Hausdorff测度的规范化处理

讨论了Hausdorff测度的规范化问题,给出了球覆盖下规范Hausdorff测度的定义,获得了其与任意超平面中的Lebesgue测度在数值上的关系.证明了在整数维时,规范Hausdorff测度与任意超平面中的Lebesgue测度在数值上是相容的.并通过实例说明了Hausdorff测度规范化的意义.     

相对重分形的维数

本文将Julian Cole引入的一个概率测度关于另一概率测度的重分形形式体系里测度定义中的中心覆盖改为覆盖,得到与之等价的相对重分形测度和相同的维数,用两种不同方式定义了上、下盒维数,研究了各种维数的性质及相互关系,证明了相对重分形的Hausdorff维数函数和Packing维数函数是下凸的,讨论了它们在Legendre变换下的关系.     

Rd内自然覆盖族生成集的网测度及维数问题

研究单位立方体内自然网覆盖生成集的网测度及维数的可能性,建立该集族的自然覆盖网诱导的网测度与通常Hausdorff的等价性.其次,考虑在广义自相似集下,分离自然覆盖族生成情形的维数与Hausdorff维数的等价性,简化部分分形集的计算.     

含双参变量(θ,t)的广义Cantor尘的Hausdorff测度

研究在剪切和压缩变换作用下所得到的广义Cantor尘的Hausdorff测度问题.利用自然覆盖及图形的几何结构获得此类广义Cantor尘的Hausdorff测度精确计算公式.推广已有结论.     

关于Hausdorff测度的一个不等式

在Besicovitch广义的Hausdorff测度定义下,推出了Hausdorff测度的一个不等式.     

三维广义Sierpinski垫的Hausdorff维数公式及其在一种特殊情形下的证明

本文在二维的基础上提出了三维广义Sierpinski垫的Hausdorff维数与度量维数公式.对三维广义Sierpinski垫在属于同一层每一行留下立方体块数除零外均相等的情形下,改写了其Hausdorff维数公式,并利用测度论方法给予严格的证明.证明表明,它推广了二维广义Sierpinski垫的结果,该方法也可推广到n维的情形.     

关于Hausdorff测度定义的探讨

采用Luxemburg定义范数的方法给出了广义Hausdorff测度的严格定义,与已有的定义相比新的定义方法使广义Hausdorff测度具有了保持比例的性质.     

d维Polya过程象集的某些几何性质

本文得到了d维Polya过程象集X~d(E)的Hausdorff维数及Packing维数;并研究了X~d(E)是否具有正的Lebesgue测度和内点的问题,获得了一维Polya过程象集a.s具有正的Lebesgue测度和a.s具有内点的充分条件。     

两康托集的交子集的分形维数与测度

一个三分康托集与它的平移集的交集的维数与测度均与平移的长度相关．通过此平移长度t的三进制展开式,就能得到两个三分康托集的交集I（t）的分形维数以及此维数下的Hausdorff测度。具体的,当t能有限展开t=[0.t1,t2…tn]3且它的所有系数之和∑i-1^n ti为偶数时,其交集I（t）在维数log3 2下Hausdorff测度非零,并且给出了一个非常简便的测度计算公式,此计算公式可用于相同维数下分形集的分类;其余情况均得到在此维数log3 2下Hausdorff测度为零．     

完备度量空间中的图定向自相似集合

文中发展了完备度量空间中的图定向自相似集合的Hausdorff维数和测度,这些理论和欧几里德空间中的有很大的不同,即满足开集条件不能意味着在完备度量空间中的图定向自相似集K的α维Hausdorff测度大于零,这里的α为K的Hausdorff维数.本文讨论了完备度量空间中图定向自相似集合一些性质之间的关系.     

两三分康托尘的交集的分形维数与测度

一个三分康托尘与它的平移集的交集的维数与测度均与平移的长度相关.通过此平移长度(x,y,z)的三进制展开式,就能得到两个三分康托尘的交集I(x,y,z)的分形维数以及此维数下的Hausdorff测度.具体地,当(x,y,z)能有限展开且它的所有系数之和(∑ki=1xi,∑ki=1yi,∑ki=1zi)为偶数时,其交集I(x,y,z)在维数log8/log3下Hausdorff测度非零,并且给出了一个非常简便的测度计算公式,此计算公式可用于相同维数下分形集的分类,其余情况均得到在此维数log8/log3下Hausdorff测度为零.     

