今日的数学

二十世纪的数学多才多艺的伟大德国数学家希尔伯特向国际数学家1960年代表大会提出由23个数学上主要面对的问题组成挑战性征答,从而使数学进入了二十世纪。这个23个问题在前半个二十世纪对于数学发展的方向是有特殊影响的。解答成功的人立刻名噪一时。但是比具体问题更为重要的也许还是希尔伯特公开表示他对数学上没有“不可知”的信心。希尔伯特的观点——确实在他一生中的实践都是如此——是数学的实质就是提出问题和解答问题;在希尔伯特看     

“我们必须知道,我们必将知道!”——对希尔伯特的评述

希尔伯特作为数学领域的领头人以他卓越的数学成就闻名于世,而且他追求真理、无私无畏的精神更是人类社会的一笔宝贵财富.本文先对希尔伯特的生平经历进行介绍,然后主要从希尔伯特对数学、哥廷根大学以及他的学生三个方面论述希尔伯特产生的影响.他的工作和他所从事科学事业的那种精神和态度,一直深深影响着数学科学的发展.     

大卫·希尔伯特简介

今年是希尔伯特诞辰125周年纪念。希尔伯特是19世纪末和20世纪初与克莱茵,闵可夫斯基,庞加莱等同时代的德国伟大数学家之一。今天世界上难得有一位数学家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作的。他在整个数学版图上留下了他那巨大显赫的名字。那里有希尔伯特空间,希尔伯特不等式,希尔伯特变换,希尔伯特不变积分,希尔伯特不可约性定理,希尔伯特基定理,希尔伯特子群,希尔伯特类域。他在解决果尔丹问题时的那些思想,无论是方法还是重要性方面都已远超出了代数不变量的范围。那本有关几何基础的小册子,它对数学的发展产生了最深刻的影响,它把公理化方法深刻地扎根于一切数学领域中。19世纪和20世纪前半叶,好几个数学分支趋于严格化的发展都极大地受惠于希尔伯特的成就。在     

希尔伯特教学风格与数学素质教育

考察希尔伯特教学风格，从求简精神、通俗化教学、问题教学、暴露思维过程教学这几个方面，阐述数学素质教育需要“希尔伯特”．     

阿诺尔德问题

数学问题是数学的生命。1900年，德国数学家希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出23个问题，对于20世纪数学的发展起着重要的推动作用。由于数学的领域已扩大百倍，数学界已难以找到希尔伯特那样博大精深的数学家。因此，2000年，国际数学联盟决定成立以俄国数学家阿诺尔德（V．Arnold）为首的委员会，共同担当希尔伯特的重任。     

数学方法论中的希尔伯特问题

对《数学问题》报告总论中的哲学思想进行挖掘、梳理，结合希尔伯特的数学生涯，从数学方法论的角度提出相关的16个问题。     

这里是学校，不是澡堂

希尔伯特是对20世纪数学有深刻影响的数学家之一。他领导了著名的哥廷根学派,使哥廷根大学成为当时世界数学研究的重要中心,并培养了一批为现代数学发展做出重要贡献的杰出数学家。     

希尔伯特:引领20世纪数学发展的大师

正除希尔伯特之外,还没有一个人能够像他那样提出23个重要的数学问题,对未来一个世纪的数学发展产生如此广泛与深远的影响。1895年,33岁的大卫·希尔伯特(David Hilbert,1862~1943)来到了德国哥廷根大学,这个时间正好是在数学家高斯到哥廷根100年之后。希尔伯特是注入哥廷根学派的新鲜血液与活力因子,是被特地选中请来振兴哥廷根、再创哥廷根学派辉煌的。他在这里工作了48年。著名的演讲,不朽的篇章1900年,第二届国际数学家大会在巴黎召开,希尔伯特在一个分组会上发     

谈现行中学几何教材公理体系的几个问题

本文在介绍了希尔伯特现代化公理法和现行中学几何教材公理系统异同的基础上，从五 个方面详细地阐述了如何看待中学几何教材的公理化系统问题；最后，又分五个阶段论述了怎样通过几何教学培养提高学生的数学能力问题．     

关于连续统假设若干史实的注记

结合3个基本事实，考察分析了连续统问题的起源、发展和现有的结论．由此得知：1．康托尔为了对无限集进行分类提出连续统猜想时间上是合理的；2．希尔伯特的证明失误反映了历史的局限性，同时蕴含了有用的证明思想；3．哥德尔在解决连续统问题的过程中承上启下的作用是独特的，他的思想主导着该领域的发展方向．历史地看待3位数学家的贡献有助于做出公允的评判，从而对连续统问题的演化和发展有一个正确地认识．     

