活动标架法在Whitham-Broer-Kaup系统中的应用（英文）

正规化Maurer-Cartan形式的基是寻找Whitham-Broer-Kaup系统的解的不变性的重要工具,由于Whitham-Broer-Kaup系统的非线性和经典活动标架法的局限性,该系统的正规化Maurer-Cartan形式的基尚未被给出。基于等变活动标架理论,运用Maple软件,给出了求解Whitham-Broer-Kaup系统正规化Maurer-Cartan形式的基的一种有效方法。提供的方法克服了经典活动标架法的局限性,只用到无穷小决定方程组和截面正规化的选取,甚至没有用到活动标架、微分不变量、不变微分算子的显式表达式,是一种非常高效的算法。结果可用于研究Whitham-Broer-Kaup系统的解的不变性,并将有助于进一步研究海洋、大气、非线性动力学等领域中运动的规律和趋势。     

Camassa-Holm方程的活动标架应用

研究对象是数学物理等领域的浅水波模型Camassa-Holm方程.正规化Maurer-Cartan形式的基是寻找Camassa-Holm方程解的不变性的重要工具,由于CamassaHolm方程的非线性和经典活动标架法的局限性,该方程的正规化Maurer-Cartan形式的基尚未被给出.基于等变活动标架理论,运用Maple软件,本文给出了求解CamassaHolm方程正规化Maurer-Cartan形式的基的一种有效方法.该方法克服了经典活动标架法的局限性,只用到无穷小决定方程组和截面正规化的选取,甚至没有用到活动标架、微分不变量、不变微分算子的显式表达式,是一种非常高效的算法.结果可用于研究Camassa-Holm方程解的不变性,并将有助于进一步研究海洋、大气、非线性动力学等领域中运动的规律和趋势.     

相似空间中不变的欧拉-拉格朗日方程

利用Fels和Olver的等变活动标架法及Kogan和Olver的诱导的不变变分二重复形对3维相似几何中曲线微分不变量的不变变分问题进行了研究.给出了3维相似几何中相似变换群的延拓无穷小生成子,得出了3维相似几何中曲线微分不变量的变分所对应的具体的欧拉-拉格朗日方程.     

活动标架在对象识别中的应用

基于Fels-Olver等变活动标架理论,借助构造活动标架的经典方法,得到了平面上欧几里得曲线的不变量和微分不变量,即曲率和曲率关于弧长参数的导数(包括关于弧长参数的所有高阶导数).由这些欧几里得微分不变量可以构造出曲线的欧几里得签名曲线,而签名曲线在刚性运动下是不变的.在计算机视觉中,签名曲线可以广泛地用于对象识别、视觉跟踪和对称检测.此外,在Cartan等价理论是签名曲线的基础理论支撑下,结合微分不变量在对象识别方面的抗噪优势,对签名曲线进行数值逼近,并用此方法给出若干欧几里得曲线的微分不变签名曲线.所给实例显示了基于曲线的微分不变量方法在计算机视图领域中的有效性.     

相似几何中的活动标架

利用Fels和Olver的活动标架法,探讨2维和3维相似几何中曲线的具体活动标架和微分不变量．得到了2维和3维相似几何中曲线的微分不变量在局部坐标下的具体形式,相应的Frenet标架和公式．活动标架法提供了研究相似几何在相似变换群作用下的几何性质的方法．     

非线性耦合Drinfeld-Sokolov-Satsuma-Hirota方程的对称约化

由Clarkson和Kruskal提出的Clarkson-Kruskal直接法是一种不涉及群运算的求解非线性偏微分方程的代数方法,不同于经典李群方法,Clarkson-Kruskal直接法不需要求解复杂的初值问题.应用Clarkson-Kruskal直接法,并且利用相应规则得到非线性耦合Drinfeld-Sokolov-Satsuma-Hirota方程的对称约化.同时进一步求得了Drinfeld-Sokolov-Satsuma-Hirota方程新的相似变量和相似解,并与经典李群方法得到的结果进行对比,验证了Clarkson-Kruskal直接法与经典李群方法得到的结果可以互相变换.     

Boussinesq方程的非古典对称和相容性

研究了一类任意阶的非线性偏微分方程的非古典对称的决定方程,比较了非古典对称和古典对称求解方法的不同,在求解非线性古典对称的过程中,引用了一个简单的偏微分方程,运用向量场和其延拓以及不变表面条件和初始方程的相容性两种方法求出了相同的非古典对称的决定方程,由此,得出了利用不变表面条件和初始方程的相容性也可以求得非线性偏微分方程的非古典对称的重要结论.以Boussinesq方程为例,证明了该结论的可行性.     

变系数Benjamin-Bona-Mahony-Burgers方程的微分不变量和精确解

通过应用经典李群方法,得到了变系数的Benjamin-Bona-Mahony-Burgers(BBMB)方程的连续等价变换。从等价代数着手,讨论了该方程的微分不变量,发现此方程不存在零阶微分不变量,但是具有8个相互独立的一阶不变量。利用已经求得的一阶微分不变量对方程进行了群分类。在此过程中,进一步应用上述微分不变量将一般的变系数BBMB方程映射为常系数BBMB方程、Burgers方程、Benjamin-Bona-Mahony(BBM)方程,进而得到了变系数BBMB方程的一些新的精确解,并且作出了特殊变系数BBM方程、Burgers方程的精确解的图像。     

一个格子KdV方程的拉克斯对（英文）

微分几何和微分形式在数学物理中起着十分重要的作用,它们可以作为工具用来讨论许多重要的微分方程,讨论方程的可积性、求微分方程的不变量和对称子等.非线性演化方程的可积性检验是可积系统理论中的一个重要课题,有着许多方法,其中延拓结构理论是迄今为止求非线性演化方程拉克斯对或者检验方程拉克斯可积性的一种重要方法.该理论主要利用连续微积分和微分形式,在非交换微分和非交换微分形式的基础上,给出了一种求离散非线性演化方程的线性特征值或者拉克斯对的类似方法.由此检验了该差分方程的拉克斯可积性.另外,还利用这一理论讨论了KdV方程的一个离散模型,并且求得了其拉克斯对.     

