关于Hugh Edgar问题

§1. Hugh Edgar曾经提出求方程 p~m-q~n=2~h(对于素数p,q和整数h) (1)的解(m,n)的问题。他问:方程(1)的解(m, n)有多少? 是否最多只有一个? 仅有有限个吗? 1981年,Guy将Hugb Edgar问题收集在“数论中尚未解决的问题”一书中。我们在文     

方程a~x—b~y=(2p~s)~x和Hugh Edgar问题

1969年,Perisastri(Math. Student, 37(1969),211—212)证明了Diophantus方程a~x—b~y=10~x在a=13(mod20),b=3(mod20)和z(?)1时无非负整数解x,y,z。1982年,Toymzumi(Math. Student,43(1978), no. 2—4,113—115(1982),MR 84h:10025)证明了Diophantus方程a~x—b~y=(2p)~x,p为奇素数,在a≡p≡5(mod8),b≡3(mod8),p(?)ab     

关于Diophantus方程Ax~2 B=y~n

设Ｎ,Ｑ分别是全体正整数、有理数的集合,Ａ,Ｂ∈Ｎ.方程Ａｘ2 Ｂ=ｙｎ,2ｎ>1,2ｙ,ｘ,ｙ,ｎ∈Ｎ(1)是一类基本而又重要的高次或指数型Ｄｉｏｐｈａｎｔｕｓ方程.当Ａ=1,Ｂ=2时Ｌｊｕｎｇｇｒｅｎ[1]证明了方程(1)仅有解ｘ=5,ｙ=3,ｎ=3.当Ａ=1,Ｂ=4时,本文作者之一给出了方程(1)的解答.本文将用虚二次域的基本性质与推广的Ｐｅｌｌ方程的结果研究方程(1)的一些新的情形.设ｈ(-Ｄ)表虚二次域Ｑ(-Ｄ)的类数,本文证明了定理1　设Ａ无平方因子,2Ａ,(ｎ,ｈ(-2Ａ))=1,则Ｄｉｏｐｈａｎｔｕｓ方程Ａｘ2 2=ｙｎ,ｘ,ｙ,ｎ∈Ｎ,2ｎ>1(2)仅有解Ａ=1,ｘ=5…     

Diophantus方程y~2+D~n=x~3的解法

关于Mordell方程 y~2+D=x~3已有很系统的研究。本文研究Mordell方程的推广——三个变数的Diophantus方程 y~2+D~n=x~3,y>0,(D,y)=1 (1)的解法,这里D是给定的正整数,x,y和n是     

关于Pell方程x~2-2y~2=1和y~2-Dz~2=4的公解

最近几年来,求两个Diophantus方程的公解问题引人注目。例如,1969年A.Baker和H.Da-venport(Quart.J.Math.Oxford,20(1969),2:129—137)用“Baker有效方法”证明了方程,y~2—3x~2=—2,Z~2—8x~2=—7仅有两组正整数的公解x=y=     

关于丢番图方程x~3+y~3+z~3=n

一个引人注目的丢番图方程是 x~3+y~3+z~3=n, (1)当n=a~3时,有解x=t, y=-t, z=a; x=9at~4, y=3at-9at~4, z=a-9at~3;当     

关于丢番图方程x~4-pqy~2=1

关于丢番图方程x~4-Dy~2=1,D>0,且不是平方数,(1)有过许多工作,例如Nagell、Ljunggren、Cohn和作者,都分别得到过若干结果(见文献[1])。我们在文献[1]中证明了D(?)3(mod 8),且当x~2-Dy~2=1的基本解ε=x_0+y_0D~(1/2)满足2     

关于丢番图方程x~3±1=Dy~2

对于丢番图方程x~3±1=Dy~2,x~3±1=3Dy~2,D>2,D无平方因子且不能被3或6k 1形的素数整除,设上式中四个方程的正整数解(x,y)的总个数为T,Ljunggren(Skr.Norske Vid.Ak ad.Oslo.I.9(1942),53)证明了T≤1,他的证明方法不是初等的。     

方程x~4-Dy~2=1有正整数解的充要条件

质量是各种核素都具有的一种最基本属性,不同组成成分核素的基态原子质量各不相同。在不同质量的各种核素中,Z(原子序数)为奇数且在同A(组成原子核的质子、中子总数)值核素中基态原子质量为最小的核素共63种.若将这63种核素按A值增加顺序排列,内插以其它Z、A值核素,并保持这个序列的Z、A值分别呈递增的自然数序,再由所得序列的诸核素依同A异Z递变关系向两侧外推,     

