关于一次同余方程组的转换定理

命a_(ij)(1≤i≤t,1≤j≤s)为ts个整数,p为素数,且对于每个i(1≤i≤t),a_(il),…,a_(is)不全为p的倍数,及对于每个j(1≤i≤s),a_(ij),…,a_(tj)不全为p的倍数。又记x=max(1|x|),p_1=[(p-1)/2],p_2=[p/2],这里[u]表示u的整数部分。考察两组对偶的一次同余方程组     

单叶函数系数模之差的估计

§1.引言设 f_k(z)=z+sum from n=1 to ∞ a_(nk+1)~((k))z~(nk+1)为在单位圆|z|<1内正则且单叶的函数,用 S_k 表示该函数族,特别记 S_1=S.对于 f_1(z)∈S;f_2(z)∈S_2的相邻系数模的差,戈鲁金曾有如下之估计:[1](1) ||a_n+1|-|a_n||≤C_(1)n~(1/4)log n,(2) ||a_(2n+1)~((2))|-|a_(2n-1)~((2))||≤C_2n~(-1/4)log n.其中的 C_1,C_2以及以后的 C_3,C_4,……都是绝对常数。对于映射单位圆|z|<1为关于原点为星形领域的函数 f(z)戈鲁金亦有估计:[1],[2]     

续论方程ax+by+cz=n

设a,b,c为正整数,(a,b,c)=1,x,y,z为非负整数,(a,b)=d,a=a_1d,b=b_1d,u,v为非负整数,当a_1u+b_1v能够表出c时,(1) ax+by+cz所不能表出的最大整数为M=(ab)/(a,b)+c(a,b)-a-b-c. [1]在a_1u+b_1v不能表出c时,c可以表成c=a_1r-b_1s或c=b_1s-a_1r,其中 a_1r+b_1s相似文献   

围长大于n+1的图的边数

对任正数C及整数n≥2,是否可以找到充分大的整数v_0=v_0(c,n),使得当v≥v_0时,不含圈C_3,C_4,…,C_(n+1)的v顶图的最大边数ex(v,C_3,C_4,…,C_(n+1))>Cv? 本文证明了其中2≤n≤v—1,从而给予问题T以肯定之回答。     

关于整系数线性型的两个问题

设a_1,a_2,…,a_k是正整数,(a_1,a_2,…,a_k)=1。线性型f_k=a_1x_1+a_2x_2+…+a_kx_k(x_1,x_2,…,x_k取非负整数)所不能表出的最大整数及f_k不能表出的正整数的个数分别以M_k及N_k表示。关于如何求出M_k是一个尚未完全解决的问题,柯召教授首先讨论了k=3的一个情形。在柯召教授的指导下,陆文端又讨论了k=3的另外一些情形。J.B.Roberts对a_1,a_2,…,a_k成算术级数的情形得出了M_k的公式。除重穆推广柯召教授的结果证明了下面的一个定理:命D_i=(a_1,a_2,…,a_i),     

关于Catalan问题

E.Catalan在1844年猜测两个连续数除8,9外不能同时都是自然数的大于1次的乘幂。设p,q为质数,这一猜测是说(1)x~p=y~q+1 x>1,y>1除x=3,y=2,p=2,q=3外,没有其他整数解。己知(1)除上述一解外,在p=q;p≤3;q≤3时无整数解。故仅需讨论p>q≥5或q>p≥5的情形。在本文中,我们将证明此时有:     

s个几乎相等的素数的k次方和(Ⅱ)

假定 pθ‖ k,当 p =2 ,2 |k时 ,γ =θ +2 ;其他情况时 ,γ =θ +1。而 R = ( p-1) | kpγ。在GRH(广义 Riemann假设 )下 ,证明了当 s≥ 2 k2 (2 logk +log logk +2 .5 ) ,k >1 1时 ,任何足够大的整数 N≡ s(mod R)都可以表示为 s个几乎相等的素数的 k次方和。     

