限定取正整数的定和最大积问题

我们知道,在“极大极小”问题中有一个重要定理,就是 n个正数x_1,x_2,…,x_n,其和 sum from i=1 to n(x_i)=L是一个定值,则当x_1=x_2=…=x_n=L/n时,其积multiply from i=1 to n(x_i)最大。如果限定x_1,x_2,…,x_n取正整数,结果怎样呢?就是说,n个正整数其和一定,什么时候它们的乘积最大?本文就介绍这个问题。先介绍二个符号。符号〔x〕表示不超过x的最大整数部份。例如,〔π〕=3,〔16/3〕=5,〔-2~(1/2)=-2,〔4〕=4。符号{x}表示不小于x的最小整数部份。例如,{π}=4,     

丢番图方程x2+(2n)2=y9（1≤n≤7)的整数解

在高斯整环中,利用代数数论理论和同余理论的方法研究丢番图方程x~2+(2n)~2=y~9(x,y,n∈Z,1≤n≤7)的整数解问题;首先统计了1≤n≤7时已有的证明结果,之后在n=3,5,6,7时对x分奇数和偶数情况讨论,证明了n=3,5,6,7时丢番图方程x~2+(2n)~2=y~9无整数解,即证明了丢番图方程x~2+(2n)~2=y~9(x,y,n∈Z,1≤n≤7)无整数解。     

关于MYCIELSKI方程的推广

Jan Mycielski 曾研究一类不定方程:x~xx~y=Z~z;x~xy~zZ~y=x~yy~z=z~x。本文将来上述方程推广为x_1~(x_2)x_2~(x_3)………x_k~(x_y) x_2~(x_1)=1(?),x>2,z>1,k≥3x_1~(x_1)x_2~(x_3)x_3~(x_4)………x_(k-1)~(x_(k-1))x_(k-1)~(x_k)=x_k~(x_2),x~2>1,k≥3x_1~(x2)x………x_(k-2)~(xk-1)x_(k-1)~(xk)=x_k~(x1),x_2>1,k≥3对于这些方程,我们分别地给出整数解(6-1)、(6-2);(7-1),(7-2)和(8-1),(8-2)。     

谈一个极限问题

考虑α_1=2~(1/2),α_2=2~(1/2)~(α_1),…,α_(n+1)=2~(1/2)~(α_n),…。这个序列{α_n},容易证明是单调上升的有界序列,因而有极限,记为A。对α_(n+1)=2~(1/2)~(α_n),两边取极限,即有A=2~(1/2)~A,解得A=2。但一般地,如果序列的底数不是2~(1/2),而是x>0时,能否仍有收敛性呢?其极限是什么?下面谈谈这个问题。今讨论x>0时,α_1=x,α_(n+1)=x~(α_n),n=1,2,…,所成的序列{α_n}的极限问题。如果{α_n}收敛,并把这个极限记为A,即limα_n=A。因为α_(n+1)=x~(α_n),两边取极限得     

求解混合整数线性规划的降维搜索法

很多实际问题归结为解如下线性规划max C~TX AX=b (1) {X≥0 其中X=(x_1,…x_L,x_(L 1),…x_n)~T的x_1…x_L 为整数。降维搜索法求解这个问题,首先是从(1)的约束中除掉x_1…x_L为整数的要求,求出线性规划的最优解。此解若不为整数解,则从解的分量x_1开始取整,即令x_1=[x_1~(0)] 代入约束,在n-1维空间上求最优解。如果仍不是整数解,则继续在n-1维最优解中令分量x_2取整,求n-2维空间的最优解。若降维至n-r得一整数解,则依定理1,停止继续降维。此时的整数解为(1)的可行解。然后在此可行解的基础上在x的两边进行左右搜索,用新的更优的可行整数解代替原有的可行整数解。用定理(2)和(3)判别是否停止搜索,搜索完毕便得n-r 1维(1≤r≤L)的一个最优整数解。然后求出所有n-r 1维的最优整数解,比较所有n-r 1维的最优解,得n-r 2维的一个最优整数解,如此类推,一定可求得原问题(1)的最优整数解。降维搜索法可以完全平行地推广到求非线性规划的整数解。     

关于不定方程a_1X_1+a_2X_2+…+a_nX_n=N的非负解个数的讨论

设不定方程(1)a_1x_1+a_2x_2+…+a_nx_n=N,其中,n≥2,(a_1,…a_n)=1,N和a_i(i=1,2,…,n)均为正整数(且不妨假设a_1≤a_2≤…≤a_n)。 (1) (1)的非负整数解的个数是有限的,设为T_n(N)。记0相似文献   

小区间上某种三角和的定量估计

目的对小区间上素变线性三角和问题进行研究,为解析数论中的很多重要问题提供依据。方法利用Vaughan恒等式中的分拆方法。结果得到了在满足一定条件下这类三角和的一个定量上界估计。结论设实数α=a/q+θ/q~2满足(a,q)=1,|θ|≤1,整数x,y满足3≤y≤x/logx。令r=logx,e(αn)=e~(2πiαn),S(α)=∑x-yn≤xΛ(n)e(αn),Λ(n)为Mangoldt函数,则有|S(α)|≤0.28x~(1/2)y~(1/2)q~(-1/2)r~2+3.6x~(3/5)y~(1/5)r~(1.4)+0.085x~(1/2)q~(1/2)r~(2.5)。     

不定方程x~2+4~n=y~(13)整数解的完全刻画

文章研究指数型Lebesgue-Nagell不定方程x~2+B=y~k的整数解是数论中的一类重要课题,其中B是非负整数,k是正整数。应用代数数论的方法完全刻画了不定方程x~2+4~n=y~(13)的整数解,既证明了不定方程x~2+4~n=y~(13)有整数解(当且仅当n≡0,6(mod 13)),且其整数解分别为(n,x,y)=(13m,0,4~m)或(13m+6,±2~({13m+6}),2~({2m+1})),其中n,m是非负整数.     

关于区间中的大素因子

如果用p(x,y)表示的最大素因子。在[6][7]中Ramachandra分别证明了对于充分大的x_0。当x>x_0时。P(x,x~(1/2))x~(14/26),P(x,x~(1/2))>x~(5/8)在文[1]中S.W.Graham把此结果改进为:对于充分大的x,P(x,x~(1/2))>x~(0.66),本文把这结果改进为P(x,x~(1/2))>x~(0.675225)     

关于整数表示的新猜想(Ⅰ)（英文）

本文研究把自然数写成方幂的加权和表示问题并提出这方面的一些新猜想.例如:我们证明本质上只有9个形如aw~h+bx~i+cy~j+dz~k(其中a,b,c,d为正整数,h,i,j,k∈{2,3,4…,}且h,i,j,k中至少有一个为2)的多项式使得每个非负整数n可表成aw~h+bx~i+cy~j+dz~k的形式(其中w,x,y,z为非负整数).我们的一个猜想断言如果f(w,x,y,z)是9个多项式w~2+x~3+2y~3+cz~3(c=3,4,5,6),w~2+x~3+2y~3+dz~4(d=1,3,6),2w~2+x~3+4y~3+z~4,w~2+x~3+y~4+2z~4之一那么就有{f(w,x,y,z):w,x,y,z=0,1,2,…,}={0,1,2,…}.我们也猜测大于1的整数n可表成x~4+y~3+z~2+2~k的形式,其中x,y,z为非负整数且k为正整数.