关于丢番图方程x~3+1=13py~2的整数解

设素数p≡1(mod 24),(p/13)=-1。关于丢番图方程x3+1=13py2的初等解法至今仍未解决。主要利用递归序列、同余式、平方剩余、Pell方程的解的性质,证明了丢番图方程x3+1=13py2仅有整数解(x,y)=(-1,0)。     

关于丢番图方程x~3±1=7qy~2的整数解

设D=7q,q≡1(mod6)为奇素数.关于Diophantine方程x3±1=7qy2的初等解法至今仍未解决.主要利用同余式、平方剩余、Pell方程的解的性质、递归序列证明了(1)q=13,19,61时,丢番图方程x3-1=7qy2仅有整数解(x,y)=(1,0);(2)q=13,73,97时,丢番图方程x3+1=7qy2仅有整数解(x,y)=(-1,0).     

关于丢番图方程x^3＋1=129 y^2

本文应用递归数列、同余式证明了丢番图方程x3 1 = 129 y2 仅有三个整数解: (x,y) = (1,0),(80,±63).     

关于丢番图方程x3＋1＝3pqy2的整数解

设P=3i∏pi(s≥2),其中pi=1(mod 6)(i=1,2,…,s)为奇素数.关于丢番图方程x3+1=Py2的初等解法至今仍未解决.主要利用同余式、平方剩余、Pell方程的解的性质以及递归序列证明了:当p≡q≡1(mod6)为奇素数,pq≡7(mod 24),(p/q)=-1时,丢番图方程x3+1=3pqy2仅有平凡解(x,y)=(-1,0).     

关于丢番图方程x3-1=511y2

利用同余式、平方剩余、Pell方程的解的性质、递归序列证明了丢番图方程x3-1=511y2仅有整数解(x,y)=(1,0)和(8,±1).     

关于丢番图方程x3+1=201y2整数解

应用递归数列、同余式证明了丢番图方程x3+1=201y2仅有整数解(x,y)=(-1,0),(440,±651).     

关于丢番图方程x3+1=57y2

利用初等的证明方法即同余法、Pell方程的整数解的性质、Maple小程序以及递归序列和二次剩余的方法,对一个丢番图方程x3+1=57y2的整数解进行了研究.证明过程中仅涉及到初等的数论知识,首先利用等式的性质把原丢番方程的解转化为4种情形进行讨论;对其第一种利用等式的性质得出无整数解,第二种情形利用同余式得出无整数解,后面两种利用同余式递归数列和平方剩余的相关知识以及maple小程序得出整数解和平凡解;最后综合得该丢番图方程仅有整数解(x,y)=(-1,0),(8,±3).     

关于丢番图方程x3+1=86y2整数解的讨论

利用递归数列、同余式证明了丢番图方程x^3＋1=86y^2仅有整数解（x,y）=（-1,0）,（7,±2）。     

丢番图方程x~3±1=2pDy~2的整数解

设D=∏r+i(n∈Z),ri≡5 mod 6(1≤i≤n)为彼此不相同的奇素数,p≡1 mod 6为奇素数,关于丢番i=1图方程x3±1=2pDy2的初等解法至今仍未解决.运用Pell方程的解的性质、同余式、平方剩余、递归序列等讨论了丢番图方程x3±1=2pDy2的整数解的情况.     

关于丢番图方程x~3±3~3=3pqy~2

主要利用递归数列、同余式、平方剩余以及Pell方程解的性质证明了当p≡1(mod 12),q≡12s2+1时,丢番图方程x3-33=3pqy2仅有整数解(x,y)=(3,0);当p≡1(mod 24),q≡12s2+1时,丢番图方程x3+33=3pqy2仅有整数解(x,y)=(-3,0).     

丢番图方程x^2-3y^4=397的正整数解

利用递归序列、同余式、二次剩余的方法证明了丢番图方程x^2-3y^4=397仅有正整数解（x,y）=（20,1）。     

丢番图方程x~3±1=3qPy~2的整数解

设P=∏r+i(s∈Z),ri≡-1 mod 6(1≤i≤s)为彼此不相同的奇素数,q≡1 mod 6为奇素数,关于丢番i=1图方程x3±1=3qPy2的整数解目前只有部分结果.运用Pell方程的解的性质、同余式、递归序列等讨论了丢番图方程x3±1=3q Py2的整数解的情况,从而推进了该类丢番图方程的研究.     

关于丢番图方程x3-1=7y2的初等解法

关于丢番图方程x3-1=7y2的初等解法的问题至今仍未得到解决.主要运用递归序列、同余式方法、Maple小程序和二次剩余初等方法以及Pell方程的解的性质,证明了此方程仅有整数解(x,y)=(1,0),(2,±1),(4,±3),(22,±39).     

关于丢番图方程x^3±125=Dy^2

给出了方程ｘ＾３±１２５＝Ｄｙ＾２的全部非平凡整数解，其中Ｄ〉０，无平方因子，且不能被３或６ｌ＋１型的素数整除。     

关于Diophantine方程x^3＋1=201y^2

本文应用递归数列、同余式证明了丢番图方程x^3＋1=201y^2仅有整数解（x,y）=（-1,0）,（440,±651）．     

关于Diophantine方程x^3＋1=37y^2

应用递归数列、同余式证明了丢番图方程x3 1=37y2 仅有整数解(x, y)= (-1,0),(11,±6).     

关于丢番图方程x3-1=py2

设s为正整数且2｜s,素数p=27s2+1,利用初等方法证明了丢番图方程x3-1=py2仅有平凡整数解(x,y)=(1,0).