威尔逊定理的两个推论及应用

初等数论中,威尔逊定理:“整数p≥2,当且仅当(p-1)！+1≡0(modp)时,p为素数。”是判定一个整数p≥2是否为素数的基本定理。 给定一个较大的整数p,(p-1)！是一个很大的数,利用威尔逊定理来判定p是否为素数是不方便的;但可以利用定理的充要性及用余性质来解决一些实际问题。下面介绍威尔逊定理的两个推论及应用。     

关于正整系数线性型的最大不可表数—Frobenius问题

n个变量的正整系数线性型f_n=a_1x_1+a_2x_2+…+a_nx_n(其中a_i为正整数,x_i取非负整数),当(a_1,…,a_n)=1时,可表一切充分大的自然数。自然提出一个问题:如何求此型的最大不可表数M_n?这问题在堆垒数论和概率论中有其运用(参看[9]p.211和[7]P.261)。对于n=2的情形,问题方化解决。对n≥3,柯召等很多人讨论过;特别是n=3时,有比较完整的结果。本文用初等方法改进了一般n的结果,特别讨论了n=3,4的情形,分别较尹支霖和李培基的方法略简一些。     

不定方程 a_1x_1 a_2x_2 … a_sx_s=n 的Frobenius问题

对于 n 和 a_1,a_2均是正整数,且(a_1,a_2)=1的二元一次不定方程 a_1x1 a_2x_2=n,能够找到仅与 a_1,a_2有关的整数 g(a_1,a_2)=a_1a_2-a_1-a_2,使得当 n>g(a_1,a_2)时,不定方程有非负整数解,而当 n=g(a_1,a_2)时,不定方程没有非负整数解。求 g(a_1,a_2)的问题就是二元一次不定方程的 Frobenius 问题。本文解决如何求仅与不定方程 a_1x_1 a_2x_2 … a_2x_2     

一阶微分方程的几个可积类型-兼谈广义黎卡提微分方程的一个猜想及两个结论

本文拟给出一阶微分方程的几个可积类型。这些方程只要通过适当的变 量变换,就可以化归为变量可分离方程,从而可积。可以着出,通常意义下的 一阶齐次微分方程、线性微分方程,和伯努里(Bernoulli)微分方程,是本文 所给几个可积微分方程的特例。 本文还定义了广义黎卡提方程(Gene rdized Riccati′s eguation): dy/dx+q(X)y=a_0(y)y~n+a_1(X)y~(n-1)+…+a_(n-1)(X)y+a_n(X),(a_0(X)≠0,n≥2):并提出了一个猜想:广义黎卡提方程一般是不能用初等积分法求解的;同时,作者给出了有关广义黎卡提方程的两个结论: (i)在条件a_n(x)≠0,a_(n-1)(X)=c_(n-1) a_(x) (i= l,2,…,n; C_(n-1)为常数)之下,广义黎卡提方程是可积的。 (ii)如果a_(n-1)(X)=0(0≤j(x)=c_(n-i)a_(n-i-1)(x)(i>j+1),则广义黎卡提方程也是可积的。     

答Erds的“等差数偶”問題

P.Erdos教授(1955)在他的一篇有关数論的論文中,曾提出了一个关于‘等差数偶,的問題.意思是:設n为正整数,今将1与4n間的整数分成(a),(b)两个組:a_1、a_2,…,a_(2n);b_1,b_2,…,b_(2n).問是否总存在一个整数t使得方程a_i+t=b_i的解答个数不小于n.可注意的是:当n不太大时隨便作些实驗,的确常常发现上述的整数f是存在的。适合方程a_i+t=b_i的数偶(a_i,b_j)可叫做以t为公差的等差数偶.Scherk     

关于不定方程a_1X_1+a_2X_2+…+a_nX_n=N的非负解个数的讨论

设不定方程(1)a_1x_1+a_2x_2+…+a_nx_n=N,其中,n≥2,(a_1,…a_n)=1,N和a_i(i=1,2,…,n)均为正整数(且不妨假设a_1≤a_2≤…≤a_n)。 (1) (1)的非负整数解的个数是有限的,设为T_n(N)。记0相似文献   

