微分方程组(dx)/(dt)=P_3(x,y),(dy)/(dt)=Q_3(x,y)的週期解与极限环

討論题目中P_3(x,y)与Q_3(y,x)是具实系数的三次多項式时的方程組的週期解与极限环問题。設方程組至少有一指标为+1的初等奇点且可写成下列形式 dx/dt=-y+xF_1(x,y)+gy~2+hy~3,dy/dt=x+yF_2(x,y)+rx~2+sx~3其中,F_1(x,y)与F_2(x,y)均为二次多項式。当g=h=r=s=0时,在F_1(x,y)≡F_2(x,y)或F_2(x,y)≡0的假設下,就上列方程組建立了极限环的存在唯一性定理。此外,对上列方程組本身以及其他一些特殊情况分別給出了存在极限环或不存在週期解的充分性条件。     

环面上Van der Pol方程的研究

本文对环面上Van der Pol方程 dx/dt=sin y,dy/dt=-sinx μsin 3y(x mod 2π,y mod 2π)的极限环问题进行研究,得到下述两个结果定理1 环面上Van der Pol方程对于μ=0,μ≤-1和μ≥1不存在第一类极限环。定理2 环面上Van der Pol方程对于非零的小参数μ至少存在两个第一类极限环。     

在指标为十1的初等奇点外围Dulac定理的逆命题

本文解决如下问题:即当方程在 dx/dt=-y 2dx 1x~2 mxy ny~2=P(x,y) dy/dt=x(1 ax by)=Q(x,y) (1) (0,0)外围不存在极限环与周期环,且(0,0)为指标 1的初等奇点时,是否一定存在B(x,y)使 在(0,0)外围保持定号?并作出了B(x,y)的较简单的形式。     

二次微分系统(Ⅲ)类方程的分支问题

通过分析未扰系统的同宿轨在小扰动下的稳定流形和不稳定流形之间的相对位置 ,研究了二次微分系统(Ⅲ )类方程 x =-y +δx +mxy +y2 , y =x(1+ax +by)的同宿轨分支极限环的问题 .给出了系统分别存在稳定极限环和不稳定极限环的条件 .     

一类三次系统的中心焦点判定与极限环的唯一性

目的研究一类三次系统的中心焦点判定和极限环的存在唯一性。方法采用Lienard方程的方法计算焦点量,用数形结合和定性与定量结合的分析方法证明极限环的唯一性。结果推广了部分参考文献所研究的方程类型和已有的结论。结论表明该三次系统.x=-y δx lx2 mxy ny2,.y=x(1 ay-y2)可以存在2个极限环,该系统在细焦点外围至多有一个极限环。     

旋转向量场理论的应用(Ⅱ)

本文的目的在于把讨论方程dx/dt=P_o(x.y),dy/dt=Q_o(x,y) (1)的极限环的存在唯一问题归结为讨论某一汛函的零点的存在唯一问题,因而可从古典分析得到一些启发,给出一些新的结果。为简单起见,设方程(1)以(0,0)为共唯一奇点,且P_o(x,y),Q_o(x,y)在整个平     

广义Volterra方程的极限环

对于捕食者一食饵系统的广义Volterra方程(dx)/(dt)=g(x)-f(x)b(y),(dy)/(dt)=c_1(y)+a(y)φ_1(x),本文讨论了它的极限环的存在唯一性.     

二次微分系统(Ⅰ)类方程的分支问题

考虑了二次微分系统(Ⅰ)类方程x=y,y=-x+my+nxy-x2的极限环的存在性问题.运用分支方法,分析了未扰系统的同宿轨破裂以后稳定流形和不稳定流形之间的距离.给出了至少产生一个极限环的条件.     

关于一类二次系统的极限环

§0.平面二次系统x=a_(11)x a_(12)y y~2 y=a_(21)x a_(22)y-xy cy~2(1) 其中aij,c均为常数。在文[1,2]中得到研究。在一定的条件下,它是所谓的有界系统,对于该系统的轨线的大范围分析,除了极限环的唯一性,或广泛地说极限环的个数这一问题外,是取得了很大的进展的。本文目的是对系统(1)的极限环,探讨其唯一性及其它一些问题。本文利用作Dulac函数及其它的办法,指出了在一些条件下,系统(1)不存在极限环;利用将系统(1)化为Lienard方程的办法,建立了极限环唯一性的判据;还指出了系统(1)不可能存在单调接近的极限环。     

