关于正则环的几点注记

环Ｒ称为左（右）ＳＦ）环，如果所有单左（右）Ｒ－模是平坦的。环Ｒ称为Ｉ－环，如果Ｒ的每个非零左理想含有非零幂等元。在本文中，我们证明了如下主要结果：（一）对于环Ｒ，如下条件是等价的：（１）Ｒ是Ａｒｔｉｎ半单环；（２）Ｒ是左ＳＦ－环县Ｒ／Ｚ（ＲＲ）是Ａｒｔｉｎ单环；（３）Ｒ是左非奇异的，左ＳＦ－环县ＲＲ具有有限秩；（４）Ｒ是正交有限的Ｉ－环。（二）Ｒ是基层不为零的正则左自内射环当县仅当Ｒ是包含非奇异     

相关正则环和IF环

本定义了在左Ｍ－正则环和左Ｍ－ＩＦ环,并利用Ｍ－平坦模和Ｍ－内射模对两尖环进行了刻画（定理１．５,定理１．６和定理２．２）,同时还利用左Ｍ－正则环、左Ｍ－ＩＦ环、Ｍ－平坦模和Ｍ－投射模,刻画出了正则环和左Ｍ－ＩＦ环（定理１．７,推论２．３和推论２．５）     

Von Neumann正则环和P－V－环

本文中，我们证明了如下结果：（１）环Ｒ是强正则的当且仅当Ｒ是左Ｐ－Ｖ－环且Ｒ的每个极大左理想是拟理想；（２）环Ｒ是强正则的当且仅当Ｒ是半素的且Ｒ的主左理想的极大左次理想是Ｒ的理想，所以有效推广了Ｋａｐｌａｎｓｋｙ的如下结果：可换环Ｒ是ＶｏｎＮｅｕｍａｎｎ正则的当且仅当每一个单Ｒ－模是内射的。     

本质左理想是双边理想的V－环

环Ｒ叫做左（右）Ｖ－环，如果每个单左（右）Ｒ－模是内射模．本文证明了，如果Ｒ是完全幂等ＥＬＴ－环，那么Ｒ是正则环。因此肯定回答了Ｒ．ＹｕｅＣｈｉＭｉｎｇ提出的问题：本质左理想是双边理想的左Ｖ一环是正则环吗？     

右半Duo Л－正则环

本文的目的是推广Ｂａｄａｕｉ的结果，假定Ｒ是右半Ｄｕｏ环，我们证明了：（１）Ｒ是Л－正则环当且仅当Ｒ是单位Л－正则环；（２）Ｒ是强Л－正则环当且仅当对任意ａ∈Ｒ存在ｅ∈Ｉｄ（Ｒ），ｕ∈Ｕ（Ｒ）和ｂ∈Ｋ（Ｒ）使ａ＝ｅｕ＋ｂ；（３）Л－正则环的每一个元素是Ｒ中两个可逆元素之和当且仅当Ｒ中每个幂等元是Ｒ的两个可逆元素之和．     

上平坦模刻划的环

利用FP内射模、上平坦模对半遗传环、pp环、正则环、IF环进行若干有意义的刻划：1）R是右pp环当且仅当p-内射模的同态像是p-内射模;2）R是右半遗传环当且仅当任一右R－模的两个上平坦子模的上平坦;3）R是右IF环当且仅当R是左凝聚环和左上平坦环;4）R是正则环当且仅当R是右IF环、右pp环,且对每个右p-内射模M,RM平坦。     

由正则理想确定的凝聚性研究

设R是交换环,M是R-模,T表示R的有限生成正则理想的集合.引入正则平坦模和正则余平坦模的概念,并利用正则平坦模和正则余平坦模刻画正则凝聚环,证明正则凝聚环刻画的Chase定理.特别地,证明Prüfer环是一类典型的正则凝聚环,证明R是Prüfer环当且仅当可除模是正则余平坦模,当且仅当正则余平坦模的商模是正则余平坦模...     

