ｆ（ｙ）ｄｙ在ＬＶ＾ｐ（Ｒ＾ｎ）到Ｌω＾ｑ（Ｒ＾ｎ）上有界的充分条件,当１≤ｐ≤ｑ〈∞,１〈ｒ〈ｐｓ／ｐ＋ｓ－１,ｓ〉１,Φ（ｘ）是非负函数,且Φ∈Ｌｌｏｃ＾１（Ｒ＾ｎ）,Φ（ｔ）＝（∫／ｚ／≤ｔ＾Φｒ（ｚ）ｄｚ）＾１／ｒ。若对任何方体Ｑ有Φ（ｌ（Ｑ））／Ｑ／＾、／ｑ－１／ｐ＋１／ｒ（１／／ｑ／／∫Ｑ＾Ｗ＾ｑｓｄｘ）＾１／ｑｓ（１／／Ｑ／∫Ｑ＾ｖ－ｐ     

关于函数一致连续性的几个命题

给出判定函数是否一致连续的几个命题，主要有：若函数ｆ（ｘ）在区间［ａ，＋∞）上连续，且当ｘ→＋∞时，ｆ（ｘ）有渐近线ｙ＝ｋｘ＋ｂ，则ｆ（ｘ）在［ａ，十∞）上一致连续；若函数ｆ（ｘ）是［ａ，＋∞）上单调增加的可导函数，并且其图形在该区间上上凸，则ｆ（ｘ）在［ａ，＋∞）上一致连续；若函数ｆ（ｘ）在区间［ａ，＋∞）上可导，且，则ｆ（ｘ）在［ａ，＋∞）上不一致连续．     

对微分中值定理的进一步思考

Ｌａｇｒａｎｇｅ定理容易从Ｒｏｌｌｅ定理进行推广 ,而由Ｌａｇｒａｎｇｅ定理推广到Ｃａｕｃｈｙ中值定理除了文献〔1〕中的方法外还有许多不同的思路 .首先 ,我们可以利用反函数与复合函数 ,将Ｌａｇｒａｎｇｅ定理推广到Ｃａｕｃｈｙ中值定理 .为方便起见 ,先证明如下引理 :引理　若函数ｆ(ｘ)在 (ａ ,ｂ)内可导 ,且 ｘ∈ (ａ ,ｂ) ,ｆ′(ｘ)≠ 0 ,则ｆ′(ｘ)在 (ａ ,ｂ)内同号 .证明　若不然 ,则存在ｘ1 ,ｘ2 ∈ (ａ ,ｂ) ,且ｆ′(ｘ1 )·ｆ′(ｘ2 ) <0 ,不妨设ｘ1 <ｘ2 ,ｆ′(ｘ1 ) >0 ,ｆ′(ｘ2 ) <0 .∵ｌｉｍｘ→ｘ1ｆ(ｘ) -ｆ(…     

BCK—代数的注记

0　预备知识定义 1 〔1〕　设Ｘ是一个具有二元运算 及一个常元 0的集合 .如果它满足 :(Ⅰ ) (ｘ ｙ) (ｘ ｚ)≤ｚ ｙ ;(Ⅱ )ｘ (ｘ ｙ)≤ｙ ;(Ⅲ )ｘ≤ｘ;(Ⅳ ) 0≤ｘ ;(Ⅴ )ｘ≤ｙ,ｙ≤ｘ ｘ =ｙ ;(Ⅵ )ｘ≤ｙ ｘ ｙ =0则系它为一个ＢＣＫ—代数 ,简记为ＢＣＫ—代数〈Ｘ : ,0〉 .且称Ｘ为它的基础集 .引理 1 〔2〕　在ＢＣＫ—代数〈Ｘ : ,0〉中成立(ｘ ｙ) ｚ=(ｘ ｚ) ｙ其中ｘ ,ｙ ,ｚ是Ｘ中的任意三个元素 .定义 2 〔1〕　〈Ｘ : ,0〉是一个ＢＣＫ—代数 ,Ｘ中的一个二元运算∧定义为 :∧ :ｘ∧ｙ =ｙ (ｙ ｘ)若对任意ｘ…     

奇异非线性二阶泛函微分方程边值问题

研究了二阶泛函数分方程组边值问题ｙ″＋λｋ（ｘ）ｆ（ｙ（ｗ（ｘ）））＝０,０〈ｘ〈１,ｙ（ｘ）＝ζ（ｘ）,ｘ∈（ａ,０）,ｙ（ｘ）＝η（ｘ）,ｘ∈（１,ｂ）,正确的存在性,其中λ是正参数,ｗ（ｘ）是定义在（０,１）上的连续函数,ａ≤ω（ｘ）≤ｂ容许ｋ（ｘ）在（０,１）两端点具有奇性。     

