从非标准分析的发展历程看数学的发展

本文一是说明从非标准分析（NSA）的发展历程中得到的启示；二是介绍NSA在方法论方面的特征，以及它在若干数学分支中的应用。     

康托的超穷数理论

康托（G. Cantor,1845—198）所创立的超穷集合论,在近代数学史上是令人极为惊异的巨大成就。但究其历史根源,正是由于研究分析学的基础而激起了康托对点集的兴趣,并由此而发现了超穷数.集合论,至少部分地起源于黎曼等人对三角级数的丰富研究以及对不连续函数的分析;康托对那些使函数不连续或收敛问题变得非常困难的点的集合进行了深刻的研究,并在这一过程中系统地建立和发展了一般点集的理论,从而开拓了一个全新的数学领域。本文将就其如何发现超穷数理论与创立超穷集合论的数学历史背景及其发展过程予以较系统地介述与评析。     

谈大学数学教学中一题多解的意义

本文针对数学例题,分别运用几何方法、代数方法和分析方法进行分析和求解,揭示不同方法之间的内在联系,体现数学分支的交叉融合.由此说明大学数学教学中一题多解的意义在于使学生更直观地认识到数学科学不同分支之间的内在联系和巧妙转化,深刻地领悟其中蕴含的数学思想,灵活地把握其中运用的数学方法,从而提高学生的数学能力.     

谈大学数学教学中一题多解的意义

本文针对数学例题,分别运用几何方法、代数方法和分析方法进行分析和求解,揭示不同方法之间的内在联系,体现数学分支的交叉融合.由此说明大学数学教学中一题多解的意义在于使学生更直观地认识到数学科学不同分支之间的内在联系和巧妙转化,深刻地领悟其中蕴含的数学思想,灵活地把握其中运用的数学方法,从而提高学生的数学能力.     

浅谈数学学习中解题的规范操作

针对自己在教学实践中所发现的学生在数学解题过程中存在的不良行为,提出了规范解答数学题目的方法和步骤,从规范审题入手,到准确地数学语言表达,最后严密地反思、归纳.既介绍了一种明确的解题思路,又介绍了一钟多角度思考问题的方法.这一方法可全面培养学生严谨的科学态度.     

论数学中逻辑与历史的统一

本文论述了逻辑的方法与历史的方法在数学中是相互渗透,相互补充,相互转化的.提出了在数学中辩证地处理逻辑方法与历史方法之间的关系,即逻辑与历史的统一方法,并阐明这一方法在数学研究和数学教育中的重要作用.     

子结构分析的基本原理和ANSYS软件的子结构分析方法

目前子结构的理论日趋成熟完善,并且已经广泛用于结构分析计算,但是具体操作的论述较少,初学者要掌握这一高级的分析方法并非易事．针对这种现况,本文首先介绍了予结构的基本原理,然后简述美国SASI公司开发的ANSYS软件子结构的分析方法的基本步骤,并通过一个实例演示分析过程．为了进一步加深认识与提高子结构的分析水平,又对一个特殊横梁刚架作了予结构的分析论述,有力地说明了该方法的高效性．     

克兰姆规则发现的思维过程

数学思维,数学思维方法,研究方法和推理方法是创造新数学,数学的发明和发现,使数学不断地向前发展的根源.数学思维属科学思维的范畴.所谓数学思维,就是用数学的观点,原理和方法,对数学对象通过判断和推理,抽象和概括,探索它们内部的矛盾,数学结构,数学关系,以及这些结构,矛盾和关系的发展过程,从而揭示了它们内在的规律性.数学思维中,     

一种基于节点稳定性的社区发现算法

许多成功的社区发现算法已经被广泛应用于复杂网络社区发现任务中.随着数据复杂性的增加,网络中节点间的关系也呈现多样化的特点,因此提出一种基于信息熵的节点稳定性度量方法,衡量网络中节点在社区划分中的稳定性;并在此基础上提出一种基于节点稳定性的社区发现算法(Node Stability-based Algorithm,NSA).首先得到网络的t种社区划分,计算各节点的标签熵,选择熵小于一定阈值的节点作为网络的稳定节点集S;然后,利用所得到的稳定节点集S从原网络中抽取一个包含S的连通子图Gs,使Gs中节点的不稳定性尽可能低;在连通子图Gs上进行社区发现,得到初始聚类结果,再计算其他未聚类节点与初始类簇的距离,确定其社区归属,得到最终聚类结果 .在四个带标签真实网络数据集和八个不带标签的真实网络数据集上,与LPA,Infomap,Walktrap,BGLL,LPA-S等经典算法的比较实验表明,所提出的NSA算法能够较好地进行社区发现,在NMI和模块度等方面表现良好.     