运用群状结构法求非线性波方程的函数分离变量解

随着线性物理的飞速发展,反映改变自然现象的非线性现象引起人们极大的关注,分离变量法对于求解非线性偏微分方程的初值问题是一种简单而重要的方法.分离变量解对于描述非线性现象的特征起了重要作用.本文将求非线性波方程utt=(A(x)D(u)ux)x B(x)Q(u),Ax≠0分离变量解.运用群状结构法求非线性波方程的分离变量解.给出非线性波方程的分离变量解.此方法是对方程utt=(D(u)ux)x B(x)Q(u)的推广.     

非齐次非线性扩散方程的三阶条件Lie-B?cklund对称和微分约束

运用线性决定方程方法研究了非齐次非线性扩散方程.给出了允许三阶条件Lie-B?cklund对称和微分约束的非齐次非线性扩散方程,通过基于不变曲面条件和方程相容性的对称约化,得到所得方程的精确解.     

一种非线性系统的群叶状方法

通过研究等价活动标架理论与非线性系统精确解的关系,提出一种基于活动标架理论的群叶状方法来求解微分方程的精确解,并用计算机代数得到了1+1维非线性偏微分方程的变量分离的新精确解,验证了群叶状方法的有效性和便捷性。从而推广和丰富了非线性系统的研究内容,该方法也适用于其他的复杂非线性系统。     

非线性波动方程最简形式尖峰孤子解的存在性及求解方法

以经典的Camassa-Holm方程为例,讨论非线性波动方程存在最简形式尖峰孤子解的必要和充分条件,归纳出求取该型解的一般性方法,并通过求解Oliver水波方程、广义KdV方程K(2,2,1)和(2+1)维Nizhnik-Novikov-Veselov方程对该方法做验证,验证表明该方法是简便、有效的.运用该方法分析判断和求解了多个非线性波动方程,结果表明存在该型解的非线性波动方程为数不少.该方法也可用于2类紧孤子解存在性的分析和求解.     

扩展椭圆型辅助方程法与Klein-Gordon方程新解析解

利用辅助方程法,求解具有二阶非线性项Klein-Gordon方程,得到了大量精确解析解,其中包括孤波解和周期波解等,这些解对于研究二阶非线性项Klein-Gordon方程具有重要的指导意义.该方法具有普适性,可以用来寻找其他非线性发展方程的新精确解析解.     

伯努利方程的一种新解法

介绍一种通过部分凑微分法求解伯努利方程的新解法,避免了传统求解方法在变量代换和常数变易时的繁琐.     

基于变分迭代法数值模拟两种非线性发展方程的行波解

基于变分迭代方法成功模拟Whitham-Broer-Kaup方程和mKdV方程等两类非线性数学物理方程的行波解,将用几何图形和绝对误差对求得的近似解和精确解进行比较,揭示了该方法的有效性和可操作性.     

Whitham-Broer-Kaup-Like方程的新的行波解(英文)

提出了一种求解发展方程行波解的新辅助方程方法.方法中使用了较广泛的解表示式和一个变系数常微形辅助方程,并用该辅助方程方法通过求解Whitham-Broer-Kaup-Like方程统一构造了Whitham-Broer-Kaup方程,长水波近似方程,Broer-Kaup方程和变形Boussineq方程的许多新的精确行波解.     

经典Lie对称在Burgers方程中的应用

对称分析在微分方程理论中起着重要作用.用来降低常微分方程的阶数和线性及非线性偏微分方程中独立变量的个数的方法叫做经典Lie对称方法.利用经典Lie对称方法,获得了Burgers方程ut(x,t)+u(x,t)ux(x,t)-uxx(x,t)=0的一个对称群,该对称群对求出Burgers方程在此对称下的群不变解具有重要意义.     

映射法与Klein-Gordon方程新的精确解

运用映射法,结合辅助方程,利用计算机代数系统Mathematica求出了非线性Klein-Gordon方程的一系列新的精确周期解,补充了前面研究的结果.这些精确解可在极限情况下(m→1)退化为孤波解.该方法简化了求解过程,并可以用来求解其他的非线性演化方程,如Schrǒdinger方程、KP方程等.     

(2+1)维广义浅水波方程类孤子解和类周期解

在Riccati方程方法的基础上提出了新的广义投射Riccati方程展开法及其算法.该方法直接而有效,通过适当的变换将非线性发展方程转化为易于求解的微分方程组,从而可用来构造非线性发展方程更多新的精确解.利用这个方法研究了(2 1)维浅水波方程,并得到了许多新的精确解,其中包括类孤子解和类周期解.该算法可以用于构造其他更多非线性发展方程(组)的精确解.