以{ei}i^n=1为正交基的再生核Hilbert空间

再生核Hilbert空间首先是一个Hilbert空间,再生核方法(RKHS method)为研究Hilbert空间提供了一个有力的数学工具,核函数具有许多优良的性质,可以通过这些性质来刻画整个Hilbert空间。笔者主要研究了以{ei}in=1为正交基的再生核Hilbert空间H中的核函数的一些性质,并通过这些性质简要的描述了Hilbert空间H与它的核函数之间的关系。     

一类非线性椭圆型方程边值问题的近似解

本文主要讨论一类非线性椭圆型方程边值问题在Galerkin投影近似下,其近似解的存在性,并证明了其一致有界的近似解序列在集合收敛意义下,也收敛于它的有界解。     

半平面中的Hilbert边值逆问题

边值问题逆问题是在边值问题中涉及到参变未知函数,它具有重要的力学背景,但对边值问题逆问题的研究才起步.从数学上给出半平面中解析函数的一类Hilbert边值逆问题的合理提法,将其转化为实轴上的解析函数的Riemann边值问题,依据实轴上解析函数Riemann边值问题的经典理论,讨论了半平面中解析函数的一类Hilbert边值逆问题的可解性,得到了该边值逆问题的解由该边值逆问题标数所决定的实的自由度,给出了该边值问题逆问题的可解条件和解的积分表达式.     

Hilbert空间中严格伪压缩映射下迭代的收敛性问题

在Hilbert空间中,均衡问题和不动点问题的迭代解成为研究的热点。Hilbert空间具有优良的特性,本文在S.Al-Homidan,Q.H.Ansari等人关于Hilbert空间均衡问题与不动点问题研究的基础上,构造一个关于均衡问题和不动点问题的迭代,讨论了该迭代在Hilbert空间中严格伪压缩映射下的弱收敛性问题,并给出其强收敛的充分必要条件。     

一阶,二阶线性混合型复方程的一些边值问题

只讨论最简单的一阶混合型（椭圆－双曲型）复方程（方程组的复形式）与二阶混合型（椭圆－双曲型）方程。首先，我们证明一阶混合型复方程Ｒｉｅｍａｎｎ－Ｈｉｌｂｅｒｔ边值问题解的唯一性，然后使用关于解析函数间断Ｒｉｅｍａｎｎ－Ｈｉｂｅｒｔ边值问题的结果证明上述边值问题的存在性，进而又用一阶混合型方程的上述结果导出二阶混合型方程斜微商边值问题的可解性。Ａ．Ｖ．Ｂｉｃａｄｚｅ用复分析方法证明了二阶混合型Ｄｉｒ     

量子力学的公理化

我们提出的量子力学唯一公理是：普朗克能量等于爱因斯坦能量：h·v=E=m·c2用纯文字来表达就是：频率与能量等价——因为大自然并不理会单位制的选择。广义相对论并没有把选用何种数学工具列入公理,本文也然。公理化方案的优点是：既然公理是可信和可理解的,那么公理的一切推论也都是可信和可理解的,最终的判决是实验。大道至简。我们遵守“奥卡姆剃刀”原则。在量子力学的语境中每一个物理量都必须而且能够重新定义,即使仍然使用同样的词。量子化替换是公理化的推论。历来的讲法是：量子力学的数学基础是Hilbert空间理论。而我们认为量子力学的数学基础是Hilbert空间的群表示论。区别在于,实验物理学家生活在4度时空,而群表示论是4度时空与Hilbert空间之间的桥梁。     

圆柱和半平面域拓扑积的Hilbert边值问题

讨论了圆柱和半平面域拓扑积的Ｈｉｌｂｅｒｔ边值问题．建立了这个区域的Ｂ－调和函数的边界条件，和解析函数的Ｓｃｈｗａｒｚ积分公式，进而讨论这个区域Ｈｉｌｂｅｒｔ边值问题可解性的条件和解的表达式．     

拟相似次正常算子具有相同的本质谱

本文证明了若T是Hilbert空间H_o上的亚正常算子,S是Hilbert空间H上的次正常算子,而且T与S拟相似,则σ_e(S)(?)σ_6(T),即证明了两个次正常算子如果拟相似,则它们必定有相同的本质谱,解决了S.Clary和J.Conway提出的问题。     

k解析函数的一般复合边值问题

研究开口弧段Γ上k解析函数的Riemann边值问题与封闭的Liapunov曲线L上k解析函数的Hilbert边值问题复合而成的一般复合边值问题,利用消去法将问题转化为Hilbert边值问题加以求解,并给出可解性条件和解的具体表达式.     

两类五次平面多项式系统的中心判定

Lyapunov量在平面微分系统的定性理论和分岔理论中占有非常重要的地位,它是判断原点是否为细焦点或中心的一种经典手段,也可以用来判断由退化Hopf分岔所产生的极限环个数,与著名的Hilbert第16问题有密切的关系。主要研究两类五次平面多项式系统的中心判定问题。运用Lyapunov量复算法借助于Maple数学程序计算出两类系统在原点的Lyapunov量,得到原点成为中心的判定条件。