测地向量场的一个消没定理

本文得到完备 Riemann 流形上 L~2测地向量场的一个消没定理,同时给出Einstein 流形与一球面等距的一个条件.     

具非负Ricci曲率的流形

讨论了具非负Ricci曲率的完备Riemann流形上的无共轭点测地线的性质,证明了单连通具拟正Ricci曲率的三维完备非紧Riemann流形的第一Betti数b1≤n—3。     

具有一个极点的完备非负Ricci曲率流形上Laplace算子的谱

在本文中,我们证明具有一个极点的完备非负Ricci曲率Riemann流形上Laplace算子的本质谱是(-∞,O)。     

完备Riemann流形之测地线

讨论了完备Riemann流形上测地线上的共轭点的存在性与几何性质,证明了截面(r)∧v的曲率k((r)∧v)≥0的完备测地线(r):(-∞, ∞)→M为共轭点测地线的充要条件是k((r)∧v)=0.     

完备流形上射线的密度函数与拓扑

借助于临界点理论和亏函数的估计,得到了非负截曲率以及截曲率有下界的完备非紧流形微分同胚于欧氏空间的一些新的条件.并证明了下面的结果:完备非紧非负截曲率Riemann流形上,若对某个常数r_0＞0,当r≤r_0,密度函数＜√2r,则该流形微分同胚于欧氏空间;完备非紧截曲率有下界的Riemann流形上,若对某个常数r_0＞0,当r≤r_0,密度函数小于某个比较函数,当r＞r_0时,直径增长小于另一无关的比较函数,则该流形微分同胚于欧氏空间.     

具非负Ricci曲率的完备非紧黎曼流形

几何学研究的一个中心问题是曲率与拓朴性质之间的关系.本文讨论了具非负Ricci曲率的完备非紧黎曼流形的体积增长与其拓扑性质之间的关系.通过对测地球内的由球心点出发的最短测地线集合的测度与非最短测地线的测度的比较分析,根据距离函数临界点理论所隐含的拓扑性质,在大体积增长的情况下,得到流形拓扑的有限性.     

伪Ricci对称流形的几个调和性质

利用Riemann曲率与Weyl共形曲率研究了特殊的Riemann流形——伪Ricci对称流形．同时得到了流形与子流形成为Ricci平坦空间的充要条件．     

具非负曲率完备非紧黎曼流形的闭测地线

Kingenberg证明了任意紧致黎曼流形上都存在闭测地线,Yau提出是否能够证明紧致黎曼流形上有无穷多条闭测地线.由著名的Cheeger-Gromoll的核心结构的思想,任意的具非负曲率完备非紧的黎曼流形与它的核心是同伦等价的.因此可以考虑具非负曲率完备非紧的黎曼流形闭测地线存在性和分布性问题.本文证明了当核心的余维数是奇数且具非负曲率的完备非紧的黎曼流形上存在有无穷多条闭测地线;并由此讨论了紧致的非单连通黎曼流形上无穷多的闭测地线存在性问题.     

关于伪Riemann流形的极大类空子流形

在给出伪Riemann流形中一般等距浸入子流形的基本公式的基础上,证明了极大类空子流形的一个广义Bernstein定理,并研究了这种子流形的稳定性.     

Hermite流形上的δ张量

在Hermite流形上引入一个δ张量,指出其与Kaehler形式的内在联系,应用于研究Kaehler流形上保角向量场和Riemann联络的关系．并给出Kaehler流形判定定理的内蕴证明．     

渐进非负曲率流形上的函数

在本文中，主要讨论完备非紧的黎曼流形的Green函数的性质，主要利用各种渐进非负曲率和体积条件，得到在不同条件下流形是非抛物的结果。     

非负曲率流形上紧致全凸集的结构

研究了具有非负截面曲率完备黎曼流形的紧致全凸集的结构,不用Busemann函数而直接研究这类集合的Soul的存在性,压缩映射的淹没和零曲率的存在性质.     

变指数Laplace算子的Liouville型定理

设$(M, \mathrm{g})$~% 是带度量~$\mathrm{g}$~的~$n$~维黎曼流形, $p(x)>1$~是~$M$~上的 ~$\mathrm{C}^1$~光滑函数, 本文证明了 在一定的体积增长的条件下, $M$~上关于变指数~Laplace~算子 ~$\mathrm{div}(|\nabla u|^{p(x)-2}\nabla )$~% 的弱极大值原理, 并利用该极大值原理证明了相应于变指数~Laplace~算子的 ~Liouville~型定理.     

关于Poisson方程解的一个注记

利用渐进非负曲率黎曼流形的体积比较公式和Green函数，研究完备非紧的非抛物的，具有渐近非负曲率黎曼流形的poisson方程，得到它的解的条件及其估计式．     

以数量曲率为正的闭黎曼流形为出发流形的F-调和映射

众所周知从一个Ricci曲率为正的闭黎曼流形到一个截面曲率非正的完备黎曼流形之间是不存在非常值调和映射的．进一步YangQi—lin给出了从一个数量曲率为正的闭黎曼流形到一个截面曲率非正的完备黎曼流形之间存在非常值调和映射的结果．该文则研究了以这一类流形为出发流形的F-调和映射,得到从一个数量曲率为正的闭黎曼流形到一个截面曲率非正的完备黎曼流形之间存在非常值F-调和映射的结果,从而推广了调和映射的一些结果．     

Ricci曲率平行的黎曼流形中具有常平均曲率的紧致超曲面

主要研究了Ricci曲率平行的黎曼流形中具有常平均曲率的紧致超曲面,得到了J.Simons型积分不等式,推广了局部对称空间中该超曲面的有关结果.     

关于局部对称极值度量的一个注记

HCMU度量是黎曼曲面上极值度量的一个退化情形,具有整体旋转对称性.证明了具有局部旋转对称性的极值度量一定是HCMU度量.     

关于黎曼几何若干问题

总结了完备黎曼流形上完备的无共轭点测地线所隐含的几何性质、完备非紧具非负曲率黎曼流形的几何结构、完备非紧具非负Ricci曲率黎曼流形的几何拓扑性质以及完备非紧黎曼流形上的Busemann函数所隐含的几何拓扑性质,并提出了一些未解决的问题．