“分形是美丽的创新则无止境的”——数学大师伯努瓦·曼德尔布罗特访谈录

数学大师伯努瓦·曼德尔布罗特（Benoit Mandelbrot，下图）在他的拓荒之作《大自然的分形几何》中写道：“云朵不是球形的，山峦不是锥形的，海岸线不是圆形的，树皮不是光滑的，闪电也不是一条直线。”他认为，这些天然以及人造产物的形状是很“粗糙的”，并根据这些不规则的形状提出了一种新的数学。并将其称为“分形几何”——与我们在学校中所了解的欧几里得几何大相径庭。在以下的访谈中，读者还可以了解到这位分形几何之父为什么蔑视规则，以及为什么在名声鹊起之时放弃了对分形的进一步探究。     

天然分形图案:大自然的绮丽之美

<正>从海螺、螺旋星云,再到人类的肺脏结构,我们身边充满各种各样的混沌图案:一种几何形状,被以越来越小的比例反复折叠而产生不能被标准几何所定义的不标准形状和表面的分形图案。分形的数学之美     

电磁波在介质分形表面的散射特性

1带限分形函数经典的几何学都是以规则而光滑的几何形状为其研究对象,而对于一些极不规则和极不光滑但又具有“自相似性”特征的对象,即分形结构,近期发展起来的分形(fractal)几何学为该类对象的研究提供了有力的帮助.所谓“自相似性”就是局部的形态与整体的形态相似,或者说,在每一个放大的级别上,这些曲线形状都是相似的.大量事实证明,分形现象在自然界中广泛存在着、本文定义并利用一带限分形函数来模拟介质粗糙表面,从而通过控制该函数的某些参量而达到模拟不同介质粗糙度表面的目的,并对各种情况下的散射系数进行观察和分析.下面给出带限分形函数(以下简称分形函数)的表达式     

实用的分形

分形已经成为科学的统一原理之一,但是,除了计算机图形学以外,这些几何形状在技术上的应用却是姗姗来迟。不过,在过去十年中,研究人员已经开始把分形应用于天线设计这一复杂得出了名的课题中。     

美妙的分形

曼德尔布罗特在其代表作《大自然的分形几何学》中写道：为什么几何学常常被说成是“冷酷无情”和“枯燥乏味”的？原因之一在于它无力描写云彩、山岭、海岸线或树木的形状。     

与十二面体共舞

挑绷子游戏这一历史悠久的技艺吸引了许多游戏数学家，尽管它并不是显而易见属于数学领域。我在最近一次论述挑绷子游戏的数学游戏专栏中(见本刊1998年第3期)，用了“挑绷子游戏的算法挑战”作为该号栏标题，以期增加开发出一种描述其复杂几何性质的系统的可能性。我相信这一课题的确是属于数学领域的，我的     

分形—自然界的几何学

分形几何扮演了两种角色.它既是决定论混沌的几何学,又是描述山峦、云团和星系的几何学. 自然科学与几何学总是携手并进的.17世纪,开普勒发现能用椭圆描述行星绕太阳运行的轨道.这激励了牛顿用万有引力定律解释这些椭圆轨道.同样,理想的摆做往复运动可以用正弦波形表示.简单的动力学常常和简单的几何外形相联系.这一种数学图像暗示,物体的形状和作用于它的力之间有一种平滑的关系.在行星和摆的例子中还暗示物理学是决定论的,由系统的过去便能预测其未来.     

金属沿晶断裂表面分维的随机分形研究

近年来,分形几何方法广泛应用于材料断口的定量分析.在材料断裂的理论分析中,分形几何方法也有应用.龙期威提出了金属沿晶断裂的裂纹“∧”形扩展的分形模型.苏辉讨论了晶角θ变化对分形维数的影响.然而,文献[7]在假设θ服从[θ_1,θ_2]上的均匀分布时,却导出“∧”形相似比在[1/2sin(θ_2/2),1/2sin(θ_1/2)]上服从均匀分布的错误推论.本文用随机分形与数值积分方法,分别计算并分析了θ取均匀分布和Gauss分布的分形维.     

几何代数和几何计算(一)

数学是研究现实世界的“数”与“形”的科学。数学就是围绕这两个概念的演变而发展的，也通过这两个基本概念应用到各个不同的领域中去。代数是研究“数”的学科，几何是研究“形”的学科。数学科学发展的历程中两者彼此独立，又相互缠绕。几何（形）的概念用代数（数）表示，几何的目标可经过代数计算实现；反之，代数语言赋有了几何背景，可更加直观地理解它们的意义。发现它们的丰富内涵。吴文俊院士指出：几何代数化，在近代数学的兴起和发展过程中发挥着决定性的作用。     

数学的美丽

在人们的印象中,以数字和符号组成的数学,是一门枯燥乏味的学科。然而,当这些数字和符号,与美籍华裔科学家———世界级数学大师、微分几何之父陈省身联系在一起时,它却体现出了特有的魅力,而闪烁出了美丽的光辉! 陈省身出生于公元1911年10月28日,浙江嘉兴人。1930年他毕业于南开大学数学系,1934年获清华大学硕士学位,1936年在德国汉堡大学获博士学位。由于他对整体微分几何的卓越贡献,影响了整个数学界的发展,而被称为20世纪最伟大的几何学家,是有史以来惟一获得世界数学界最高荣誉“沃尔夫奖”的华人。国际小行星中心已将一颗编号为199…     

形状的研究进展及建立形状科学的探讨

近年来,关于物体形状的研究已经成了国际学术界的一个热门课题.本文简述了形状研究的历史,以此探讨建立一门新学科--形状科学:从事物的形状入手,探索形状形成的原因和规律.分析了形状科学的几个主要内容和方法并展望它的未来.形状科学不同于几何学(欧几里得几何、非欧几何、微分几何等数学意义上的几何),它试图突破传统学科按数、理、化、天、地、生这种人为分类的模式,从一种全新的视角看世界,应作为一门独立的科学来对待.     

