修正的Navier－Stokes方程的定常解

考虑于１９６８年作为粘性不可压缩流的一个数学模型提出的修正的Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ方程的定常解的存在性，唯一性和吸引性．定常的修正的Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ方程是满足一定的单调性条件的拟线性椭圆方程组．利用逼近建立了一个一般的存在性定理，进而看到，如果或者椭圆性常数足够大，或者具适当大的单调性参数，或者外力相当小，则有唯一的定常解，最后，我们在类似（仅仅是类似！）于上述的条件下证明了所有的定常解的集合是极小的紧的不变的可吸引相空间中任何有界集的吸引子．     

修正的Navier－Stokes方程的全局性的周期解

本文证明了由于１９６８年提出的描述粘性不可压缩流的修正的Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ方程在外力ｆ∈Ｌ￣２（０，Ｔ；Ｈ）的条件下（０＜Ｔ＜∞，不要求Ｔ，ｆ小）存在初始速度分布ｖ。使得相应的初边值问题的广义解ｖ具再生性质：ｖ（Ｔ）＝ｖ（０）＝ｖ＿０．从而当外力ｆ还是时间ｔ的以Ｔ为周期的函数时，ｖ也是以Ｔ为周期的函数。上述结论的证明基于以‖ｖ（ｔ）‖和‖ｖ＿ｘ（ｔ）‖的估计和Ｓｃｈａｕｄｅｒ不动点原理。     

修正的Navier—Stokes方程的空间—时间统计解

就Ладыжёнская于１９６８年提出的描述粘性不可压缩流体的修正的Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ方程定义空间－时间统计解并证明空间－时间统计解的存在唯一性，进而由修正Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ方程空间－时间统计解的存在性得到修正Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ方程（个别）解的存在性的证明。     

修正的Navier─Stokes方程的解的解析性与后向唯一性

讨论了修正的Ｎａｖｉｅｒ─Ｓｔｏｋｅｓ方程的解的时间解析性并证明了它们的后向唯一性。     

解Navier－Stokes方程的线性协调元方法的收敛性定理

将线性协调元方法用于解Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ方程，对速度近似可以得到按［Ｈ１（Ω）］ｎ模的最优阶敛速估计．     

简化Navier－Stokes方程IF理论广义解的存在性和唯一性

根据简化Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ方程ＩＦ理论，提出了一个基本假设，在此假设的基础上研究了ＩＦ理论解的存在性和唯一性问题，考察了当简化Ｎ－Ｓ方程逼近Ｎ－Ｓ方程时，论文结论收敛到Ｎ－Ｓ方程的相应结论，这个结论适用于二维不可压ＩＦ流动。     

Navier－Stokes方程的非线性Galerkin方法和Crank－Nicolson逼近

研究二维非定常的Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ方程的初边值问题，并且给出了数值求解Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ方程的一种新的全离散化格式，这种格式在于将空间变量离散的非线性Ｇａｌｅｒｋｉｎ有限元方法和时间变量离散的Ｃｒａｎｋ－Ｎｉｃｏｌｓｏｎ逼近结合起来，此外，对应于这种格式的逼近解的收敛精度给予了证明。     

Navier－Stokes方程的一种泛复数解

通过引入泛复变量求解Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ方程，得到不可压缩流体Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ方程的一种泛复数解，即速度场和压强场的泛复数表示。     

由修正的Navier─Stokes方程产生的动力系统（Ⅰ）

证明了由于１９６８年提出的修正的Ｎａｖｉｅｒ─Ｓｔｏｋｅｓ方程可产生一个作用于一可分的Ｈｉｌｂｅｒｔ空间Ｈ上的单参数半群｛Ｖ＿ｔ｝，算子Ｖ＿ｔ于ｔ＞０连续，于ｔ＞０紧。给出了｛Ｖ＿ｔ｝成为连续半群的充分条件。证明了此半群有非空的紧的不变的可吸引Ｈ中任何有界集的吸引子μ．对于Ｈ中任何有界不变集Ａ（可以是μ），从Ａ上出发的运动的决定模态的个数有限。如果Ａ是Ｈ中的紧不变集（可以是μ），则Ｖ＿ｔ（ｔ≥０）在Ａ上可逆从而容许定义Ｖ＿ｔ＝Ｖ￣（－１）＿ｔ（ｔ＜０）使得｛Ｖ＿ｔ，ｔ∈Ｒ，Ａ｝是一连续群，即在经典意义下的动力系统。证明了Ｈ中任何紧不变集的Ｈａｕｓ─ｄｏｒｆｆ维和分维有限。     

二维Navier—Stokes方程的吸引子和二维Navier—Stokes流

证明二维Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ方程的吸引子是紧的连通的可交换群,在其上的二维Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ流具遍历性和唯一遍历性,但不具混合性     

由有限个结点值确定修正的Navier—Stokes方程的解

本文分析关于粘性不可压缩流体的修正的Navier-Stokes方程在什么程度上解的性态能被这些解在有限个离散结点上的缸的性态确定。二个典型结果如下:如果二个定常修正的Navier-Stokes方程的解在一个充分稠密但有限的结点集上相等,则这二个解在整个区域上相等;如果知道非定常修正的Navier-Stokes方程的解在一个充分稠密但有限的结点集上的渐近性,则这个解本身的渐近性也被完全决定。     

修正的Navier—Stokes方程的再生性质和周期解

本文证明了由提出的修正的Navier-Stokes方程在小外力的条件下对t_1∈(0,T]存在唯一的初始速度分布使得相应的初边值问题的广义解具再生性质:(t_1)=(0)=.从而当外力还是时间t的周期函数时,是周期解.进而证明此周期解以指数方式吸引相应于同一外力但初值可任意的其它解.上述结论的证明基于对广义解v的导数v在空间L~∞(0,T;L~2(Ω))中估计.     

一类带有真空的不可压Navier-Stokes方程的局部古典解

研究一类带有真空的不可压Navier-Stokes方程, 在一定条件下得到其古典解的存在性和惟一性.     

半空间Rn+上一类修正的Navier-Stokes方程解的L2衰减性

考虑了一类修正的Navier-Stokes方程在半空间解的时间衰减性．利用Stokes算子的谱分解方法和L~p—L~q估计,证明了其弱解具有和线性方程同样的最优代数衰减率．     

粘性依赖密度的Navier-Stokes方程的具有真空状态的行波解

在压力P=Aργ,粘性系数μ=μ(ρ)=Cρθ(其中A>0,C>0为常数,ρ为密度,θ∈(0, ∞),γ>1为绝热指数)的假设下,得到了一维可压Navier-Stokes方程的4类行波解,其中2类具有真空状态.另外,常粘性系数的情形与粘性依赖于密度的情形在结论上有很大不同.     

修正双曲函数法与非线性发展方程的精确解

对修正双曲正切函数展开法进行了拓展,给出了较一般的形式,并应用该方法获得了一些非线性发展方程的显式精确解.