关于Liénard型方程极限环个数的唯n性条件(Ⅱ)

本文再给方程组恰有n个极限环的充分条件,而当φ(y)=y时即是文[3]的结果。     

关于代数极限环的注记

一般说,极限环本身不易直接用式子所表出,但有些情形它却能以代数闭曲线的形式出现。文考虑了Lienard型方程的代数极限环的情形;文,考虑了方程(E_2)及(E_3)具有二次代数极限环y~2 x~2-1=0的情形。本注记讨论方程(E_2)及(E_3)能否具有形如y x~m-1=0(n,m为非负正数)的代数曲线作为极限环的问题。     

非线性方程极限环的存在唯一性

讨论平面自治系统x=Q(x,y), y=P(x)的极限环的存在唯一性,简化了文献［7~9］中极限环存在性条件,并进一步论证了其极限环唯一性,用较简洁直观的方法,得到系统存在唯一极限环的一组条件.     

一类被捕食种群具有常数收获率极限环的唯一性

研究了一类食饵种群具有常数收获率系统{dx/dt=x(a0+a1x-a2x2-a3y)-H0 dy/dt=y(bx2-d)的极限环的存在与唯一性.并通过一系列变换将系统(E)化为广义的Lienard方程{du/dt=-φ(v)-F(u) dv/dt=-g(u)再利用文献[1]中的结论,给出了系统(H)最多存在一个极限环的充分条件.     

Lienard系统x=φ（y）—F（x）,y=—g（x）极限环的一个存在唯一性定理

讨论了系统x=φ(y)-F(x),y=-g(x)的极限环的存在唯一性问题,借助连续函数的零点定理,得到了一个判断系统极限环存在唯一的较实用的方法。     

一类Duffing 方程的分支问题

运用分支的方法, 通过分析未扰系统的同宿轨和周期轨在扰动破裂以后的分支情况, 研究了一类 Duffing方程x = y , y = x- x³+y+xy 的极限环的存在性问题, 给出了产生极限环的条件.     

一类三次系统含单奇点的极限环

证明三次系统x.=y-εy3,y.=x(1-x2)+(α-x2)y,ε>0,当0<1-α<<1时,在区域y<1ε内含单奇点的极限环的存在性与唯一性.根据Hopf分支定理,证明了当0<1-α<<1时,存在含单奇点的极限环,再由唯一性定理证明了当0<1-α<<1时,含单奇点的极限环的唯一性.     

两个关于Lienard方程极限环存在性定理

本文讨论Li′enatd方程x=y-F(x)·y=-g(x).提出两个状态函数并研究其零点,得到Li′enard方程极限环存在性的两个新结果,而且是构造性的结果.适宜在电子计算机上实现.     

一类具有线性尖点的1∶2共振向量场的极限环

作者讨论了具有线性尖点的1:2共振平面向量场 \dot x = y,\dot y = x (1-x^2)(3-x^2) + \mu (\xi_0 + \xi_1 x^2 - x^4 )y, 的非局部分岔, 其中x, y \in R, 参数\xi_0, \xi_1 \in R且|\mu| << 1. 通过讨论其相应的~Picard-Fuchs~方程, 给出由Poincar{é 分岔和异宿轨分岔出极限环的条件.     

一类平面二次方程的极限环存在性

研究了一类二次微分方程 x =- y +δx +mxy +y2 , y =x(1+by)的极限环的存在性问题 .给出了系统存在唯一稳定或者不稳定极限环的条件     

方程dy/dx=(q_(00)+q_(10)x+q_(01)y+q_(20)x~2+q_(11)xy+q_(02)y~2)/(p_(00)+p_(10)x+p_(01)y+p_(20)x~2+p_(11)xy+p_(02)y~2)所定义的积分曲线的定性研究(Ⅳ):Ⅲ类方程

文将所研究的方程可能存在极限环的情况分为三类,本文考察其中的Ⅲ类方程,它的最一般形式为 (dx)/(dt)=-y+dx+lx~2+mxy+ny~2=P(x, y), (dy)/(dt)=x(1+ax+by)=Q(x, y) (1)当d=0时,(1)以原点为焦点且当m(l+n)-a(b+2l)>0时为不稳定,当m(l+n)-a(b+2l)<0时为稳定。首先可从d=m=0时的方程