分形几何在自然科学中的应用

本文综述了分形几何在物理学、生物学、工程技术、生命科学、地震学等领域的应用。从中我们还可以发现大千世界中数学的优美。     

制作雪花

警告：在冬天一定要把酒瓶盖好，否则你会使几亿朵雪花残废。 制造雪花的艺术夏日的加利福尼亚，在棕榈树和柠檬树之间，帕萨迪纳研究所的研究人员肯尼思·利伯瑞希正忙碌在雪花制造机旁，他不时地按动一些按钮，并不断地透过玻窗观察雪花的形成结果。你知道，如果这些雪花的冰晶落在地上，一毫秒之内就会融化。利伯瑞希制造雪花的目的，是为了弄清为什么无以计数的雪花没有两片的形状完全相同；为什么它们能形成圆盘形、针形、蕨叶形和精心雕琢的星形等千奇百怪的形状。 现在，利伯瑞希认为他似乎已经找到了答案，至少是这些问题中的大部分…     

后来居上的数学家--丘成桐

丘成桐先生是著名数学家,长于微分几何、拓扑学、代数几何领域,成就显著,1982年获数学界的最高奖——菲尔兹奖(相当于数学界的诺贝尔奖——诺贝尔先生对数学家有偏见,未设诺贝尔数学奖)。在1983年华沙举行的国际数学大会颁奖仪式上,一位数学界名人对丘先生评价道:“他的工作涵盖了整个微分几何的全部,展现了强有力的技巧、深度与广度,也展现了他的勇气与视野。”     

乔治·波利亚

乔治·波利亚(George Polya,1887～1985)是当代著名的数学大师,生前为法国科学院、美国国家科学院、美国科学艺术研究院、匈牙利科学院和国际科学哲学协会的院士或会员。他还是伦敦数学学会、瑞士数学学会和纽约科学协会的名誉会员。他在概率论、实变函数、复变函数、组合论、数论、几何等数学分支中作出了开创性的贡献,并在所有这些领域中都留下了以他名字命名的术语和定理。波利亚还是一位杰出的数学教育家,他开创了怎样解题这一新的研究领域,在合情推理这一领域中也做了大量工作。本文主要介绍波利亚的生平和他对数学内的一些贡献。一、道路的选择 1887年12月13日,乔治·波利亚诞生于匈牙利的布达佩斯,父亲雅可布·波利亚,母亲安娜·波利亚。     

分形生长中的动力学标度

自然界中存在许多分形生长现象。人们用盒计数法、ｓａｎｄｂｏｘ法、密度－密度相关函数法和回转半径法等来测量分形聚集体的分形维数，以表征它们的长度标度（或几何标度）。然而，这些分形生长都是非平衡的时间演化过程。故对分形生长的动力学行为进行研究，无疑是十分...     

莫衷一是的数学怪杰——卡当

卡当是一位有很多缺陷的伟人;假如没有这些缺陷,他将是无与伦比的!他不是鼎鼎大名、备受推崇的数学大师,但他却是文艺复兴时期举足轻重的数学家;他不是身世清白、研究专一的纯粹学者,但他坎坷离奇、跌宕起伏的经历令人感佩;他称不上是光明磊落、令人尊敬的谦谦君子,但他对于数学的执著、领悟和贡献却有据可     

美妙的分形

2010年10月14日,美籍法国数学大师、分形几何之父——伯努瓦·曼德尔布罗特在美国马萨诸塞州逝世,享年85岁。曼德尔布罗特被认为是20世纪后半叶影响最为广泛而且深远的科学伟人之一,他用美妙的分形改变了我们的世界观。     

螺线与生物体上的拟螺线

人类对螺线的探索已很久远，大约在2000多年以前，古希腊数学和力学家阿基米德在他的著作《论螺线》中就对平面等距螺线的几何性质作了详尽讨论。人们称之为“阿基米德螺线”，后来数学家们又发现了对数螺线、双曲螺线、圆柱螺线、圆锥螺线等。     

破译对目光敏感之由

在邦克山战役一次抵御英军冲锋的战争中,美军上校威廉·普雷斯科特这样对他的士兵说“:等你们看到敌人的眼白,再向他开枪。”如果当时这支美国军队对抗的不是英军,而是一群黑猩猩,那么他们一定会立刻被打败。这是为什么呢?因为黑猩猩乃至其他220种灵长类动物都没有眼白,或者说至少没有明显的眼白。这就意味着,如果这些动物没有朝着脸的正前方看过去,我们就会轻易地被它们愚弄,弄不清它们究竟在看哪里。