试论理论物理中数学方法的创造力

理论物理与数学的关系特别密切,采用合适的教学方法,对于理论物理的发展是十分必要的。尤其是近代物理,其各种理论体系几乎都是原理性理论。所谓原理性理论,是指从基于经验事实的创新的(物理)概念和(物理)原理出发,凭借数学方法,通过逻辑演绎,建立起抽象的数学形式体系(或称作公理化体系)。理论的抽象程度,自本世纪初以来快速地提高;因为采用的是更为抽象的近代数学工具,进行逻辑演绎的数学推理步骤也愈加繁复,用爱因斯坦的话说,通往(检验理论的)实践的思想链条愈来愈长。那就意味着数学方法在物理理论建树过程中所起的作用越来越大;实际上,近代物理理论正就是一些对其作出一定物理解释的数学结构体系。因此,爱因斯坦意识到“理论物理学家越来越不得不服从于纯数学的形式考虑的支配”,并认定理论物理的“创造性原则寓于数学之中”。本文试就近代物理的几个主要理论的形式结构的特征及其建树过程中的创造性因素,作一些综述性的讨论,以探究爱因斯坦的这些见解的涵义。     

非线性互补问题的Kantorovich定理

非线性互补问题是数学物理和经济管理中出现的一个重要问题,其数值解近年来受到人们的重视.Newton法与拟Newton法是求解非线性互补问题的重要方法.对非线性方程组的Newton法和拟Newton法,已有较完善的半局部收敛性理论.本文将对非线性     

试论理论物理中数学方法的创造力（续）

四、理论结构拓展的相对独立性和实践基础爱因斯坦把理论建树过程中前提性原理的推广和数学推理及其物理解释的程序称作“自由创造”;所谓“自由”,是指理论拓展对于其实践基础来说有相对的独立性。因为许多数学理论具有某些形式逻辑结构的特征,故在其思维领域里便有其独立发展的规律,那末凭借物理直觉和数学推理方法建树的近代物理理论,其数学形式体系的拓展当然也就带有这种相对独立的色彩。凡纯数学理论,愈向前发展,其抽象程度愈高,逻辑的简单性愈明显,实际上其普遍性也就愈强,应用范围便亦愈广。这种数学的简单性,爱因斯坦将其视作物理理论拓展其真理道路的“可靠源泉”。各种物理理论的数学形式体系都是一些“盈余结构”。所谓“盈     

非线性不适定问题的最大熵方法

很多数学物理问题可化为求非线性算子方程 F(f)=g (1)的满足f≥0的解,其中为非线性算子,定义域在Ω上},并且Ω为R~n中可测集。例如,在问题中,考虑由u的观察值u(x),x∈(0,1)来确认参数a,其中h∈L~2([0,1])并且g_1,g_2为实数。众所周知,当在[0,1]上},问题(2),(3)有唯一解。定义非线性算子F为     

地震数据反演中的非线性问题

研究灾害地震现象的天然地震观测都是在地面进行的。资源勘探进行的人工地震有的在地面观测,有的在井中观测。根据观测到的数据推算地球内部的物质结构的几何形态和物性参数称为反演。这样的问题与遥感遥测,自动控制、天文观测、无损检测、疾病诊断、海洋工程等学科领域中的问题相似,它们归结出的数学问题是一致的,尽管不同的实际问题带有本学科领域的特点。反演过程不是一个物理过程,而是一个利用数学手段来求逆的过程。反演问题有两个最显著的特点:(1)大部分反问题都是非线性的;(2)它们大都是不适定的数学问题。非线性问题常常通过逐步线性化来解决。但由子实际问题非线性性很强,逐步线性化的办法往往不符合实际物理背景,也得不到好的结果。近年来,开展非线性研究,主要是通过将观测数据与理论正演模拟数据的最佳拟合来确定介质的物性参数。但由于介质参数的模型空间非常大,加之问题的非线性性很强,求目标函数的全局最小的问题困难很大。在地震数据反演中,由于数据的不完备,噪音的存在,源的情况复杂且未知等原因,要求得目标函数的全局最小值是不现实的。我们只能求一定意义下的最佳解。本文中,我们介绍地震反演问题求解的主要方法,重点讨论:(1)线性迭代解法;(2)非线性迭代解法;(3)模拟退火法;(4)生物基     