N指标d维广义α—stable过程的标准表示

研究了一类新过程－－称之为广义α－stable过程，它包含了N指标d维广义α-stable过程和N指标d维议布朗单，导出了该过程的标准表示形式，解决了覆盖图集的最少立方体个数问题，为确定该过程的样本轨道图集的适当Hausdorff测度函数奠定了基础。     

Hausdorff维数的乘积公式在RN上的推广及应用

在经典的Hausdoff测度和维数的定义下,对Hausdorff维数的乘积公式在RN空间上进行了推广及证明;然后作为应用,得到一些分形集的Hausdorff维数.     

2k+1等分Cantor集构造的一个基本性质

将三分Cantor集构造的一个性质推广到2k+1等分Cantor集,利用质量分布原理计算2k+1等分Cantor集的Hausdorff维数。根据三分Cantor集的结构与性质,计算出2k+1等分Hausdorff集的测度。传统的计算维数的方法需要大量复杂的计算和几乎不提供任何直接启发的估计,存在一定的局限性,运用质量分布原理定义区间上的一个质量分布,可以快捷有效地给出2k+1等分Cantor集的Hausdorff维数的下界。从基本的区间覆盖去估计2k+1等分Camtor集的Hausdorff测度,对于上界,只需要估计一个特殊的覆盖。通过对所有的覆盖类进行估计,即可证得下界。     

单峰映射允许搓揉序列的Hausdorff维数和测度

利用Hausdorff维数和Hausdorff测度, 对单峰映射的允许搓揉序列的集合给出定量刻画, 证明了该集合在两个符号的单边符号空间中Hausdorff维数是1, 1维Hausdorff测度是0.这与传统的定性分析相比, 结果更有意义.     

Hausdorff算子在加权Lebesgue空间上的有界性

主要研究Hausdorff算子在加权Lebesgue空间上的有界性.首先利用Minkowski不等式得到高维Hausdorff算子在加权Lebesgue空间上的有界性估计;其次重点考察一维情形,将Hausdorff算子转化成卷积算子,结合奇异积分的加权理论获得一维情形比较精细的结果.     

Koch曲线的Hausdorff测度的改进下界估计

为了研究Koch曲线的Hausdorff测度的下界,本文在Koch曲线上定义了质量分布函数μ,对任意覆盖U导出了关系式μ(U)≤1. 876|U|s,利用质量分布原理,得到了Koch曲线的Hausdorff测度下界的更好估计值Hs(K)≥0. 533 049 041.     

均匀康托集的Hausdorff中心测度的概率性质

20世纪90年代C.Trioct给出了Hausdorff中心维数与Hausdorff中心测度的定义，接着人们对分形集的Hausdorff中心维数与Hausdorff中心测度进行研究，结果发现Hausdorff中心测度对测度的重分形谱的估计非常有效．对于均匀康托集K(λ)，目前只知Hausdorff中心维数与Hausdorff维数相同．分别借助于数学归纳法和一些细致的不等式估计，给出了均匀康托集K（λ）的概率测度μ(A)＝C^s(A∩K(λ))/C^s(K（λ))具有不等性质μ([o，r])＜r^s，同时构造了K(λ)的一个子集F(λ)满足μ(F(λ))＝1．     

Sierpinski垫片的Hausdorff测度的上界估计

研究分形集的中心任务是计算或估计分形集的Hausdorff维数与Hausdorff测度。本文研究Sierpinski垫片的Hausdorff测度的上界估计,利用部分估计的方法,归纳出了关于Sierpinski垫片的某种部分覆盖所包含的小三角形的个数以及这种覆盖的直径的规律,得到了Sierpinski垫片的Hausdorff测度的一个更好的上界估计值Hs(S)≤1377811/09286×(2431/3072)s≈0.870031853。     

Cantor集的Hausdorff维数证明

利用符号系统中的字符串和字符串定义的度量空间,结合集合有限覆盖原理和Lipschitz映射,建立一个由字符串定义的度量空间到Cantor集的映射,分析在此映射下的函数递推关系,推导出该函数满足双向Lipschitz不等式,由此得出了文中定义的度量空间的维数与Cantor集的Hausdorff维数相等,从而给出了Cantor集的Hausdorff维数的另一种不同于运用质量分布原理证明的方法。巧妙解决了Cantor集Hausdorff维数的证明问题。在研究方法上为研究其他复杂的分形集提供了避免利用质量分布原理时需要分配一个适当的质量分布（一般比较难找,尤其对维数的下界估计）在其分形集上的困难的尝试,也为今后研究Hausdorff维数的理论和证明方法．以及字符串和维数的关系提供了理论基础和依据。