交换代数中一个命题的简单证明

在交换代数中 ,经常用到如下一个命题 :“设Ａ =ｋ[ｘ1,ｘ2 ,… ,ｘｎ]为域ｋ上的多项式代数 ,则它的任一不可加细的素理想链的长度为ｎ .”本文中给出它的一个简单证明 .首先给出两个引理 .引理 1　设Ａ为域ｋ上有限生成的代数 ,Ｂ为Ａ的ｋ 子代数且Ａ在Ｂ上整 ,Ｐ1 Ｐ2 为Ｂ的两个素理想 ,Ｑ2 为Ａ的一个素理想满足Ｑ2 ∩Ｂ =Ｐ2 ,则存在Ａ的一个素理想Ｑ1,使得Ｑ1 Ｑ2 .证明　由Ｎｏｅｔｈｅｒ正规化引理 ,Ｂ有一个多项式子代数Ｒ ,Ｂ在Ｒ上整 ;所以Ｒ中有素理想链ｑ1 ｑ2 ,其中ｑｉ =Ｐｉ∩Ｒ ,ｉ=1,2 .又Ａ在Ｂ上整 ,所以由整性的传递…     

二次曲线切线方程新探

文献 [1]、[2 ]、[3]、[4 ]分别给出了直线方程ｘ0 ｘ +ｙ0 ｙ =ｒ2 ,ｘ0 ｘａ2 +ｙ0 ｙｂ2 =1,ｘ0 ｘａ2 - ｙ0 ｙｂ2 =1和ｙ0 ｙ =ｐ(ｘ +ｘ0 )的三种几何意义 .本文将它们推广到常态的二次曲线上去 .先求经过常态二次曲线Ｃ :Ｆ(ｘ ,ｙ) =ａ11ｘ2 +2ａ12 ｘｙ +ａ2 2 ｙ2 +2ａ13 ｘ+2ａ2 3 ｙ+ａ3 3 =0 (1)上的点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )的切线方程 .因为过Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )的直线总可写成ｘ =ｘ0 +Ｘｔ,ｙ =ｙ0 +Ｙｔ(2 )把 (2 )式代入 (1)式 ,并整理得到关于ｔ的方程(ａ11Ｘ2 +2ａ12 ＸＹ +ａ2 2 Ｙ2 )ｔ2 +2 [(ａ11ｘ0 +ａ12 ｙ0 +ａ13 )Ｘ +(ａ12 …     

一类拟线性微分方程组边值问题的3个正解

针对在分析非线性现象时,得到的许多数学模型仅仅是对正解有意义的问题,讨论二阶拟线性微分方程组(φｐ(ｘ′))′+ａ(ｔ)ｆ(ｔ,ｘ,ｙ)=0,(φｑ(ｙ′))′+ｂ(ｔ)ｇ(ｔ,ｘ,ｙ)=0在非线性边值条件ｘ(0)-Ｂ0(ｘ′(0))=0,ｘ′(1)=0,ｙ(0)-Ｂ1(ｙ′(0))=0,ｙ′(1)=0及ｘ′(0)=0,ｘ(1)+Ｂ0(ｘ′(1))=0,ｙ′(0)=0,ｙ(1)+Ｂ1(ｙ′(1))=0下的边值问题,其中ｆ,ｇ是非负连续的函数。利用5个泛函的不动点定理,并且赋予ｆ和ｇ一些增长条件得到至少存在3个正确的判据。     

Banach空间中常微分方程Cauchy问题的近似解与解的关系

讨论Ｂａｎａｃｈ空间中常微分方程Ｃａｕｃｈｙ问题的近似解与解的关系，得到一个Ｃａｕｃｈｙ问题的近似解与解的关系的定理：定理设ｆ＿ｎ∈Ｃ［Ｒ＿０，Ｅ］（ｎ≥１），ｆ∈Ｃ［Ｒ＿０，Ｅ］，序列｛ｆ＿ｎ｝在Ｒ＿０上一致收敛于ｆ；又设０＜α≤ａ，ｘ＿ｎ∈Ｃ￣１［［ｔ＿０，ｔ＿０＋α］，Ｂ（ｘ＿０，ｂ）］，且满足Ｃａｕｃｈｙ问题ｘ＇＿ｎ（ｔ）＝ｆ＿ｎ（ｔ，ｘ＿ｎ（ｔ））ｘ＿ｎ（ｔ＿０）＝ｚ＿ｎ其中ｔ∈［ｔ＿０，ｔ＿０，ｔ＿０＋α］，ｎ＝１，２，…，ｚ＿ｎ∈Ｅ，ｚ＿ｎ→ｘ＿０（ｎ→∞），如果ｘ＿ｎ（ｔ）在［ｔ＿０，ｔ＿０＋α］上一致收敛于ｘ（ｔ），则ｘ∈Ｃ￣１［［ｔ＿０，ｔ＿０＋α］，Ｂ（ｘ＿０，ｂ）］，且对ｔ∈［ｔ＿０，ｔ＿０＋α］，有ｘ＇（ｔ）＝ｆ（ｔ，ｘ＿ｎ（ｔ））ｘ（ｔ＿０）＝ｘ＿０