求解BBM方程的一个两层线性化差分格式

本文对一类带有齐次边界条件的Benjamin-Bona-Mahony方程(BBM方程)的初边值问题进行了数值研究,提出了一个具有二阶理论精度的两层线性化差分格式,该格式合理地模拟了原问题的一个守恒性质.本文证明了该格式差分解的存在唯一性.综合运用数学归纳法和离散泛函分析方法,本文还证明了该差分格式的收敛性和稳定性.数值实验表明该方法是可靠的.     

对于Brown运动Ito积分的非标准方法

本文用非标准分析方法对随机变量及对于Ｂｒｏｗｎ运动Ｉｔｏ积分作了讨论，并对某些性质给出了非标准证明     

Perturbation to Noether Symmetry and Adiabatic Invariants for Dynamical Systems with Nonstandard Lagrangians

The perturbation to Noether symmetry and adiabatic invariants for dynamical systems with nonstandard Lagrangians are studied. Based on two kinds of nonstandard Lagrangians( i. e.exponential Lagrangians and power-law Lagrangians),the exact invariants of Noether type are given. Based on the definition of highorder adiabatic invariants,the relationship between the perturbation of Noether symmetry and the adiabatic invariants of the system under a small disturbance is studied,and then the corresponding theorems of adiabatic invariants are established. Finally, two examples are given to illustrate the methods and results appear in this paper.     

时变不确定时滞系统的稳定性分析

为解决一类带有时变时滞不确定系统的鲁棒稳定性控制问题,通过细化不确定信息的结构,利用Lyapunov泛函方法,通过构造一种新的Lyapunov-Krasovskii泛函,给出了基于线性矩阵不等式的一种新的鲁棒稳定性判据。所得结论具有普遍性,所提方法不依赖于系统分解,适用于标准和非标准情形。     

非标准拓扑动力系统

本文采用非标准分析方法研究拓扑动力系统。应用Nelson的“内涵集合论”概念给出了拓扑动力系统的非标准表达,为进一步解决该领域中一些公开问题打下基础。     

拓扑空间中几类紧性的非标准研究

本文利用非标准分析理论[1],对拓扑中的紧性、相对紧、局部紧性,进行非标准描述和刻画,简化原有证明.使它们的本质性质更为清晰,使拓朴学在理论上更加深刻;拓宽非标准分析的研究领域,以提高我们对非标准分析这一门新兴学科更加广泛的认识,使得非标准分析理论更加丰富,这既有助于非标准分析理论在其它的应用领域的发展,又给拓扑学赋有了更加内在的探索意义.     

用函数的单调性证明n元对称不等式

给出证明不等式的两个定理,应用这两个定理,可以把某些n元对称不等式的证明转化为一元函数单调性的证明,不仅证明比较简捷而方法也较初等。     

Kaplansky计数命题的拓广及应用

应用组合分析技巧,给出基于线排列与环形排列情形下的经典的Kaplansky计数命题的拓广情形,得到了两个推广后的新的Kaplansky计数命题.通过推广Ménage计数问题以及组合恒等式的证明,所得结果拓展了已有文献的研究结果.     

拓扑群上的一致与等度连续及其非标准特征

文中涉及的拓扑空间约定都包含在标准全域 U 的个体集 S 中,非标准全域~*U 是扩大.m(α)表示α点的单子,x≈α表示x∈m(α).定义1 设(G,I_1,·,e_1)及(H,I_2,·,e_2)是拓扑群,f:G→H,若对每一 V∈I_2(e_2)存在 W∈I_1(e_1)使对任意的 g_1,g_2∈G,若 g_1·g_2~(-1)∈W,即有 f(g)·f~(-1)(g_2)∈V,则称 f 在 G 上一致连续.容易验证,若 f 在 G 上一致连续,则其在 G 上连续.     

α-Fe_2O_3(Sn,SO_(2-)4)气敏材料中SO_(2-)_4离子的作用

研究了不同条件下制备的α－Ｆｅ２Ｏ３（Ｓｎ，ＳＯ２－４）气敏材料的电特性、气敏性和晶粒尺寸特性，发现ＳＯ２－４作为一种离子基团掺杂对甲烷有明显的增感作用，我们认为引入离子基团是α－Ｆｅ２Ｏ３气敏材料改性的一种途径．