关于函数的黎曼可积性

讨论有界函数是否在有限闭区间上（常义）黎曼可积时,文献[1]的可积准则为“,即文献[2]的可积准则为某个分割T,使得由于所用可积准则不同,在证明下述两个基本定理：定理1若函数f（x）在闭区间[a,b]有界,且有有限个间断点,则函数f（x）在[a,b]可积．定理2若函数f（x）在区间[a,c]与[c,b]可积,则函数f（x）在[a,b]也可积．时所采用的证明方法也就不同,而文献[2]的证明显得简单明了．本文不同于文献[2]的方法,将介绍一个振幅和不等式在证明函数黎曼可积方面的应用（下文所用符号的含义及可积准则与[1]相同）．一个振幅和不等式…     

用导数判别函数的一致连续性

一、引理引理1 若函数f(x)在闭区间[a,b]连续,则f(x)在[a,b]上一致连续.引理2 若函数f(x)在[a,b]及[b,c]都一致连续,则f(x)在[a,c]上一致连续.注改[b,c]为[b, ∞)时,结论也成立.引理3 设函数f(x)在开区间(a,b)连续,则f(x)在(a,b)一致连续的充分必要条件是f(a 0)、f(b-0)都存在且为有限值.证明见[1]之正文及相应习题.二、主要结论定理1 若函数f(x)在区间I(I可开、半开、有限或无限,下同)可导,且f’(x)在I有界,则函数f(x)在I一致连续.     

达布(Darboux)定理及其应用

1定理及性质 1.1定理 下面的导函数介值性定理即是达布定理. 定理:设f'(x)在[a,b]上存在,r是f'(a)与f'(b)之间的任意一个值,则存在一点c∈[a、b]使得f'(c)=r.     

函数列一致收敛性定理

1 函数列一致收敛性定理定理1 若函数列f_n(x)在[a,b]上同等连续,且对于任一x∈[a,b],有f_n(x)→f(x)(n→∞),则f_n(x)在[a,b]一致收敛于f(x)。     

Cauchy微分中值定理别证

本文用反证法证明Cauchy微分中值定理。Rolle、Lagrange定理是其直接推论。定理设f,g在[a,b]上连续,在(a,b)内可微,则存在c∈(a,b),使得 f′(c)[φ(b)-φ(a)]=φ′(c)[f(b)-f(a)]。证明设对任意x∈(a,b) f′(x)[φ(b)-φ(a)]-φ′(x)[f(b)-f(a)]≠0,则 d/(dx){f(x)[φ(b)-φ(a)]-φ(x)[f(b)-f(a)]}≠0,记 F(x)=f(x)[φ(b)-φ(a)]-φ(x)[f(b)-f(a)],则F在[a,b]上连续,在(a,b)内可微且F′≠0。故由Darboux知,对所有x∈(a,b)F′>0或     

减弱定理条件拓宽应用范围

<正> 在微积分中,为解决含参量积分的求导与积分顺序可交换的问题,教科书上多采用下述定理1与定理2。 定理1 若函数f(x,y)与f_y(x,y)在R[a,b;c,d]上连续,则函数φ(y)=integral from n=a to b(f(x,y)dx)在[c,d]上可导,且 φ′(y)=integral from n=a to b(f_y(x,y)dx) (1)     

Lagrange中值定理的辅助函数的一般作法

Lagrange中值定理证明中辅助函数作法各式各样，目前采用的主要有如下形式:应用1）-8）中任何一种，用Rolle定理立即可以证明Lagrange中值定理。表面上看作辅助函数要有几分技巧，其实只要用逆向思维来探索，不难发现这些助辅函数形式并非某人一时“聪明”而作出，却都是出自于一个统一的形式。事实上，从Lagrange中值公式的形式类似于前面的处理，即得F（x）＝（b-a）f（x）-[f（b）-f（a）]x＋c2（2）分别取c2为0;[f（b）-f（a）]a；af（b）－bf（a）；bf（a）-af（b），得到辅助函数5）-8）。比较（1）与（2），容易看出（2）是（1）的…     

柯希定理的一个证明

在一般的数学分析教科书中,拉格朗日中值定理和柯西定理都是通过作辅助函数归结于洛尔定理来证明的。文[1]给出拉格朗日中值定理一个新的证法。但在[1]的引理1中,没有要求点x_2是(a,b)的点,而这点对证明定理无疑是重要的。因为,不然的话,由区间套定理得到的C点未必是(a,b)的点,于是定理就不能得证。本文将文[1]中的结论稍微加强,并予以新的证明。     

可分Orlicz空间的Korovkin型定理

邱福成[1]建立了L_([a,b])~p (p≥1)空间上弱收敛的Korovkin型定理。本文将该结果([1]之定理1)推广到可分的Orlicz空间。设M(u),N(v)是一对互余的N函数,它们在闭区间[a,b]上生成的Orlicz空间记为L_M(赋Orlicz范数)和L_(N)(赋Luxemburg范数)。又设M(u)满足△_2条件,此时     

积分中值定理中“中间点”的渐近形态

本文讨论了当f(t)∈C~(n-1)[a,b],f~(l)(a)=0(i=1,2,…,n-1),f~n(a)存在且不为0(n≥1);g(t)∈c~(m-1)[a,b]g~j(a)=0(j=0,l,2,…,m-1),g~m(a)存在且不为0(m≥1)或g(t)∈c[a,b],g(a)≠0,g(t)或f~l(f)在[a,b]上不变号时,积分第一与第二中值定理中“中间点”的一般估计,即当x→a时,其中间点的渐近状态。     