正则模和V—模

Ｋａｐｌａｎｓｋｙ证明了可换环Ｒ是正则的当且仅当每个单Ｒ－模是内射的，这个结果推广到比较一般的环中可以证明，ｄｕｏ环Ｒ是正则的当且仅当每个单Ｒ－模是内射的，本文将此结果进一步推广到模中。     

正则环与YJ内射模

借助ＹＪ内射模刻画了正则环,在Ｒ满足元素右零因子幂条件下,环Ｒ为正则环当且仅当每个循环右Ｒ－模为ＹＪ内射模仅当环Ｒ的每个本质右理想为ＹＪ内射模;另一方面,当Ｒ满足特殊右零化子升链条件时,Ｒ为正则环当且仅当Ｒ为半本原右ＹＪ内射环当且仅当Ｒ为右非奇异右ＹＪ内射环。     

SF′-环的正则性

目的环R的每一个单奇异的左（右）R-模是平坦的,则称R是左（右）SF′-环,文章研究SF′。环的正则性。方法在幂等元是左半中心的和LANE-环的条件下讨论SF′-环。结果得到了SF′-环是强正则环的两个充要条件：（1）R是左SF′-环,如果R／Z（RR）是约化的,则R是强正则环;（2）R是强正则环当且仅当R是满足幂等元左半中心的左SF′-环,且R是LANE-环。结论这些结果对于解决SF-环是否是正则环有一定意义。     

Morphic环的一些性质

文章研究了M orphic环的一些性质,证明了:(1)约化的Morphic环是左(右)遗传的;(2)约化环R是Morphic环■M∈MR,M是平坦模;(3)约化环R是Morphic环■每个循环左R-模是GP-内射的R是左PP环和左GP-内射环。     

关于单奇异YJ-内射模与正则环的刻画

通过拟理想对环的正则性进行刻画,证明了：（1）环R是强正则环当且仅当R是Abelian的左GP—y’－环,且R的每个极大本质左理想是拟理想;（2）若环R的每个极大本质左理想是拟理想,则R是正则环当且仅当R是左AGP－内射的左GP—V’－环。     

单位正则环和SF-环

环 R 称为左SF-环,如果每个单左 R- 模是平坦的.众所周知,单位正则环是SF-环,但SF-环是否为单位正则却未有结果.本文主要研究左SF-环成为单位正则环的条件及在一定条件下SF-环与单位正则环的等价性.     

关于Г─环的强素根与强Jacobson性质

本文证明了强素根是Г－环的特殊遗传根，若Ｒ是Г─环Ｍ的右算子环且左ｄｕｏ，则Ｓ（Ｍ）＝Ｓ（Ｒ）＊＇，．强ＪａｃｏｂｓｏｎГ─环定义为其所有同态象的素根与强素根一致，建立了Г─环Ｍ、矩阵Г＿（ｎ，ｍ）─环Ｍ＿（ｍ，ｎ）及Ｍ的右算子环的强Ｊａｃｏｂｓｏｎ性质之间的关系。     

Some Characterizations of GVNL Rings

A ring R is called a GVNL-ring if a or 1-a is π-regular for every a∈R,as a common generalization of local and π-regular rings.It is proved that if R is a GVNL ring,then either(1-e)R(1-e) or eRe is a π-regular ring for every idempotent e of R.We prove that the center of a GVNL ring is also GVNL and every abelian GVNL ring is SGVNL.The formal power series ring R[x] is GVNL if and only if R is a local ring.     

关于具有准素中心的环和具有半素中心的环

主要讨论了具有准素中心或半素中心的环的一些性质,在具有准素中心的条件下,环的正则性与强正则性是一致的,环是π-正则,则环是强π-正则;在具有半素中心的环中,素根与诣零根是相同的,且它们是可换的.     

SF'-环的正则性

目的 环R的每一个单奇异的左(右)R-模是平坦的,则称R是左(右)SF'-环,文章研究SF'-环的正则性.方法 在幂等元是左半中心的和LANE-环的条件下讨论SF'-环.结果 得到了SF'-环是强正则环的两个充要条件:(1)R是左SF'-环,如果R/Z(RR)是约化的,则R是强正则环;(2)R是强正则环当且仅当R是满足幂等元左半中心的左SF'-环,且R是LANE-环.结论 这些结果对于解决SF-环是否是正则环有一定意义.     

关于强正则环的一些研究

主要证明了下列条件等价:(1)R是强正则环;(2)R是ELT-的半素环,且对于R的每一个本质左理想L,(R/L)R是平坦模,R的每一个极大左理想或极大右理想是GW-理想;(3)R是ZC-环,R的每一个极大本质左理想是GW-理想且R的每一个单奇异左模是GP-同射模或平坦模.