关于不定方程组a_2x~2-a~1y~2=a_2-a~1,a_3y~2-a_2z~2=a_3-a_2

构造性地证明了:当自然数a_1,a_2,a_3中任二数之积与1的和均为平方数时,标题所列之不定方程组常有异于平凡解x=y=z=1且合x~2≡1(mod a_1)之正整解存在.一个等价的说法是,对任给合条件“任二数之积与1之和均为平方数”的三个自然数a_1,a_2,a_3,均可觅得一自然数a_4,使得四数组(a_1,a_2,a_3,a_4)亦合前述条件.     

关于一次同余方程组转换定理的推广

设p为任一素数,l、s、t为任意自然数,a_(ij)(1≤i≤t,1≤j≤s)为st个整数,记x=max(1,|x|),p_1=[(p~1-1)/2],p_2=[p~1/2],(a)p~1表示(a)p~1量a(modp~1)且-p_1≤(a)p~1≤p_2的整数。考虑对偶一次同余方程组及其满足条件-p_1≤x_v≤p_2,-p1≤y_v≤p_2,1≤v≤s+t的非平凡解x=(x_1,…,x_s,…,x_(s+t))和y=(y_1,…,y_t,…,y_(s+t)),记q=q(a_(11),…,a_(ts))为所有乘积x_1…x_s…x_(s+t)中的最小值,Q=Q(a_(11),…,a_(ts))为所有乘积y_1…y_t…y_(s+t)中的最小值。本文将证明: q与Q满足不等式(Q~(β-1))/q≤(s+t+1)~βp~(β[l(s+t-1)-t]),其中β是适合0≤β≤s+t的任一实数。     

范式dk=a_1x_1+a_2x_2+…+a_nx_n的解法

令d,a_1,…,a_n为非负整数,K是使(1)dk=a_1X_1+a_2X_2+…+a_nX_n,X_i≥0,i=1,…,n成立的最小正整数.(1)式叫做d关于a_1,a_2,…,a_n的范式,简称n元范式.在文[1]、文[2]中,对n=2的情形,给出了范式的解法.本文在此基础上,解决n(>2)元范式的解法.     

不定方程x~3+y~3+z~3-3xyz=n有非负整数解的充要条件

给出不定方程x3+y3+z3-3xyz=n的非负整数解的一个判定准则.主要结果为:如果正整数n有标准分解式n=2rpr11…prkk,其中p1,p2,…,pk是适合p1相似文献   

Jacobson环可分解为域的直和的一个充分条件

本文得到Jacobson环R在方程a_nx~n+…+a_1x=0(a_n、…、a_1∈Z(整数集)或环R,且■α∈R,a_nα+…+a_1α=0)上有有限个解的条件下,可分解为域的直和.由此给出,当上面的解的个数为素数时,则R 为域,从而推广了谢邦杰1982的结果.     

关于高斯函数的几个恒等式

对高斯函数的两个恒等式:[x]+[x+(1/m)]+…+[x+((m-1)/m)]=[mx],其中x∈R,m∈N;[kq/p]+[kp/q]=((p-1)/2)·((q-1)/2),其中 p、q 是正奇数且(p,q)=1,以及 Tom.M.Apostol 的一个问题“若 a=1,2,3,4,5,6,7.证明存在一个(依赖于 a 的)整数 b,使得[k/8]=[(2n+b)~2/8a]”,作了进一步的推广,得到一般性的结论.     

一个关于{1,2,…,n}排列的猜想（英文）

我们证明了孙智伟的下述猜想:对任意不等于3的正整数n,存在{1,2,dos,n)的一个全排列(a_1,…,a_n)使得a_1=1,a_n=n,并且a_1+a_2,a_2+a_3,…,a_(n-1)+a_n,a_n+a_1都与n互素