非线性约束优化问题的新方法：微分方程逼近

1　引言自1958年Ａｒｒｏｗ,Ｈｕｒｗｉｃｚ和Ｕｚａｗａ提出用微分方程处理无约束优化问题后,Ｂｒａｎｉｎ和Ｈｏｏ在70年代前后也相继提出处理无约束优化问题的斜量曲线方程和Ｎｅｗｔｏｎ型曲线方程。与此同时,Ｂｏｔｓａｒｉｓ和Ｊａｃｏｂｓｏｎ(1970),Ｖａｉｌ(197...     

特征值问题的非线性化与孤子方程的数值解

1.为数众多的孤立子的发现是近年非线性科学的一大进展.描述孤子演化行为的偏微分方程有两大特点,一是它们的重要物理背景和实际应用前景,二是它们的完全可积性.已找到不少有趣的显式解.其中最重要的是纯孤子解、有限带解和极点展开解.现在的问题是,一些显式解的表达式太复杂,给计算实践带来甚大的困难,有必要寻求更为直接和简捷的算法.由于上述各种显式解中所含的参数个数有限,自然可以期望通过消去这些参数得到常微     

社会科学中的数学问题

教学对于科学的发展起着极其重要的作用.数学在其他学科的应用,已不仅仅限于自然科学的范围,而是早已进入了社会科学的各个部门.社会科学中的数学问题,涉及到对哲学与数学关系的再认识.对于这个问题的研究,有助于增加对人类科学知识体系的总体把握,也有助于揭示自然界与人类社会发展的共同规律.文章从数学应用于社会科学的缘由、表现、意义3个方面进行分析.     

社会科学中的数学问题

数学对于科学的发展起着极其重要的作用。数学在其他学科的应用,已不仅仅限于自然科学的范围,而是早已进入了社会科学的各个部门。社会科学中的数学问题,涉及到对哲学与数学关系的再认识。对于这个问题的研究,有助于增加对人类科学知识体系的总体把握,也有助于揭示自然界与人类社会发展的共同规律。文章从数学应用于社会科学的缘由、表现、意义3个方面进行分析。     

解一类非线性极大极小问题的熵函数方法

在非光滑优化中有一类特殊的问题,常常出现在工程设计、电子线路规划、对策论中,称为非线性极大极小问题。由于目标函数的非光滑性,给解这类问题带来一些困难。从1987年开始,国内外专家学者从熵函数入手,已做出了一些很好的结果,如文献[1～5]。但是,这些方法都局限于求离散函数的极值问题。在实际生活中,常常也会遇到一些连续型的情形。鉴于此,本文提出了一类新的熵函数,用于解连续型非线性极大极小问题。     

非线性不适定问题带闭线性算子的Tikhonov正则化

考虑非线性问题F(x)=y_0, (1)这里F:domF(?)X→Y是一个从Hilbert空间X到Hilbert空间Y的非线性算子,方程(1)一般是不适定的,需用正则化方法求解,对此已有不少文献作过研究.本文用带闭算子D的Tikhonov正则化方法来研究方程(1).这里D:domD(?)X→Z为一闭线性算子,Z为     

斜压大气中的非线性Rossby波

半地转近似下,三维斜压大气运动的涡度方程为其中各量的物理意义与文献[1]中的相同.设其行波解的形式为     

非线性物理撷美

美哉,线性物理;而非线性物理,似更不乏撷美处。迄今物理学的主要理论构筑(除20世纪之前的诸多经典理论外,还包括狭义相对论、量子力学等)都是线性的。线性物理理论的美学特征,诸如简洁、清晰、对称、和谐、自洽、统一、完备等,皆为人们所赞赏和愉悦。而非线性物理理论,亦有明显     

非线性经济学的孕育和发展

经济系统从表面上看纷繁复杂，使统的经济理论对此显得力不从心，近十年发展起来的非线性经济学为解开经济复杂性之谜提从了新的思路和方法。