方程x~4-Dy~2=1有正整数解的充要条件

设D是非平方正整数,对于方程x~4-Dy~2=1,x>0,y>0 (1)的整数解,Ljunggren,Nagell,Cohn,柯召和孙琦等都曾有过许多工作,本文将证明 定理 方程(1)有整数解的充分必要条件是     

关于丢番图方程x~3±1=Dy~2

定义1设f(x)是定义在闭区间〔a,月上的有限实函数,‘厂z(x)一艺(一1)·C氛r〔二 (。一,)‘],△表示〔二,月的任一分法:△:a~x。<二:<……<二,一b(。)2),恒成立,则称f(x)为【。,月上定义的二级凸函数. 定理i若函数f(x)〔V, ,[a。b」(、=3,呼,,,6,7,s,10),则f(x)在[a,b]上连续. 定理z函数f(x)〔V, ,[a,b](。二3,4,,,6,7,s,一。)的充分必要条件是f(二)可以表示为一个m级有界变差函数的不定积分:作和: _.}式.__X,(x‘、 屯二名{.一二二二一止~、- ’一’】t一j l\那, △X,一x‘一:f(二‘一,) /x‘一x:.、,对于所有可能的分法盛, j(x):其中g(二…     

关于不定方程x~4+kx~2y~2+y~4=z~2的可解性

在四次不定方程早期的研究历史中,方程 x~4+kx~2y~2+y~4=z~2,xy≠0,(1)曾扮演过重要的角色,本文就方程(1)的可解性提供了一个新的判别法,且于可解时可具体地给出一个或多个互素的解来。     

关于Diophantus方程Cx~2+2~mD=y~p

设C>0,D>0且D无>1的平方因子。本文在虚二次域中考虑Diophantus方程(C,2D)=1,ρ奇素数(1)的解.设h(—CD)是的理想类数,我们有 定理1 设CD(?)3(mod8),(?)     

关于丢番图方程x~(2n)—Dy~2=1

关于丢番图方程x~(2n)—Dy~2=1,D>0且不是平方数,n>2,(1)本文证明了定理1 设Pell方程u~2—Dv~2=—1有整数解,则丢番图方程(1)除开n=5,D=122有解x=3,y=22外,无其他正整数解。     

关于方程ax~m-by~n=2

设2≠a>0,b>0,x>1,y>1均是整数，我们首先研究方程ax~m-by~n=2,m>1,n>1的解（m,n）的个数N（m,n）.     

关于方程ax~m-by~n=2

设N为充分大的偶数,x为充分大的正数,h((?)0)为指定的偶数,p,p1,…为素数。令     

不定方程x~3+y~3+z~3+w~3=0的全部整数解

早在16世纪就已提出了不定方程L.Euler(1756年)给出了(1)的全部有理数解,并由J.P.M.Binet(1841年)予以简化(参见文[1])。S.Baba(1830年)、G.Kroneck(1873年)、G.Osborn(1913年)等人曾分别找到了(1)的一些部分整数解(参见文[1])。G.H.Hardy和E.M.Wright在文[2]中认为要找出(1)的全部整数解是很困难的。华罗     

关于—类丢番图方程x~3±(3~k)~3=Dy~2

关于丢番图方程x~3 1=Dy~2,D>2,D无平方因子且不能被3或6l 1型素数整除(1)x~3-1=Dy~2,D同(1)式,(1’)Liunggren证明了最多只有一组正整数解.柯召与孙椅证明了(1)与(1’)均无非平凡整数解.笔者得到了一类丢番图方程x~3 (3~k)~3=Dy~2,D≥1,D无平方因子且不能被6l 1型素数整除,k≥1(2)x~3-(3~k)~3=Dy~2,D,k同(2)式(2’)     

Diophantus方程x2+2m=yn

设Z,N,Q分别是全体整数,正整数以及有理数的集合.数论和组合论中的很多问题都与指数型Diophantus方程x~2 2~m=y~n,x,y,m,n∈N,2(?)y,n>2的解(x,y,m,n)有关.近五十年来,Ljunggren,Nagell,Brown,Toyoizumi和Cohn等人都曾对此有过很多工作.1986年,文献[1]宣布已经找出了方程(1)的全部解,但是迄今没有见到该结果的证明.因此方程(1)的求解仍是个尚未解决的问题本文运用Baker方法证明了:定理 方程(1)没有适合2|m以及m>2的解(x,y m,n).由于文献[2]运用代数数论方法证明了:方程(1)仅有解(x,y,m,n)=(5,3,1,3)和(7,3,5,4)适合2(?)m;文献[3]用初等数论方法证明了:方程(1)仅有解(x,y,m,n)=(11,5,2,3)适合m=2.因此综合上述结果即可确定方程(1)的全部解.推论 方程(1)仅有解(x,y,m,n)=(5,3,1,3),(7,3,5,4)和(11,5,2,3).