代数注记两则

1973年R.Gilmer~1得到如下定理: 定理:任意一个无限(结合)环必有无限多个真子环。 现在给出下面的一个简单证明。 证明:命原给无限环为A。在A内任取一个元a≠0。以一切形如n_1a n_22a~2 …(项数有限,诸n_i为整数)为生成元作环,将这环记为Z[a] (Z为整数环)。 若Z[a]为有限环,再在集A-Z[a]内任取一个元b,作Z[b]若Z[b]又为有限环,则在集     

关于积分中值定理中“中间点”的进一步估计

本文讨论了当f(t)∈C~l[a,b],f~(i)(a)=O(i=1,2……,n-1),f~(n)(a)存在,f(n)(a)g(a)≠0,g(t)∈C[a,b]且在a,b上保持同一符号时,第一积分中值定理中的中间点的渐近状态。     

一个四阶非线性微分方程李稚普诺夫函数的构造及其全局稳定性

Ponzo 关于四阶非线性方程x+a(z)x+b(x,(?))(?)+c(?)+d(x)=0(0.1)得到了以下结果[1]:定理0.1:如果 a(z),b(x,y),c(y),d(x)满足以下条件:(1)a(z)≥a>0,(2)b(x,y)≥β>0,(3)c(y)/y≥r>0,(4)0ε≥0,其中ε≥(?)[(?){(αδ/r)(A_1(z)/z-α)+c(y)/y-r}],(6)c(y)/y-rd′(x)/δ+(r/2αδ)d″(x)/y-1/y(?)b_x(x,u)udu≥0,(0.2)(7)ab(x,y)-c′(y)-(αδ/r)(A_1(z)/z)-6/2>0 (0.3)(8)当|x|→∞,D(x)→∞则(0.1)的零解全局渐近稳定。     

关于“中间点”的渐近性的一个注记

第一积分中值定理设f(x)在[a,b)上连续,g(x)在[a,b)上可积且不变号,则存在ξ∈(a,b)使得(1)文[1]讨论了(1)中的“中闻点”ξ当b→a~+时的渐近性,即下述下理1.定理1 若f(x)与g(x)在[a,b]上连续,且g(x)在(a,b)上不变号,f+(a)(f+(a)表示f在a点的右导数,下同)存在且不等于零,g(a)≠0,则对于(1)中的ξ有     

关于Systems of Differential Equations Which are Competitive or CooperatireⅠ:Limit Sets的一点注记

文[1]对竞争和互惠系统得到了一系列深刻而漂亮的结论,但其中一个关键命题的证明有一点错误。鉴于该命题在证明后面的几个重要定理时都被引用,因此有必要指出並改正之。 R~n中的向量称为有关的(related),如果向量a,b之间存在关系a_i>b_i对一切i=1,2,…n成立,记为a>b。类似地可定义a>y(b))则称[a,b]为曲线y的一个上行区间(up-interval)(下行区间(down-interval))。命题:若方程     

关于一类二项式和的整除性质的推广

Mare Chamberland和Karl Dilcher[Divisibility properties of a class of binomial sums, J. Number Theory, 120(2006)pp.349-371]研究了一类二项式和uεa,b(n)并给出了一些有趣的性质,其中uεa,b(n)=∑nk=0(-1)εk(nk)a(2nk)b,对a,b,n∈N和ε∈{0,1}.最后,他们提出了uεa,b(n)的一种推广,即uεa,b,c(n)=∑nk=0(-1)εk(nk)a(2nk)b(3nk)c,其中a,b,c,n∈N,ε∈{0,1},期望uεa,b,c(n)具有与uεa,b(n)相似的性质,但并未给出具体的性质及证明.在本文中,我们给出并证明了uεa,b,c(n)的与Wolstenholme定理有关的这部分性质.     

关于一类不等式的再次推广

1引言 文[2]对文[1]的结论作了推广和引伸,得到了如下的定理. 定理1 设a_1,a_2,b_1,b_2∈(a,b) a_1+a_2=b_1+b_2,且a_1≤b_1≤b2≤a2 若在(a,b)上f″(x)>0,则 f(b_1)+f(b_2)≤f(a_1)+f(a_2) (1)若f″(x)<0,则 f(b_1)+f(b_2)≥f(a_1)+f(a_2) (2) 本文首先指出,定理1的条件f″(x)>(<)0可放宽为f″(x)≥(≤)0,事实上,     

积分第二中值公式补註

定积分的第二中值公式有下列三个定理给出的三种形式。定理1 假设函数f(x)在闭区间[a,b]上单调减小(包括广义的)且非负,又函数g(x)在[a,b]上可积,则在闭区间[a,b]上至少有一点ζ,使得定理2 假设函数f(x)在闭区间[a,b]上单调增加(包括广义的)且非负,又函数g(x)在[a,b]上可积,则在闭区间[a,b]上至少有一点ζ,使得     

关于积分第一中值定理的一些探讨

本文把中值定理中,函数在闭区间[a,b]上连续的条件减弱为在闭区间[a,b]上可积,在开区间(a,b)有介值性,证明定理同样成立.     

哥西定理之推廣

本文主要系构造一辅助函数,从而将哥西中值定理推广到n个函数。茲先讨论三个函数的情形。定理1 设函数f(x),φ(x),ψ(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间[a,b]上可微,则一定有这样—点c(a相似文献